FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

clasificación de la teoría K se refiere a una aplicación conjeturada de la teoría K (en álgebra abstracta y topología algebraica ) a las supercuerdas, para clasificar las intensidades de campo permitidas de Ramond-Ramond así como las cargas de D-branes estables .

En la física de la materia condensada , la teoría K también ha encontrado aplicaciones importantes, especialmente en la clasificación topológica de aisladores topológicos , superconductores y superficies de Fermi estables ( Kitaev (2009) , Horava (2005) ).

Historia [ editar ]

Esta conjetura, aplicada a las cargas de D-brana, fue propuesta por primera vez por Minasian y Moore (1997) . Fue popularizado por Witten (1998) quien demostró que en la teoría de cuerdas de tipo IIB surge naturalmente de la realización de Ashoke Sen de configuraciones de D-brana arbitrarias como pilas de D9 y anti-D9-branas después de la condensación del taquión .

Tales pilas de branas son inconsistentes en un fondo de 3 formas de Neveu-Schwarz (NS) no torsional, que, como lo destacó Kapustin (2000) , complica la extensión de la clasificación de la teoría K a tales casos. Bouwknegt y Varghese (2000) sugirieron una solución a este problema: las D-branas en general están clasificadas por una teoría K torcida , que Rosenberg (1989) definió anteriormente .

Aplicaciones [ editar ]

La clasificación de la teoría K de D-branas ha tenido numerosas aplicaciones. Por ejemplo, Hanany y Kol (2000) lo utilizaron para argumentar que hay ocho especies de un plano de orientación . Uranga (2001) aplicó la clasificación de la teoría K para derivar nuevas condiciones de consistencia para compactaciones de flujo . Bouwknegt, Evslin y Varghese (2004) también han utilizado la teoría K para conjeturar una fórmula para las topologías de las variedades T-duales . Recientemente se ha conjeturado la teoría K para clasificar los espinesen compactaciones en variedades complejas generalizadas .

Problemas abiertos [ editar ]

A pesar de estos éxitos, los flujos de RR no están del todo clasificados por la teoría de K. Diaconescu, Moore & Witten (2003) argumentaron que la clasificación de la teoría K es incompatible con la dualidad S en la teoría de cuerdas IIB .

Además, si uno intenta clasificar los flujos en un espacio-tiempo compacto de diez dimensiones, entonces surge una complicación debido a la auto-dualidad de los flujos RR. La dualidad utiliza la estrella de Hodge , que depende de la métrica y, por lo tanto, se valora continuamente y, en particular, es genéricamente irracional. Por lo tanto, no todos los flujos RR, que se interpretan como los caracteres de Chern en la teoría K, pueden ser racionales. Sin embargo, los personajes de Chern siempre son racionales, por lo que la clasificación de la teoría K debe ser reemplazada. Se necesita elegir la mitad de los flujos para cuantificar, o una polarización en la cuantificación geométrica , lenguaje inspirado de Diaconescu, Moore y Witten y más tarde de Varghese y Sati (2004). Alternativamente, se puede usar la teoría K de un intervalo de tiempo de 9 dimensiones como lo ha hecho Maldacena, Moore y Seiberg (2001) .

Clasificación de la teoría K de los flujos RR [ editar ]

En el límite clásico de la teoría de cuerdas de tipo II , que es la supergravedad de tipo II , las intensidades de campo de Ramond-Ramond son formas diferenciales . En la teoría cuántica, la buena definición de las funciones de partición de las D-branas implica que las intensidades del campo RR obedecen a las condiciones de cuantización de Dirac cuando el espacio-tiempo es compacto , o cuando un corte espacial es compacto y uno considera solo los componentes (magnéticos) del campo. Fuerza que se encuentra a lo largo de las direcciones espaciales. Esto llevó a los físicos del siglo XX a clasificar las fortalezas del campo RR utilizando la cohomologíacon coeficientes integrales.

Sin embargo, algunos autores han argumentado que la cohomología del espacio-tiempo con coeficientes integrales es demasiado grande. Por ejemplo, en presencia de los flujos de Neveu-Schwarz H-flux o sin hilado, algunos flujos RR dictan la presencia de D-branas. En el primer caso, esto es una consecuencia de la ecuación de movimiento de supergravedad que establece que el producto de un flujo RR con la forma 3 de NS es una densidad de carga D-brana. Por lo tanto, el conjunto de intensidades de campo RR topológicamente distintas que pueden existir en configuraciones sin brana es solo un subconjunto de la cohomología con coeficientes integrales.

Este subconjunto es todavía demasiado grande, porque algunas de estas clases están relacionadas por transformaciones de gran calibre. En QED hay transformaciones de gran calibre que agregan múltiplos integrales de dos pi a los bucles de Wilson. Los potenciales de forma p en las teorías de supergravedad de tipo II también disfrutan de estas transformaciones de gran calibre, pero debido a la presencia de los términos de Chern-Simonsen las acciones de supergravedad, estas transformaciones de gran calibre transforman no solo los potenciales de forma p sino también a la vez (p + 3) -formar las intensidades de campo. Por lo tanto, para obtener el espacio de intensidades de campo desiguales del subconjunto mencionado de cohomología integral, debemos calcular este tipo de transformaciones de gran calibre.

La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch construye la teoría K torcida, con un giro dado por la intensidad de campo de 3 formas de NS, como cociente de un subconjunto de la cohomología con coeficientes integrales. En el límite clásico, que corresponde a trabajar con coeficientes racionales, este es precisamente el cociente de un subconjunto descrito anteriormente en supergravedad. Las correcciones cuánticas provienen de clases de torsión y contienen correcciones de torsión mod 2 debido a la anomalía de Freed-Witten.

Así, la teoría K torcida clasifica el subconjunto de intensidades de campo RR que pueden existir en ausencia de D-branas cocidas por transformaciones de gran calibre. Daniel Freed ha intentado ampliar esta clasificación para incluir también los potenciales de RR usando la teoría K diferencial.

Clasificación de la teoría K de D-branas [ editar ]

La teoría K clasifica las D-branas en tiempos espaciales no compactos, intuitivamente en los tiempos espaciales en los que no nos preocupa que el flujo derivado de la brana no tenga a dónde ir. Mientras que la teoría K de un espacio-tiempo 10d clasifica las D-branas como subconjuntos de ese espacio-tiempo, si el espacio-tiempo es el producto del tiempo y una variedad 9 fija, entonces la teoría K también clasifica las cargas D-brana conservadas en cada 9 dimensiones. corte espacial Si bien se nos pidió que olvidáramos los potenciales de RR para obtener la clasificación de intensidad de campo RR de la Teoría K, debemos olvidarnos de las fortalezas de campo de RR para obtener la clasificación de D-branas de la Teoría K.

Carga K-teoría frente a carga BPS [ editar ]

Como ha subrayado Petr Hořava , la clasificación de la teoría K de D-branas es independiente y, en cierto modo, más fuerte que la clasificación de los estados BPS . La teoría K parece clasificar las D-branas estables omitidas por las clasificaciones basadas en supersimetría .

Por ejemplo, D-branas con cargas de torsión, es decir, con cargas en el orden N grupo cíclico $${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {N}}, se atraen entre sí y por lo tanto nunca pueden ser BPS. De hecho, N tales branas pueden descomponerse, mientras que ninguna superposición de branas que satisfaga un Bogomolny puede desintegrarse. Sin embargo, la carga de tales branas se conserva en el módulo N, y esto se refleja en la clasificación de la teoría K, pero no en una clasificación BPS. Tales branas de torsión se han aplicado, por ejemplo, para modelar cuerdas de Douglas-Shenker en teorías supersimétricas de calibre U (N) .

Teoría K de la condensación del taquión [ editar ]

Ashoke Sen ha conjeturado que, en ausencia de un flujo de 3 formas NS no topológicamente no trivial, todas las configuraciones de brana IIB pueden obtenerse a partir de pilas de espacio D9 y anti-D9 branas mediante condensación de taquión. La topología de las branas resultantes se codifica en la topología del haz de indicadores en la pila de las branas que llenan el espacio. La topología del conjunto de indicadores de una pila de D9s y anti D9 se puede descomponer en un conjunto de indicadores en los D9 y otro conjunto en los anti D9. La condensación de taquiones transforma tal par de paquetes a otro par en el que el mismo paquete se suma directamente con cada componente del par. Por lo tanto, la cantidad invariante de la condensación del taquión, es decir, la carga que se conserva mediante el proceso de condensación del taquión, no es un par de paquetes, sino la clase de equivalencia de un par de paquetes bajo sumas directas del mismo paquete en ambos lados del par . Esta es precisamente la construcción habitual de la teoría K topológica.. Por lo tanto, los paquetes de medidores en pilas de D9 y anti-D9 se clasifican según la teoría K topológica. Si la conjetura de Sen es correcta, todas las configuraciones de D-brana en el tipo IIB se clasifican por K-theory. Petr Horava ha extendido esta conjetura al tipo IIA usando D8-branas.

Twisted K-theory desde MMS instantons [ editar ]

Mientras que la imagen de condensación de taquión de la clasificación de la teoría K clasifica las D-branas como subconjuntos de un espacio-tiempo de 10 dimensiones sin ningún flujo de 3 formas de NS, la imagen de Maldibena, Moore, Seiberg clasifica las D-branas estables con masa finita como subconjuntos de Rebanada espacial 9-dimensional del espacio-tiempo.

La observación central es que las D-branas no se clasifican por homología integral porque las Dp-branas que envuelven ciertos ciclos sufren una anomalía de Freed-Witten, que se cancela por la inserción de D (p-2) -branes y algunas veces D (p- 4) -branas que terminan en la Dp-brana afectada. Estas branas insertadas pueden continuar hasta el infinito, en cuyo caso el objeto compuesto tiene una masa infinita, o bien pueden terminar en una anti-Dp-brana, en cuyo caso la carga total de Dp-brana es cero. En cualquier caso, uno puede desear eliminar las Dp-branas anómalas del espectro, dejando solo un subconjunto de la cohomología integral original.

Las branas insertadas son inestables. Para ver esto, imagine que se extienden en el tiempo (hacia el pasado) desde la brana anómala. Esto corresponde a un proceso en el que las branas insertadas se desintegran a través de una Dp-brana que se forma, envuelve el ciclo mencionado y luego desaparece. MMS ^{[1] se} refiere a este proceso como una instancia instantánea, aunque en realidad no necesita ser instantónico.

Las cargas conservadas son, por lo tanto, el subconjunto no anómalo cocido por las inserciones inestables. Esta es precisamente la construcción de la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch de la teoría K torcida como un conjunto.

Conciliación de la teoría K torcida y la dualidad S [ editar ]

Diaconescu, Moore y Witten señalaron que la clasificación de la teoría K torcida no es compatible con la covarianza de dualidad S de la teoría de cuerdas de tipo IIB. Por ejemplo, considere la restricción en la intensidad de campo G _{3 de} forma Ramond-Ramond en la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch (AHSS):

$${\ displaystyle d_ {3} G_ {3} = Sq ^ {3} G_ {3} + H \ cup G_ {3} = G_ {3} \ cup G_ {3} + H \ cup G_ {3} = 0 }

donde d ₃ = Sq ³ + H es el primer diferencial no trivial en el AHSS, Sq ³ es el tercer cuadrado de Steenrod y la última igualdad se deriva del hecho de que el nth Steenrod cuadrado que actúa en cualquier forma de n x es x$${\ displaystyle \ cup}X.

La ecuación anterior no es invariante en la dualidad S, que intercambia G ₃ y H. En cambio, Diaconescu, Moore y Witten han propuesto la siguiente extensión covariante de dualidad S

$${\ displaystyle G_ {3} \ cup G_ {3} + H \ cup G_ {3} + H \ cup H = P}

donde P es una clase de característica desconocida que depende solo de la topología, y en particular no de los flujos. Diaconescu, Freed y Moore (2007) encontraron una restricción en P utilizando el enfoque de la teoría de calibre E _{8 a} la teoría M iniciada por Diaconescu, Moore y Witten.

Por lo tanto, las D-branas en IIB no se clasifican según la teoría K torcida, sino un objeto de covariante de dualidad S que inevitablemente también clasifica tanto las cuerdas fundamentales como las branas NS5 .

Sin embargo, la prescripción de MMS para calcular la teoría K torcida es fácilmente covariantizada en S, ya que las anomalías de Freed-Witten respetan la dualidad S Por lo tanto, la forma covariantizada en S de la construcción MMS se puede aplicar para construir la teoría K torcida covariantizada en S, como un conjunto, sin saber que tiene una descripción geométrica de lo que es este extraño objeto covariante. Este programa se ha llevado a cabo en varios artículos, como Evslin & Varadarajan (2003) y Evslin (2003a) , y también se aplicó a la clasificación de flujos de Evslin (2003b) . Bouwknegt et al. (2006)Utilice este enfoque para probar la restricción conjeturada de Diaconescu, Moore y Witten en los 3 flujos, y muestran que hay un término adicional igual a la carga D3-brane. Evslin (2006) muestra que la cascada Klebanov-Strassler de las dualidades de Seiberg consiste en una serie de instantes MMS S-duales, uno para cada dualidad de Seiberg. El grupo,$${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {N}} de las clases de universalidad de la $${\ displaystyle SU (M + N) \ veces SU (M)}La teoría del calibre supersimétrico se muestra entonces de acuerdo con la teoría K torcida en doble S y no con la teoría K torcida original.

Algunos autores han propuesto soluciones radicalmente diferentes a este rompecabezas. Por ejemplo, Kriz y Sati (2005) proponen que, en lugar de la teoría K torcida, las configuraciones de la teoría de cuerdas II deben clasificarse por cohomología elíptica .

Investigadores [ editar ]

Investigadores destacados en esta área incluyen Edward Witten , Peter Bouwknegt, Angel Uranga, Emanuel Diaconescu, Gregory Moore , Anton Kapustin , Jonathan Rosenberg , Ruben Minasian, Amihay Hanany, Hisham Sati, Nathan Seiberg , Juan Maldacena , Daniel Freed e Igor Kriz.

 superficie K3 es una superficie completa mínima lisa compleja o algebraica que es regular y tiene un haz canónico trivial .

En la clasificación de superficies Enriques – Kodaira forman una de las cuatro clases de superficies de dimensión Kodaira  0.

Junto con los toros complejos bidimensionales , son los múltiples de Calabi-Yau de dimensión dos. La mayoría de las superficies complejas de K3 no son algebraicas. Esto significa que no pueden incrustarse en ningún espacio proyectivo como una superficie definida por ecuaciones polinomiales.

Definición [ editar ]

Hay muchas propiedades equivalentes que se pueden usar para caracterizar una superficie K3 . Las únicas superficies lisas completas con haz canónico trivial son las superficies K3 y tori (o variedades abelianas), por lo que se puede agregar cualquier condición para excluir a esta última para definir las superficies K3. Sobre los números complejos, a veces se usa la condición de que la superficie está simplemente conectada.

Existen algunas variaciones de la definición: algunos autores se restringen a las superficies proyectivas y otros permiten las superficies con singularidades de Du Val .

Cálculo de los números de Betti [ editar ]

Equivalentemente a la definición anterior, una superficie K3 se define como una superficie S con un conjunto canónico trivial $${\ displaystyle K_ {S} = 0}e irregularidad $${\ displaystyle q (S) = 0}. Uno tiene

$${\ displaystyle 0 = q (S) = h ^ {0,1} (S) = \ dim H ^ {1} (S, {\ mathcal {O}} _ {S})}

y, desde la dualidad de Serre ,

$${\ displaystyle h ^ {2} (S, {\ mathcal {O}} _ {S}) = h ^ {0} (S, K_ {S}) = 1.}

En total, se obtiene la característica de Euler.

$${\ displaystyle \ chi (S, {\ mathcal {O}} _ {S}): = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} h ^ {i} (S, {\ mathcal {O} } _ {S}) = 2.}

Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) dice

$${\ displaystyle \ chi (S, {\ mathcal {O}} _ {S}) = {\ frac {1} {12}} (c_ {1} (S) ^ {2} + c_ {2} (S ))},

dónde $${\ displaystyle c_ {i} (S)}Es la I - clase de Chern . Ya que$${\ displaystyle K_ {S}} Es trivial, su primera clase de Chern. $${\ displaystyle c_ {1} (S)} desaparece, por lo tanto $${\ displaystyle c_ {2} (S) = 24}.

Desde entonces $${\ displaystyle c_ {2} (S)}es igual al número de Euler e ( S ) =  b ₀ ( S ) -  b ₁ ( S ) +  b ₂ ( S ) -  b ₃ ( S ) +  b ₄ ( S ) y b ₀ ( S ) =  b ₄ ( S ) = 1, b ₁ ( S ) =  b ₃ ( S ) = 2 q ( S ) = 0, obtenemos b₂ ( S ) = 22.

Propiedades [ editar ]

1. Todas las superficies complejas de K3 son difeomorfas entre sí (probada por Kunihiko Kodaira en primer lugar). Yum-Tong Siu  ( 1983 ) demostró que todas las superficies complejas de K3 son variedades de Kähler . Como consecuencia de esto y de la solución de Shing-Tung Yau a la conjetura de Calabi , todas las superficies complejas de K3 admiten métricas planas de Ricci .

2. Los grupos de cohomología ( p, q ) están indicados en el diamante Hodge.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

3. En$${\ displaystyle H ^ {2} (S, \ mathbb {Z})}, el producto de copa define una estructura de celosía, llamada celosía K3 , como se describe en la siguiente sección.

Debido a las propiedades anteriores, las superficies K3 se han estudiado ampliamente no solo en geometría algebraica sino también en álgebras Kac-Moody , simetría de espejo y teoría de cuerdas . En particular, la estructura de celosía proporciona la modularidad con el grupo Néron-Severi .

El mapa del período [ editar ]

Existe un espacio de módulos gruesos para las superficies K3 complejas marcadas, un espacio analítico suave no de Hausdorff de dimensión compleja 20. Existe un mapeo de períodos y el teorema de Torelli se aplica a las superficies complejas K3.

El conjunto M de pares que consiste en una superficie S compleja de K3 y una clase de Kähler de$${\ displaystyle H ^ {1,1} (S, \ mathbb {R})}es de una manera natural una variedad analítica real de dimensión 60. Hay un mapa de período refinado desde Mhasta un espacio KΩ ⁰ que es un isomorfismo. El espacio de los períodos se puede describir explícitamente de la siguiente manera:

• L es la red uniforme unimodular II _3,19 .
• Ω es el espacio simétrico hermitiano que consta de los elementos del complejo espacio proyectivo de$${\ displaystyle L \ otimes \ mathbb {C}}que están representados por elementos ω con ( ω , ω ) = 0, ( ω , ω ^* )> 0.
• KΩ es el conjunto de pares ( κ , [ ω ]) en ( L ⊗ R , Ω) con ( κ , E ( ω )) = 0, ( κ , κ )> 0.
• KΩ ⁰ es el conjunto de elementos ( κ , [ ω ]) de KΩ tal que ( κd ) ≠ 0 para cada d en L con ( d , d ) = −2, ( ω , d) = 0.

Superficies proyectivas K3 [ editar ]

Si L es un haz lineal en una superficie K3, las curvas en el sistema lineal tienen el género g , donde c ₁ ² ( L ) = 2 g  - 2. Una superficie K3 con un haz lineal L como esta se llama una superficie K3 de género  g . Una superficie K3 puede tener muchos haces de líneas diferentes, lo que la convierte en una superficie K3 del género g para muchos valores diferentes de g . El espacio de las secciones del haz de líneas tiene una dimensión g  + 1, por lo que hay un morfismo de la superficie K3 al espacio proyectivo de la dimensión g . Hay un espacio de moduli F _gde las superficies de K3 con un haz de líneas amplias primitivas L con c ₁ ² ( L ) = 2 g  - 2, que no es vacío de dimensión 19 para  g  ≥ 2. Mukai (2006) mostró que este espacio de módulos F _{g no} es racional si  g  ≤ 13, y VA Gritsenko, Klaus Hulek y GK Sankaran ( 2007 ) mostraron que es de tipo general si g  ≥ 63. Voisin (2008) realizó una encuesta en esta área.

Relación con la dualidad de cuerdas [ editar ]

Las superficies de K3 aparecen de forma casi ubicua en la dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para su comprensión. Las compactaciones de cadenas en estas superficies no son triviales, sin embargo, son lo suficientemente simples para que podamos analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cadena de tipo IIA, la cadena de tipo IIB, la cadena heterótica E ₈ × E ₈ , la cadena heterótica Spin (32) / Z2 y la teoría M se relacionan mediante la compactación en una superficie K3. Por ejemplo, el Tipo IIA compactado en una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactada en el Aspinwall de 4 toros (1996) .

Ejemplos [ editar ]

• Una doble cubierta del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva de grado 6 no singular es una superficie de género 2 K3.
• Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana A bidimensional por la acción a → - a . Esto se traduce en 16 singularidades, en los puntos 2-torsión de A . La resolución mínima de este cociente es una superficie del género 3 K3.
• Una superficie de grado 4 no singular en P ³ es una superficie de género 3 K3.
• La intersección de un cuadric y un cúbico en P ⁴ da las superficies del género 4 K3.
• La intersección de tres cuadráticas en P ⁵ da las superficies del género 5 K3.
• Brown (2007) describe una base de datos computarizada de superficies K3.

Historia [ editar ]

Srinivasa Ramanujan descubrió la superficie K3 por primera vez en la década de 1910, pero no se publicó, ^[1] [2] y fue redescubierta por André Weil (1958), quien los nombró en honor de tres geometristas algebraicos, Ernst Kummer , Erich Kähler y Kunihiko Kodaira , y montaña K2 en Pakistán.