CÁLCULO

INTEGRALES

 integrales de funciones logarítmicas.

Nota: x>0 se asume en este artículo.

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x}$

${\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}$

${\displaystyle \int (\ln x)^{n}\;dx=x(\ln x)^{n}-n\int (\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(para }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(para }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(para }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(para }}m,n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(para }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(para }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(para }}m,n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(para }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(para }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}$

${\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}$

Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.

En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
• o también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Definición[editar]

Integral curvilínea de un campo escalar[editar]

Integral de línea de un campo escalar

Para f : R² → R un campo escalar, la integral sobre la curva ${\displaystyle C}$ (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como ${\displaystyle r(t)=x(t)i+y(t)j}$ con t ${\displaystyle \in }$ [a, b], está definida como:

${\displaystyle \int _{C}f\ ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\|\mathbf {r} '(t)\|\,dt=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t),\mathbf {y} (t)){\sqrt {[\mathbf {x} '(t)]^{2}+[\mathbf {y} '(t)]^{2}}}dt}$

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que ${\displaystyle r(a)}$ y ${\displaystyle r(b)}$ son los puntos finales de ${\displaystyle C}$ . Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización ${\displaystyle r(t)}$, porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización ${\displaystyle r(t)}$ .

Integral curvilínea de un campo vectorial[editar]

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t ${\displaystyle \in }$ [a, b], está definida como:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

donde ${\displaystyle \cdot }$ es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva ${\displaystyle C}$ de tal manera que ${\displaystyle r(a)}$ y ${\displaystyle r(b)}$ son los puntos finales de ${\displaystyle C}$ .

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{C}\mathbf {F} _{1}dx^{1}+\mathbf {F} _{2}dx^{2}+\cdots +\mathbf {F} _{n}dx^{n}}$

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par ${\displaystyle (C,\mathbf {\omega } )}$ donde

${\displaystyle \mathbf {\omega } =\mathbf {F} _{1}dx^{1}+\mathbf {F} _{2}dx^{2}+\cdots +\mathbf {F} _{n}dx^{n}}$

es una 1-forma.

Independencia de la curva de integración[editar]

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.

Integración compleja[editar]

Dada una curva en el plano complejo ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} }$ descrita por una parametrización

${\displaystyle \gamma :[a,b]\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C} ,\gamma (t)=X(t)+iY(t)}$

y una función compleja

${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,f(z)=u(z)+iv(z)}$

con u, v funciones reales y continuas en Γ. Supongamos que la derivada de la función γ existe, es continua y no nula dentro del intervalo [a,b].

La integral de línea de f sobre Γ se define como 1​ ${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f{\Big (}\gamma (t){\Big )}\cdot \gamma '(t)dt=}$ ${\displaystyle =\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\!-\!v{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\right]dt\!+\!i\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\!+\!v{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\right]dt}$

Cuando f es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.

Integral logarítmica representada para valores x>2.

En matemática, el logaritmo integral, función integral de logaritmo o integral logarítmica ${\displaystyle li(x)}$, es una función especial de relevancia significativa en problemas de física y teoría de números, ya que da una estimación de la cantidad de números primosmenores que un determinado valor (teorema de los números primos).

Se define como:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\,}$

Representación de la integral[editar]

La integral logarítmica tiene una representación en forma de integral definida para todos los números realespositivos ${\displaystyle x>1}$ mediante la integral

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}.\;}$

Donde, ${\displaystyle \ln }$ denota el logaritmo natural. La función ${\displaystyle 1/\ln(t)}$ tiene una singularidad en ${\displaystyle t=1}$, y la integral para ${\displaystyle x>1}$ tiene que ser interpretada utilizando el valor principal de Cauchy:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right).\;}$

Integral logarítmica desplazada[editar]

La integral logarítmica desplazada o integral logarítmica euleriana es definida como

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)\,}$

o

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,}$

Como tal, esta representación integral tiene la ventaja de que evita la singularidad en el dominio de integración.

Esta función tiene la propiedad de ser una buena aproximación del número de primos menores que un número dado ${\displaystyle x}$, y por tanto, es la base del teorema de los números primos.

Representación en forma de serie[editar]

La función ${\displaystyle li(x)}$ está relacionada con la integral exponencial ${\displaystyle Ei(x)}$ mediante la ecuación

${\displaystyle {\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln(x)),\,\!}$

que es válida para x > 1. Esta identidad proporciona una representación en forma de serie de ${\displaystyle li(x)}$ como:

${\displaystyle {\rm {li}}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ para }}u\neq 0\;,}$

donde γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... es la constante de Euler-Mascheroni. Una serie más rápida en términos de convergencia fue dada por Ramanujan:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

Valores especiales[editar]

La función ${\displaystyle li(x)}$ tiene un cero simple positivo que se obtiene para el valor x ≈ 1.45136 92348 ...; este número es más conocido como la constante de Ramanujan-Soldner.

li(2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151…

Expansión asintótica[editar]

El comportamiento asintótico de la función cuando x → ∞ es

${\displaystyle {\rm {li}}(x)={O}\left({x \over \ln x}\right)\;.}$

donde ${\displaystyle O\,\!}$ significa cota superior asintótica. La expansión asintótica completa es

${\displaystyle {\rm {li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Nótese, que como expansión asintótica, esta serie es no convergente. Ésta es una aproximación razonable sólo si la serie se trunca para un número finito de términos, y sólo cuando se emplean valores para ${\displaystyle x}$ suficientemente grandes. Esta expansión se deduce directamente de la expansión asintótica de la integral exponencial.

Uso en teoría de números[editar]

Artículo principal: Teorema de los números primos

La integral logarítmica es importante en teoría de números, ya que es utilizada para hacer una estimación de la cantidad de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primosasegura que:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x)\,\!}$

donde ${\displaystyle \pi (x)}$ denota la cantidad de números primos que hay para un valor menor o igual a ${\displaystyle x}$.