MATEMÁTICAS - EPÓNIMOS

Lema de Riemann-Lebesgue recibe el nombre en honor a los matemáticos Bernhard Riemann y Henri Lebesgue, y es de importancia en análisis armónico y análisis asintótico.

Este resultado es en realidad un resultado bastante profundo, debido a que es un elemento crucial en la prueba de la convergencia puntual de las series de Fourier.

Bernhard Riemann presentó en 1854 una primera versión de este teorema. Se convierte en parte de una tesis sobre las series trigonométricas presentado a permitir que su defensa de la Universidad de Göttingen, titulado "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (Sobre la representación de una función por una serie trigonométrica) con esto Riemann define la integral que lleva su nombre. Es en el contexto de esta teoría de la integración para probar su teorema, con muchos otros hallazgos en series de Fourier. La memoria será publicada en 1867 por iniciativa de Richard Dedekind.

Enunciado[editar]

Si ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, entonces

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\xi \cdot x}dx\to 0}$, cuando ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$.

Esto es, la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ tiende a cero, cuando ${\displaystyle \xi }$ tiende a infinito.

Demostración[editar]

Consideraremos el caso particular ${\displaystyle n=1}$, la prueba en otras dimensiones es muy similar. Sea ${\displaystyle f}$ una función suave de soporte compacto, entonces por integración por partes en cada variable se obtiene

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-i\xi x}dx\right|=\left|-{\frac {f(x)e^{-i\xi x}}{i\xi }}+\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{i\xi }}f'(x)e^{-i\xi x}dx\right|=\left|\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{i\xi }}f'(x)e^{-i\xi x}dx\right|\leq {\frac {1}{|\xi |}}\int _{\mathbb {R} }|f'(x)|dx\rightarrow 0{\mbox{ cuando }}|\xi |\rightarrow \infty .}$

Si ${\displaystyle f}$ es una función integrable arbitraria, esta puede ser aproximada en la norma de ${\displaystyle L^{1}}$ por una función ${\displaystyle g}$ suave de soporte compacto. Escogamos tal función ${\displaystyle g}$ de manera que ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon }$. Entonces

${\displaystyle \limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-i\xi x}dx\right|+\limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }\left|\int g(x)e^{-i\xi x}dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,}$

y puesto que esto es para cualquier ${\displaystyle \varepsilon >0}$, el teorema queda demostrado.

Aplicaciones[editar]

El lema de Riemann–Lebesgue puede ser usado para probar la validez de aproximaciones asintóticas para integrales. Tratamientos rigurosos del método de descenso más agudo y el método de la fase estacionaria, entre otros, están basados en este resultado.

 lema de Schur¹​ es una proposición elemental pero muy utilizada en la teoría de representaciones de grupos y álgebras. En el caso de grupos éste dice que si M y N son dos representaciones irreducibles de dimensión finita de un grupo G y φ es un mapeo lineal de M a N que conmuta con la acción del grupo, entonces φ es invertible, o φ = 0. Un caso especial ocurre cuando M = N y φ es un automapeo. El lema lleva el nombre de Issai Schur quien lo uso para probar las relaciones de ortogonalidad de Schur y desarrolló las bases de la teoría de representaciones de grupos finitos. El lema de Schur admite generalizaciones hacia los grupos de Lie y el álgebra de Lie.

Formulación en el lenguaje de módulos[editar]

Si M y N son dos módulos simples sobre un anillo R, entonces cualquier homomorfismo f: M → N de R-módulos es invertible o cero. En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división.

La condición f es un homomorfismo del módulo significa que

${\displaystyle f(rm)=rf(m)}$ para toda ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle R.}$

La versión del grupo es un caso especial de la versión del módulo, ya que cualquier representación de un grupo G puede ser vista equivalentemente como un módulo sobre el anillo del grupo de G.

El lema de Schur se aplica frecuentemente en el siguiente caso particular. Supongamos que R es un álgebrasobre el campo C de los números complejos y M = N es un módulo simple de dimensión finita sobre R. Entonces el lema de Schur dice que el endomorfismo del módulo "M" es un anillo de división; este anillo de división contiene a C en su centro, es de dimensión finita sobre C y por lo tanto es igual a C. Así, el anillo de endomorfismo del módulo M es "tan pequeño como es posible". Más aún, este resultado se cumple para las álgebras sobre cualquier campo algebraicamente cerrado y para módulos simples que son a los más de dimensión numerable. Cuando el campo no es algebraicamente cerrado, el caso donde el anillo del endomorfismo es tan pequeño como es posible es de interés particular: Un módulo simple sobre la k-álgebra se dice ser absolutamente simple si su anillo de endomorfismismo es isomorfo a k. Esto es en general más fuerte que ser irreducible sobre el campo k, e implica que el módulo es irreducible siempre sobre la cerradura algebraica de k.

Forma matricial[editar]

Si A, B son dos representaciones irreducibles de un grupo G y T es una matriz tal que ${\displaystyle TA(g)=B(g)T}$ para cualquier elemento g del grupo G, entonces T es invertible o es la matriz nula.

El lema de Schur, en el caso especial de una sola representación, afirma lo siguiente. Si A es una matriz compleja de orden n que conmuta con todas las matrices de G entonces A es una matriz escalar. Como un corolario, cada representación compleja irreducible de un grupo Abeliano es unidimensional.

Generalización a módulos no simples[editar]

La versión módulo del lema de Schur admite generalizaciones implicando módulos M que no son necesariamente simples. Ellos expresan relaciones entre las propiedades modulares de M y las propiedades del anillo de endomorfismo de M.

Un módulo se dice ser "fuertemente indescomponible" si anillo de endomorfismo es un anillo local. Para la clase importante de módulos de longitud finita, las siguientes propiedades son equivalentes (Lam, 2001, §19):

• Un módulo M es indescomponible;
• M es fuertemente indescomponible;
• Cada endomorfismo de M es nilpotente o invertible.

En general, el lema de Schur no puede invertirse: existen módulos que no son simples, aún que su álgebra del endomorfismo sea un anillo de división. Tales módulos son necesariamente indescomponibles, y no pueden existir sobre anillos semi simples como el anillo del grupo complejo de un grupo finito. Sin embargo, sobre el anillo de los enteros, el módulo de los números racionales, tiene un anillo de endomorfismo que es el anillo de división, específicamente el campo de los números racionales. Aún para anillos de grupos, hay ejemplos cuando la característica del campo divide el orden del grupo: el radical de Jacobson de la cubierta proyectiva de la representación unidimensional del grupo alternante en cinco puntos sobre el campo en tres elementos tiene al campo con tres elementos como su anillo de endomorfismo.

 lema de Siegel afirma la existencia de una solución no nula y de tamaño controlado de un sistema lineal a coeficientes enteros.

El ejemplo más ilustrativo es el siguiente: sea ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ una matriz de n filas y m columnas, con coeficientes enteros (relativos) de valor absoluto menor que M, si n > m entonces el sistema lineal

${\displaystyle \sum a_{i,j}x_{i}=0}$

admite una solución ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}-\{0\}}$ tal que

${\displaystyle \max _{i}|x_{i}|<(nM)^{\frac {m}{n-m}}+1}$.

La demostración se basa en el principio del palomar de Dirichlet. Se utiliza con frecuencia para la prueba de ejemplos de números trascendentales. Carl Ludwig Siegel publicó este lema en 1929;¹​ es un teorema de existencia puro.

lema de Yoneda en teoría de las categorías nos permite sumergir una categoría en otra categoría de funtoresdefinida sobre aquella, y clarifica cómo la categoría sumergida se relaciona con los objetos de la categoría de funtores que la sumerge. Es una herramienta importante que se encuentra subyacente a varios de los desarrollos modernos en geometría algebraica y teoría de la representación. Es una extensa generalización del teorema de Cayley de la teoría de grupos (todo grupo es un monoide, que es a su vez una categoría con un sólo objeto).

Algo sobre su filosofía[editar]

Hablando en general, el lema de Yoneda sugiere que en vez de investigar la categoría(pequeña) C, podemos estudiar la categoría de todos los funtores desde C a la categoría Set (donde Set es la categoría de todos los conjuntos con las aplicaciones en el papel de morfismos). Set es la categoría que mejor entendemos, y un funtor de C a Set puede verse como una "representación" de C en términos de estructuras conocidas. La categoría original C está contenida en dicha categoría de funtores, pero en esta aparecerán objetos nuevos que en cierto modo estaban escondidos en C. Tratando tales objetos nuevos como los viejos en C a menudo unificamos y simplificamos la teoría.

Este modo de ver es parecido (y de hecho lo generaliza) al método corriente de estudiar un anillo mediante el estudio de los módulos sobre el anillo. El anillo haría el papel de la categoría C, y la categoría de funtores donde se le embebe sería la categorías de módulos sobre el anillo embebido.

Lema de Yoneda[editar]

Un objeto A de una categoría C define un funtor covariante de C en la categoría Set de los conjuntos :

${\displaystyle X\rightarrow h_{A}(X)=Hom_{C}(A,X)\,}$

De esta manera disponemos de un funtor contravariante de C en la categoría Func(C,Set) de los funtores contravariantes de C en Set. Todo morfismo de A a B en la categoría C induce un morfismo de ${\displaystyle h_{B}}$ en ${\displaystyle h_{A}}$. El lema de Yoneda afirma que estos son los únicos morfismos de los que disponemos; además, mediante el lema se caracterizan los conjuntos de morfismos de ${\displaystyle h_{A}}$ a cualquier otro funtor de C a Set.

Enunciado[editar]

Para todo objeto ${\displaystyle A}$ de una categoría ${\displaystyle {\cal {C}}}$, todo morfismo ${\displaystyle \psi }$ de ${\displaystyle h_{A}}$ sobre un funtor ${\displaystyle T\colon {\cal {C}}\rightarrow {\mathsf {Set}}}$ está definido únicamente por el elemento de ${\displaystyle T(A)}$ que se define como la imagen de ${\displaystyle Id_{A}}$ en ${\displaystyle h_{A}(A)}$ por ${\displaystyle \psi (A)}$. Más precisamente, disponemos de una biyección:

${\displaystyle \mathrm {Hom} (h_{A},T)\rightarrow T(A\,)}$ ${\displaystyle \psi \rightarrow \psi (A)(Id_{A})\,}$

En particular, para todos los objetos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle {\cal {C}}}$, tenemos que ${\displaystyle \mathrm {Hom} (h_{A},h_{B})=\mathrm {Hom} (B,A)}$, donde h se denomina el embebimiento de Yoneda.

Demostración[editar]

Inyectividad[editar]

Con las notaciones de arriba, consideremos ${\displaystyle \psi }$ un morfismo de ${\displaystyle h_{A}}$ sobre ${\displaystyle T}$. Para todo elemento ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle h_{A}(B)=Hom_{C}(A,B)}$, tenemos :

${\displaystyle f=h_{A}(f)(Id_{A})\,}$

Aplicando a esta identidad la aplicación conjuntista ${\displaystyle \psi (B):h_{A}(B)\rightarrow T(B)}$, obtenemos :

${\displaystyle \psi (B)(f)=\psi (B)\left[h_{A}(f)(Id_{A})\right]=T(f)\left[\psi (A)(Id_{A})\right]}$

donde la segunda igualdad viene de la definición de un morfismo de funtores. El elemento ${\displaystyle \psi (B)(f)}$ es por tanto la imagen de ${\displaystyle \psi (A)(Id_{A})}$ mediante ${\displaystyle T(f)}$. De hecho, haciendo variar f, se demuestra que ${\displaystyle \psi }$ está unívocamente determinadad por ${\displaystyle \psi (A)(Id_{A})}$. La aplicación dada es inyectiva.

Sobreyectividad[editar]

Sea un elemento v de ${\displaystyle T(A)}$. La prueba de la inyectividad permite intuir un (forzosamente único) antecedente de v. Para todo objeto B de C, definimos :

${\displaystyle \psi _{v}(B):h_{A}(B)\rightarrow T(B)\,}$ ${\displaystyle f\mapsto T(f)(v)}$

Verifiquemos que ${\displaystyle \psi _{v}}$ es un morfimo de funtores. Para toda flecha ${\displaystyle g:B\rightarrow C}$ y para todo elemento f de ${\displaystyle h_{A}(B)}$, podemos escribir :

${\displaystyle T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi _{v}(C)(g.f)}$

Ahora bien, la composición g.f puede ser vista como la imagen def por ${\displaystyle h_{A}(g)}$. Por tanto, la identidad obtenida se reescribe:

${\displaystyle T(g)\left[\psi _{v}(B)(f)\right]=\psi _{v}(C)\left[h_{A}(g)(f)\right]}$

Haciendo variar f :

${\displaystyle T(g)\circ \psi _{v}(B)=\psi _{v}(C)\circ h_{A}(g)}$

Siendo esto verificado para toda flecha g, ${\displaystyle \psi _{v}}$ es un funtor de ${\displaystyle h_{A}}$ sobre ${\displaystyle T}$ y su imagen es casi por definición v (se ha definido para ello).

 lema de Zorn, también llamado de Kuratowski-Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente:

Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior, contiene al menos un elemento maximal.

Debe su nombre al matemático Max Zorn.

Los términos se definen como sigue. Supóngase que (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado. Un subconjunto T de P es totalmente ordenado si para cualesquiera s, t ∈ T se tiene s ≤ t o t ≤ s. Tal conjunto T tiene una cota superior u ∈ P si t ≤ u para cualquier t ∈ T; no se necesita que u sea miembro de T. Un elemento m ∈ Pes maximal si el único x ∈ P tal que m ≤ x es m mismo.

Al igual que el teorema del buen orden, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección, en el sentido de que cualquiera de ellos, junto con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, basta para probar los otros. Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpotiene clausura algebraica.

Ejemplo[editar]

Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal. Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.

Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal I ⊆ R que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P). Sea I la unión de todos los ideales en T. Ésta es también un ideal: para cualesquiera a, b ∈ I, existen J, K ∈ Ttales que a ∈ J y b ∈ K. Como T está totalmente ordenado, K ⊆ J o J ⊆ K. En el primer caso, b ∈ J y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, ra ∈ J ⊆ I para cualquier r ∈ R. En el segundo caso se razona de manera similar.

Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y sólo si incluye a 1. Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier r ∈ R, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un J ∈ T tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.

Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.

Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1. De lo contrario, no sólo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.