MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si ${\displaystyle D\,}$ es un dominio de factorización única (DFU) y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en ${\displaystyle D}$ es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo${\displaystyle p\in D[x]}$ es irreducible en ${\displaystyle ~D[x]}$ si y sólo si lo es en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$.

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en ${\displaystyle D[x]}$ y la irreducibilidad del mismo polinomio en ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$, puede demostrarse que al ser ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$un DFU también lo es ${\displaystyle D[x]}$.

Así, se tiene como corolario que si ${\displaystyle D}$ es un DFU entonces también lo es ${\displaystyle D[x]}$, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.

 lema de Gronwall establece una cota superior para las funciones no negativas que puedan acotarse por una función lineal de su integral. Este lema es de gran utilidad para probar la continuidad y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Enunciado y demostración[editar]

Sean ${\displaystyle \,f\colon I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle x_{0}\in I}$ tales que:

${\displaystyle 0\leq f_{(x)}\leq A+B\int _{x_{o}}^{x}{f_{(s)}ds}\forall x\in I}$.

con A y B ≥ 0 constantes.

Entonces:

${\displaystyle f_{(x)}\leq A\,e^{B(x-x_{0})}}$

Demostración[editar]

Sea ${\displaystyle \,G_{(x)}=\int _{x_{o}}^{x}{f_{(s)}ds}}$. Por la hipótesis se tiene que:

${\displaystyle G'_{(x)}-B\,G_{(x)}\leq A}$

Luego, multiplicando ambos miembros por ${\displaystyle e^{-B(x-x_{0})}}$ se obtiene:

${\displaystyle e^{-B(x-x_{0})}G'_{(x)}-B\,e^{-B(x-x_{0})}G_{(x)}\leq e^{-B(x-x_{0})}A}$

que equivale a:

${\displaystyle (e^{-B(x-x_{0})}G_{(x)})'\leq A\,e^{-B(x-x_{0})}}$

Integrando entre ${\displaystyle x_{0}}$ y ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \int _{x_{o}}^{x}{(e^{-B(s-x_{0})}G_{(s)})'ds}\leq A\int _{x_{o}}^{x}{e^{-B(s-x_{0})}ds}}$

${\displaystyle e^{-B(x-x_{0})}G_{(x)}-G_{(x_{0})}\leq -{\frac {A}{B}}(e^{-B(x-x_{0})}-1)}$

Por como fue definida, ${\displaystyle G_{(x_{0})}=0}$. Multiplicando ahora por ${\displaystyle e^{B(x-x_{0})}}$ :

${\displaystyle G_{(x)}\leq {\frac {A}{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)}$

Si reemplazamos la integral por G en la ecuación original:

${\displaystyle f_{(x)}\leq A+B\,{\frac {A}{B}}(e^{B(x-x_{0})}-1)}$

De donde se deduce que:

${\displaystyle f_{(x)}\leq A\,e^{B(x-x_{0})}}$

lema fundamental de Neyman-Pearson es un resultado que describe el criterio óptimo para distinguir dos hipótesis 

siste en rechazar la hipótesis θ=θ₀ tras observar ${\displaystyle x}$ cuando la razón de las funciones de verosimilitud cumpla

${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {L(\theta _{0}\mid x)}{L(\theta _{1}\mid x)}}\leq k}$

y k sea tal que

${\displaystyle P(\Lambda (X)\leq k|H_{0})=\alpha }$

donde α es el nivel de significatividad elegido.

La prueba así descrita es la más potente.

El lema debe su nombre a sus dos creadores, Jerzy Neyman y Egon Pearson.

lema de Radon, o simplemente teorema de Radon es un teorema de geometría combinatoria. Se enuncia de la siguiente manera:

Si se toman d+2 puntos de Rd, se pueden repartir en dos conjuntos disjuntos A y B tales que las envolventes convexas de A y B se intersecan. Johann Radon (1921) Historia[editar] El teorema fue probado por Johann Radon en 1921, como condición para probar el teorema de Helly. Cabe destacar que el lema de Radon es equivalente al teorema de Helly, el teorema de Carathéodory (casco convexo)y el teorema de Kirchberger, los cuales constituyen la base de la geometría combinatoria. Ejemplo[editar] Si trabajamos con d = 2, o sea en R2, el conjunto, al que se llamará X, constará de cuatro puntos. Así, podría ser posible particionar X, en un subconjunto con tres puntos y otro subconjunto con un único punto aislado, donde la envoltura convexa del subconjunto de tres puntos (un triángulo) contiene al subconjunto del punto único, o sería posible particionar X, en dos subconjuntos con dos puntos cada uno, tales que los segmentos de línea que unen los puntos de cada subconjunto se intersequen. La última situación sería el caso de tomar todo X, lo cual sería tomar los vértices de un cuadrilátero convexo. Demostración[editar] La demostración del lema no es demasiado complicada. Consta de los siguientes pasos: Se toma un conjunto X={x1,x2,...,xd+2} subconjunto de Rd. Puesto que el conjunto de d+2 puntos es linealmente dependiente, existen unos multiplicadores λ1,λ2,...,λd+2tales que: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d+2}\lambda _{i}x_{i}=0}$ y ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d+2}\lambda _{i}=0}$ Si A1 es el subconjunto de todos los xi cuyos λi son positivos, y A2, es el subconjunto del resto de puntos, y considerando N como la suma de los λi positivos, entonces, utilizando los sistemas de arriba se tiene que: ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{x_{i}\in A_{1}}\lambda _{i}x_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{x_{i}\in A_{2}}(-\lambda _{i})x_{i}}$ Donde el punto ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{N}}\sum _{x_{i}\in A_{1}}\lambda _{i}x_{i}}$ es intersección de la envolvente convexa de los subconjuntos A1 y A2. Q.E.D.