MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

 constante de Lévy (a veces también llamada constante de Khinchin–Lévy) occurre en una expresión para el comportamiento asintótico de los denominadores de los convergentes de una fracción continua.¹​ En 1935, el matemático soviético Aleksandr Khinchin demostró²​ que los denominadores q_n de los convergentes de las expansiones en fración continua de casi todos los números reales satisfacen la relación:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma }$

para alguna constante γ. Un poco después, en 1936, el matemático francés Paul Lévy encontró³​ la expresión explícita para la constante, a saber:

${\displaystyle \gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3,275822918721811159787681882\ldots }$

El término «constante de Lévy» se usa algunas veces para referirse a ${\displaystyle \pi ^{2}/(12\ln 2)}$ (el logaritmo natural de la expresión anterior), que es aproximadamente igual a 1.1865691104…

El logaritmo en base 10 de la constante de Lévy que es aproximadamente 0,51532941…, es la mitad del recíproco del límite en el teorema de Lochs.

 ley cero-uno de Kolmogórov es un teorema de la teoría de las probabilidades. Llamado así en honor al matemático ruso Andréi Kolmogórov, establece que la probabilidad de cierto tipo de eventos llamados eventos de cola es cero o uno. Los eventos de cola son aquellos definidos por una sucesión infinita de eventos independientes y que son independientes de cualquier subconjunto finito de estos.

Por ejemplo, supongamos infinitas realizaciones de una variable aleatoria de Bernoulli que vale uno con probabilidad ${\displaystyle p}$ (${\displaystyle 1>p>0}$), y cero con probabilidad ${\displaystyle (1-p)}$. El evento: "que salga en total una cantidad finita de unos" es independiente de cualquier número finito de realizaciones: examinando una cantidad finita de realizaciones no podemos concluir nada respecto a si la cantidad de unos fue finita o infinita.

Teorema formal y demostración[editar]

Sea ${\displaystyle \left\{{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}\,}$ sigma-álgebras independientes definidas para un espacio ${\displaystyle \Omega \,}$ y una medida de probabilidad ${\displaystyle \mathbb {P} \,}$. Definimos las siguiente sigma-álgebras :

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}=\bigcup _{i>n}{\mathcal {G}}_{i},\quad {\text{y}}\quad {\mathcal {H}}_{\infty }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {H}}_{n}}$

Entonces, para todo ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}_{\infty }}$ tenemos que ${\displaystyle \mathbb {P} H=0}$ o ${\displaystyle \mathbb {P} H=1}$.

Demostración[ocultar]

Consideremos el conjunto de sigma-álgebras ${\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{\infty },{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$. Tenemos que cualquier subconjunto finito de este conjunto forman un grupo independiente de sigma-álgebras. Esto es porque si elegimos una cantidad finita de miembros de ${\displaystyle \left\{{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}\,}$, tenemos que ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }\subseteq {\mathcal {H}}_{N}}$, con N el máximo índice de los ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}\,}$ elegidos. Por lo tanto, todas las sigma-álgebras de dicho conjunto son independientes entre sí, lo que implica que ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }\,}$ y ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }:=\sigma \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {G}}_{i}\right)}$ son independientes. Como además ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}_{\infty }}$ tenemos entonces que cada ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}_{\infty }}$ es independiente de sí mismo, implicando que:

${\displaystyle \mathbb {P} H=\mathbb {P} (H\cap H)=(\mathbb {P} H)(\mathbb {P} H)}$

de donde se concluye el resultado.

Reglas de transformación
Lógica proposicional
Reglas de inferencia
Modus tollendo tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondicional / eliminación Introducción de la conjunción / eliminación Introducción de la disyunción / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de De Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica predicativa
Generalización / instanciación universal Generalización / instanciación existencial
Lógica modal
v d e

Representación gráfica de las leyes de De Morgan

En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan¹​²​³​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

Las reglas se pueden expresar en español como:

La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.

o informalmente como:

"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"

y también,

"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"

Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:

${\displaystyle \neg (P\land Q)\iff (\neg P)\lor (\neg Q)}$

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\iff (\neg P)\land (\neg Q)}$

donde:

• ¬ es el operador de negación (NO)
• ${\displaystyle \land }$ es el operador de conjunción (Y)
• ${\displaystyle \lor }$ es el operador de disyunción (O)
• ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"

Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.

Notación formal[editar]

La regla de la negación de la conjunción se puede escribir en la subsiguiente notación:

${\displaystyle \neg (P\land Q)\vdash (\neg P\lor \neg Q)}$

La negación de la regla de disyunción se puede escribir como:

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\vdash (\neg P\land \neg Q)}$

En forma de regla: negación de la conjunción

${\displaystyle {\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}}$

y negación de la disyunción

${\displaystyle {\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}}$

y se expresa como una tautología verdad-funcional o teorema de lógica proposicional:

${\displaystyle \neg (P\land Q)\to (\neg P\lor \neg Q)}$

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\to (\neg P\land \neg Q)}$

donde ${\displaystyle P}$, y ${\displaystyle Q}$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Forma de sustitución[editar]

Normalmente, las leyes de De Morgan se muestran en forma compacta como se muestran arriba, con la negación de la salida de la izquierda y la de las entradas a la derecha.

Conjunción[editar]

La conjunción de dos proposiciones es equivalente a la negación de la disyunción de los términos negados

${\displaystyle {\frac {P\land Q}{\ \neg (\neg P\lor \neg Q)}}}$

Disyunción[editar]

La disyunción de dos proposiciones es equivalente a la negación de la conjunción de la negación de P y la negación de Q

${\displaystyle {\frac {P\lor Q}{\ \neg (\neg P\land \neg Q)}}}$

Negaciones de operadores en las conjunciones y disyunciones[editar]

Conjunción con P negada

La conjunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la disyunción de P y la negación de Q

${\displaystyle {\frac {\neg P\land Q}{\ \neg (P\lor \neg Q)}}}$

Conjunción con Q negada

La conjunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la disyunción de la negación de P y Q

${\displaystyle {\frac {P\land \neg Q}{\ \neg (\neg P\lor Q)}}}$

Conjunción tanto de P como de Q negadas

La conjunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la negación de la disyunción de P y Q

${\displaystyle {\frac {\neg P\land \neg Q}{\ \neg (P\lor Q)}}}$

Disyunción con P negada

La disyunción de la proposición P negada y la preposición Q es equivalente a la negación de la conjunción de P y la negación de Q

${\displaystyle {\frac {\neg P\lor Q}{\ \neg (P\land \neg Q)}}}$

Esta forma también es equivalente al implica de la negación del término P y la negación del término Q

${\displaystyle {\frac {\neg (P\lor Q)}{\ \neg (\neg P\rightarrow Q)}}}$

Disyunción con Q negada

La disyunción de la proposición P y la preposición Q negada es equivalente a la negación de la conjunción de la negación de P y Q

${\displaystyle {\frac {P\lor \neg Q}{\ \neg (\neg P\land Q)}}}$

Disyunción tanto de P como de Q negadas

La disyunción de la proposición P y Q negadas es equivalente a la conjunción de la disyunción de P y Q

${\displaystyle {\frac {\neg P\lor \neg Q}{\ \neg (P\land Q)}}}$

Esto pone de relieve la necesidad de invertir tanto en las entradas como en las salidas, así como también cambiar el operador, haciendo una sustitución.

Teoría de conjuntos y el álgebra de Boole[editar]

En la teoría de conjuntos y el álgebra de Boole, a menudo se indica como "Intercambio de Unión e intersección bajo la complementación",⁴​ que puede ser expresado formalmente como:

• ${\displaystyle {\overline {A\cup B}}\equiv {\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$
• ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\equiv {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

donde:

• A es la negación de A, la línea alta está escrita sobre las términos que se niegan
• ∩ es el intersección operador (Y)
• ∪ es el operador unión (O)

La forma generalizada es:

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

${\displaystyle {\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$

donde I es un conjunto indexado, posiblemente incontable.

Se puede recordar la ley de De Morgan, en notación de conjunto, mediante la regla nemotécnica "romper la línea, cambiar el signo".⁵​

Ingeniería[editar]

En ingeniería electrónica e informática, la ley de De Morgan se escribe comúnmente como:

${\displaystyle {\overline {A\cdot B}}\equiv {\overline {A}}+{\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A+B}}\equiv {\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$

donde:

• ${\displaystyle \cdot }$ es el Y lógico
• ${\displaystyle +}$ es el O lógico
• la barra superior es el NO lógico de lo que está por debajo de la barra superior.

Historia[editar]

La ley lleva el nombre de Augustus De Morgan (1806-1871)⁶​ que presentó una versión formal de las leyes de la lógica proposicional clásica. La formulación de De Morgan fue influenciado por la alegorización de la lógica emprendida por George Boole, que más tarde consolidó la afirmación de De Morgan para el hallazgo. Aunque Aristóteles ya había hecho una observación similar y eran conocidas por los lógicos griegos y medievales⁷​ (en el siglo XIV, Guillermo de Ockham escribió las palabras que resultarían leyendo las leyes a cabo),⁸​ A De Morgan se le da crédito de afirmar formalmente las leyes y de su incorporación al lenguaje de la lógica. Las leyes de De Morgan pueden ser probadas fácilmente, e incluso puede parecer triviales.⁹​ Sin embargo, estas leyes son útiles para hacer inferencias válidas en las pruebas y los argumentos deductivos.

Prueba informal[editar]

El teorema de De Morgan se puede aplicar tanto a la negación de una disyunción como a la negación de una conjunción en la totalidad o parte de una fórmula.

Negación de una disyunción[editar]

En el caso de su aplicación a una disyunción, considere la siguiente afirmación: "es falso que uno de A o B es verdadero", que se escribe como:

${\displaystyle \neg (A\land B)}$

En que se ha establecido que ni A ni B es cierto, entonces debe seguir que tanto A no es verdad como B no es verdad, que puede ser escrito directamente como:

${\displaystyle (\neg A)\lor (\neg B)}$

Presentadas en español, esto sigue la lógica de que "Como es falso que dos cosas sean verdaderas, al menos uno de ellos debe ser falsa."

Trabajando en dirección opuesta, la segunda expresión afirma que A es falsa y B es falsa (o equivalentemente que "no A" y "no B" son verdaderas). Sabiendo esto, una disyunción de A y B también debe ser falsas. Por lo tanto, la negación de dicha separación debe ser verdad, y el resultado es idéntico al de la primera reivindicación.

Prueba formal[editar]

La prueba que ${\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$ se realiza por primera probando que ${\displaystyle (A\cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}}$, y luego probando que ${\displaystyle A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A\cap B)^{c}}$ obviamente este procedimiento es válido.

Considérese ${\displaystyle x\in (A\cap B)^{c}}$. Entonces ${\displaystyle x\not \in A\cap B}$. Ya que ${\displaystyle A\cap B=\{y|y\in A{\text{ y }}y\in B\}}$, entonces ya sea ${\displaystyle x\not \in A}$ o ${\displaystyle x\not \in B}$. Si ${\displaystyle x\not \in A}$, entonces ${\displaystyle x\in A^{c}}$, entonces ${\displaystyle x\in A^{c}\cup B^{c}}$. De otro modo, si ${\displaystyle x\not \in B}$, entonces ${\displaystyle x\in B^{c}}$, por lo tanto ${\displaystyle x\in A^{c}\cup B^{c}}$. Debido a que esto es cierto para cualquier arbitrario ${\displaystyle x\in (A\cap B)^{c}}$, entonces ${\displaystyle \forall x\in (A\cap B)^{c},x\in A^{c}\cup B^{c}}$, y entonces ${\displaystyle (A\cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}}$.

Para probar la dirección inversa, asumir que ${\displaystyle \exists x\in A^{c}\cup B^{c}}$ de tal forma que ${\displaystyle x\not \in (A\cap B)^{c}}$. Entonces ${\displaystyle x\in A\cap B}$. De ello resulta que ${\displaystyle x\in A}$ y ${\displaystyle x\in B}$. Entonces ${\displaystyle x\not \in A^{c}}$ y ${\displaystyle x\not \in B^{c}}$. Pero luego ${\displaystyle x\not \in A^{c}\cup B^{c}}$, contradiciendo la hipótesis de que ${\displaystyle x\in A^{c}\cup B^{c}}$. Por lo tanto, ${\displaystyle \forall x\in A^{c}\cup B^{c},x\in (A\cap B)^{c}}$, y ${\displaystyle A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A\cap B)^{c}}$.

Como ${\displaystyle A^{c}\cup B^{c}\subseteq (A\cap B)^{c}}$ y ${\displaystyle (A\cap B)^{c}\subseteq A^{c}\cup B^{c}}$, entonces ${\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}}$, concluyendo la prueba de la ley de De Morgan.

De manera similar, se comprueba la otra ley de De Morgan, que ${\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}}$.

Extensiones[editar]

Las leyes de De Morgan representadas como un circuito con puertas lógicas

En extensiones de la lógica proposicional, se mantiene la dualidad clásica, (es decir, a cualquier operador lógico siempre podemos encontrar su doble), ya que en la presencia de las identidades que rigen la negación, siempre se puede introducir un operador que sea el doble de De Morgan del otro. Esto conduce a una importante propiedad de la lógica basada en la lógica clásica, a saber, la existencia de formas normales de negación: cualquier fórmula es equivalente a otra fórmula en la que solo se producen negaciones aplicadas a las atómicas no lógicas de la fórmula. La existencia de formas normales negadas conduce a muchas aplicaciones, por ejemplo en el diseño de circuitos digitales, donde se utiliza para manipular los tipos de compuertas lógicas, y en la lógica formal, donde es un requisito previo para encontrar la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva de una fórmula. Los programadores de computadoras los utilizan para simplificar o bien negar complicadas condiciones lógicas. También suelen ser útiles para los cálculos en la teoría de probabilidadelemental.

Vamos a definir el dual de cualquier operador P(p, q, ...) en función de las proposiciones elementales p, q, ... para ser el operador ${\displaystyle {\mbox{P}}^{d}}$ definido por

${\displaystyle {\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).}$

Esta idea se puede generalizar a los cuantificadores, así que, por ejemplo el cuantificador universal y cuantificador existencial son duales:

${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x),}$

${\displaystyle \exists x\,P(x)\equiv \neg \forall x\,\neg P(x).}$

Relacionar estas dualidades del cuantificador a las leyes de De Morgan, establecer un modelo con un pequeño número de elementos en su dominio D, tales como

D = {a, b, c}.

Entonces

${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)}$

y

${\displaystyle \exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c).\,}$

Pero, usando las leyes de De Morgan,

${\displaystyle P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))}$

y

${\displaystyle P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),}$

verificando las dualidades del cuantificador en el modelo.

Entonces, las dualidades del cuantificador pueden ser extendidas aún más a la lógica modal, que relaciona el cuadro de los operadores ("necesariamente") y diamante ("posiblemente"):

${\displaystyle \Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,}$

${\displaystyle \Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.\,}$

En su aplicación a las modalidades aléticas de posibilidad y necesidad, Aristóteles observó este caso, y en el caso de la lógica modal normal, se puede entender la relación de estos operadores modales a la cuantificación mediante la creación de modelos utilizando la semántica de Kripke.