MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

Lema de Berge es un lema demostrado por el matemático francés Claude Berge en 1957,¹​ que dice lo siguiente:

Un matching M en un grafo G es máximo si y sólo si no hay rutas aumentativas con M. Claude Berge, 1957

Un matching es máximo si contiene el mayor número de aristas posibles.

Una ruta aumentativa (augmenting path) es un camino que comienza y termina en vértices libres o no conectados, y alterna entre aristas que están y no están en el matching.

lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.

Definición formal y demostración[editar]

Sea ${\displaystyle \{f_{n}\}\,}$ una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ en los reales. ${\displaystyle \mu \,}$es la medida. Sea ${\displaystyle \mu f\,}$ la integral de f respecto de ${\displaystyle \mu \,}$. Supongamos que:

${\displaystyle \sum _{n}\mu f_{n}<\infty }$

entonces por convergencia monótona ${\displaystyle \mu \sum _{n}f_{n}=\sum _{n}\mu f_{n}<\infty }$. Por ende la función ${\displaystyle \sum _{n}f_{n}\,}$ es finita c.t.p.-${\displaystyle \mu \,}$.

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos ${\displaystyle A_{n}\,}$ en ${\displaystyle {\mathcal {A}}\,}$, o sea ${\displaystyle f_{n}=\chi _{A_{n}}}$ y la medida ${\displaystyle \mathbb {P} }$ es de probabilidad entonces: ${\displaystyle \sum _{n}\mathbb {P} A_{n}<\infty }$ implica que ${\displaystyle \sum _{n}\chi _{A_{n}}<\infty }$ c.t.p.-${\displaystyle \mu \,}$, es decir, en ${\displaystyle \Omega \,}$, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos ${\displaystyle A_{n}\,}$ tiene probabilidad cero.

lema de ortogonalidad de Cotlar puede ser usado para obtener información de la norma de un operador que actúa desde un Espacio de Hilbert en otro, cuando el operador puede ser descompuesto en piezas ortogonales.

Lema de Cotlar–Stein[editar]

Sean ${\displaystyle E,\,F}$ dos espacios de Hilbert y sea

${\displaystyle T:\;E\to F}$

un operador lineal. Se asume que

${\displaystyle T=\sum _{j\in \mathbb {Z} }T_{j},}$

donde cada

${\displaystyle T_{j}:\;E\to F,\ j\in \mathbb {Z} }$

es un operador lineal continuo.

Significa

${\displaystyle a_{jk}=\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert _{F\to F}}$, ${\displaystyle b_{jk}=\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert _{E\to E}.}$

Si

${\displaystyle A=\max _{j}\sum _{k}{\sqrt {a_{jk}}}<\infty }$

y

${\displaystyle B=\max _{j}\sum _{k}{\sqrt {b_{jk}}}<\infty ,}$

entonces

${\displaystyle \Vert T\Vert _{E\to F}\leq {\sqrt {AB}}.}$

 lema de Dehn, intuido por Max Dehn en los años treinta pero sólo demostrado a finales de los cincuenta por Christos Papakyriakopoulos. El enunciado es:

Sea ${\displaystyle f\colon D^{2}\to M}$ un mapeo continuo de un disco a una tres variedad, supongamos que ${\displaystyle f^{-1}f\partial D^{2}=\partial D^{2}}$, entonces existe un encaje ${\displaystyle g\colon D^{2}\to M}$ cuya restricción ${\displaystyle g|\partial D^{2}}$ es igual a ${\displaystyle f|\partial D^{2}}$.

Papakyriakopoulos no sólo demostró el lema sino que lo generalizó en el llamado Teorema del lazo. La demostración utiliza una ingeniosa construcción de espacios cubrientes denominada the tower construction.

 lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización de la proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lema asegura que:

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces n divide al otro factor. Euclides, 300 a. C.

Esto puede escribirse en notación moderna como:

${\displaystyle {\mbox{Si }}n\mid ab{\mbox{ }}{\mbox{y}}\operatorname {mcd} (n,a)=1,{\mbox{ entonces }}n\mid b}$

La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclidesdice que:

Si p es un número primo y divide al producto de dos enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de los números. Euclides, 300 a. C.

En notación moderna

${\displaystyle {\mbox{Si }}p\mid ab{\mbox{, entonces }}p\mid a\lor p\mid b}$

El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética.

Demostración[editar]

• Supongamos, sin pérdida de generalidad, que p es coprimo con a y veamos que p divide a b. Por definición, py a

son coprimos si y sólo si mcd(a, p) = 1; y la identidad de Bézout nos asegura que existen números enteros x e ytales que:

${\displaystyle ax+py=1\,\!}$

• Que p divida a ab significa que existe un número entero r tal que pr = ab. Volviendo a la primera ecuación y multiplicando en ambos miembros por b, se obtiene:

${\displaystyle b(ax+py)=b\,\!}$

• y, en consecuencia

${\displaystyle bax+bpy=b\,\!}$

• Sabiendo que pr = ab, se obtiene

${\displaystyle prx+bpy=b\,\!}$

• sacando p como factor común, queda:

${\displaystyle p(rx+by)=b\,\!}$

• como rx+by es un número entero, se concluye que p divide a b. Q.E.D.