FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

EXTENSIÓN DE ÁLGEBRA DE MENTIRA , CONTINUACIÓN

Aplicaciones [ editar ]

El resultado "negativo" del teorema anterior indica que uno debe, al menos para las álgebras de Lie semisimples, ir a las álgebras de Lie de dimensión infinita para encontrar aplicaciones útiles de extensiones centrales. De hecho, hay tales Aquí se presentarán las afebras afines Kac-Moody y las álgebras Virasoro. Estas son extensiones de álgebra de bucles polinómica y el álgebra de Witt respectivamente.

Álgebra polinómica de bucle [ editar ]

Sea g un álgebra polinómica de bucle ( fondo ),

$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = C [\ lambda, \ lambda ^ {- 1}] \ otimes {\ mathfrak {g}} _ {0},}

donde g ₀ es un álgebra simple de Lieja, finita y compleja. El objetivo es encontrar una extensión central de este álgebra. Dos de los teoremas aplican. Por un lado, si hay un 2-cociclo en g , entonces se puede definir una extensión central. Por otro lado, si este 2-cociclo está actuando en la parte g ₀ (solo), entonces la extensión resultante es trivial. Además, las derivaciones que actúan sobre g ₀ (solo) no se pueden usar para la definición de un ciclo de 2 ya sea porque estas derivaciones son todas internas y el mismo problema resulta. Por lo tanto, uno busca derivaciones en C [ λ , λ ⁻¹ ] . Uno de tales conjuntos de derivaciones es

$${\ displaystyle d_ {k} \ equiv \ lambda ^ {k + 1} {\ frac {d} {d \ lambda}}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}.}

Para fabricar una forma antisimétrica asociativa bilineal no degenerada L en g , la atención se centra primero en las restricciones de los argumentos, con m , n fijada. Es un teorema que cada formulario que cumpla con los requisitos es un múltiplo del formulario de Matanza K en g ₀ . ^[13] Esto requiere

$${\ displaystyle L (\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {1}, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2}) = \ gamma _ {lm} K (G_ {1}, G_ {2}) .}

Simetría de k implica

$${\ displaystyle \ gamma _ {mn} = \ gamma _ {nm},}

y rendimientos asociativos

$${\ displaystyle \ gamma _ {k + l, m} = \ gamma _ {k, l + m}.}

Con l = 0 se ve que γ _lm = γ _0, l + m . Esta última condición implica la primera. Usando este hecho, defina f ( n ) = γ _0, n . La ecuación definitoria se convierte entonces en

$${\ displaystyle L (\ lambda ^ {m} \ otimes G_ {1}, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2}) = f (l + m) K (G_ {1}, G_ {2}) .}

Para cada i ∈ la definición

$${\ displaystyle f (n) = \ delta _ {ni} \ Leftrightarrow \ gamma _ {lm} = \ delta _ {l + m, i}}

define una forma bilineal asociativa simétrica

$${\ displaystyle L_ {i} (\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {1}, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2}) = \ delta _ {l + m, i} K (G_ {1 }, G_ {2}).}

Pero estos forman la base de un espacio vectorial en el que cada formulario tiene las propiedades correctas.

Volviendo a las derivaciones a mano y la condición.

$${\ displaystyle L_ {i} (d_ {k} (\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {1}), \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2}) = - L_ {i} (\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {1}, d_ {k} (\ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2})),

uno ve, usando las definiciones, que

$${\ displaystyle l \ delta _ {k + l + m, i} = - m \ delta _ {k + l + m, i},}

o, con n = l + m ,

$${\ displaystyle n \ delta _ {k + n, i} = 0.}

Esto (y la condición de antisimetría) se mantiene si k = i , en particular se mantiene cuando k = i = 0 .

Por lo tanto eligió L = L ₀ y d = d ₀ . Con estas elecciones, se satisfacen las premisas en el corolario. El 2-cociclo φ definido por

$${\ displaystyle \ varphi (P (\ lambda) \ otimes G_ {1}), Q (\ lambda) \ otimes G_ {2})) = L (\ lambda {\ frac {dP} {d \ lambda}} \ otimes G_ {1}, Q (\ lambda) \ otimes G_ {2})}

Finalmente se emplea para definir una extensión central de g ,

$${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} = {\ mathfrak {g}} \ oplus \ mathbb {C} C,}

con soporte de mentira

$${\ displaystyle [P (\ lambda) \ otimes G_ {1} + \ mu C, Q (\ lambda) \ otimes G_ {2} + \ nu C] = P (\ lambda) Q (\ lambda) \ otimes [ G_ {1}, G_ {2}] + \ varphi (P (\ lambda) \ otimes G_ {1}, Q (\ lambda) \ otimes G_ {2}) C.}

Para los elementos de base, adecuadamente normalizados y con constantes de estructura antisimétrica, uno tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {i} + \ mu C, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {j} + \ nu C] & = \ lambda ^ {l + m} \ otimes [G_ {i}, G_ {j}] + \ varphi (\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {i}, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {j}) C \\ & = \ lambda ^ {l + m} \ otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + L (\ lambda {\ frac {d \ lambda ^ {l}} {d \ lambda} } \ otimes G_ {i}, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {j}) C \\ & = \ lambda ^ {l + m} \ otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + lL (\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {i}, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {j}) C \\ & = \ lambda ^ {l + m} \ otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + l \ delta _ {l + m, 0} K (G_ {i}, G_ {j}) C \\ & = \ lambda ^ {l + m} \ otimes {C_ { ij}} ^ {k} G_ {k} + l \ delta _ {l + m, 0} {C_ {ik}} ^ {m} {C_ {jm}} ^ {k} C = \ lambda ^ {l + m} \ otimes {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + l \ delta _ {l + m, 0} \ delta ^ {ij} C. \ end {alineado}}}

Esta es una extensión central universal del álgebra de bucle polinomial. ^[14]

Una nota sobre terminología.

En terminología física, el álgebra de arriba podría pasar por un álgebra Kac-Moody, mientras que probablemente no lo haga en terminología matemática. Se requiere una dimensión adicional, una extensión por una derivación para esto. No obstante, si, en una aplicación física, los valores propios de g ₀ o su representante se interpretan como números cuánticos (ordinarios) , el superíndice adicional en los generadores se denomina nivel . Es un número cuántico adicional. Un operador adicional cuyos valores propios son precisamente los niveles se presenta más adelante.

Álgebra actual [ editar ]

Murray Gell-Mann , Premio Nobel de física en 1969 , inició el campo del álgebra actual en la década de 1960. Explota las simetrías locales conocidas incluso sin conocer la dinámica subyacente para extraer predicciones, por ejemplo, la regla de la suma Adler-Weisberger .

Artículo principal: Álgebra actual.

Como una aplicación de una extensión central del álgebra de bucle polinómico, se considera un álgebra actual de una teoría cuántica de campos ( fondo ). Supongamos que uno tiene un álgebra actual, con el conmutador interesante siendo

$${\ displaystyle [J_ {a} ^ {0} (t, \ mathbf {x}), J_ {b} ^ {i} (t, \ mathbf {y})] = i {C_ {ab}} ^ { c} J_ {c} ^ {i} (t, \ mathbf {x}) \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) + S_ {ab} ^ {ij} \ partial _ {j} \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) + ...,}

( CA10 )

con un término de Schwinger. Para construir este álgebra matemáticamente, sea g el álgebra de bucle polinómico centralmente extendido de la sección anterior con

$${\ displaystyle [\ lambda ^ {l} \ otimes G_ {i} + \ mu C, \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {j} + \ nu C] = \ lambda ^ {l + m} \ otimes { C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} + l \ delta _ {l + m, 0} \ delta _ {ij} C}

como una de las relaciones de conmutación, o, con un interruptor de notación ( l → m , m → n , i → a , j → b , λ ^m ⊗ G _a → T ^m _a ) con un factor de i bajo la convención de física , ^{[nb 3]}

$${\ displaystyle [T_ {a} ^ {m}, T_ {b} ^ {n}] = i {C_ {ab}} ^ {c} T_ {c} ^ {m + n} + m \ delta _ { m + n, 0} \ delta _ {ab} C.}

Definir utilizando elementos de g ,

$${\ displaystyle J_ {a} (x) = {\ frac {\ hbar} {L}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi inx} {L }} T_ {a} ^ {- n}, x \ in \ mathbb {R}.}

Uno nota que

$${\ displaystyle J_ {a} (x + L) = J_ {a} (x)}

Para que se defina en un círculo. Ahora calcula el conmutador,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} [] [J_ {a} (x), J_ {b} (y)] & = \ left ({\ frac {\ hbar} {L}} \ right) ^ {2 } \ left [\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi inx} {L}} T_ {a} ^ {- n}, \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi imy} {L}} T_ {b} ^ {- m} \ right] \\ & = \ left ({\ frac {\ hbar} {L}} \ right) ^ {2} \ sum _ {m, n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi inx} {L}} e ^ {\ frac {2 \ pi imy} {L}} [T_ {a} ^ {- n}, T_ {b} ^ {- m}]. \ end {alineado}}}

Para simplificar, cambie las coordenadas de modo que y → 0, x → x - y ≡ z y use las relaciones de conmutación,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} [] [J_ {a} (z), J_ {b} (0)] & = \ left ({\ frac {\ hbar} {L}} \ right) ^ {2 } \ sum _ {m, n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi inz} {L}} [i {C_ {ab}} ^ {c} T_ {c} ^ {-mn} + m \ delta _ {m + n, 0} \ delta _ {ab} C] \\ & = \ left ({\ frac {\ hbar} {L}} \ right) ^ {2} \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi i (-m) z} {L}} \ sum _ {l = - \ infty} ^ {\ infty} es decir ^ {\ frac {2 \ pi i (l) z} {L}} {C_ {ab}} ^ {c} T_ {c} ^ {- l} + \ left ({\ frac {\ hbar} {L }} \ right) ^ {2} \ sum _ {m, n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi inz} {L}} m \ delta _ {m + n, 0} \ delta _ {ab} C \\ & = \ left ({\ frac {\ hbar} {L}} \ right) \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi imz} {L}} i {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} (z) - \ left ({\ frac {\ hbar} {L}} \ right) ^ {2} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {2 \ pi inz} {L}} n \ delta _ {ab} C \ end {alineado}}}

Ahora emplee la fórmula de suma de Poisson ,

$${\ displaystyle {\ frac {1} {L}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ frac {-2 \ pi inz} {L}} = {\ frac {1 } {L}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (z + nL) = \ delta (z)}

para z en el intervalo (0, L) y diferenciarlo para obtener

$${\ displaystyle - {\ frac {2 \ pi i} {L ^ {2}}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} ne ^ {\ frac {-2 \ pi inz} {L }} = \ delta '(z),}

y finalmente

$${\ displaystyle [J_ {a} (xy), J_ {b} (0)] = i \ hbar {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} (xy) \ delta (xy) + {\ frac {i \ hbar ^ {2}} {2 \ pi}} \ delta _ {ab} C \ delta '(xy),}

o

$${\ displaystyle [J_ {a} (x), J_ {b} (y)] = i \ hbar {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} (x) \ delta (xy) + {\ frac {i \ hbar ^ {2}} {2 \ pi}} \ delta _ {ab} C \ delta '(xy),}

ya que los argumentos de las funciones delta solo aseguran que los argumentos de los argumentos izquierdo y derecho del conmutador sean iguales (formalmente δ ( z ) = δ ( z - 0) ↦ δ (( x - y ) - 0) = δ ( x - y ) ).

En comparación con CA10 , este es un álgebra actual en dos dimensiones del espacio-tiempo, incluido un término de Schwinger , con la dimensión del espacio enrollada en un círculo. En el contexto clásico de la teoría cuántica de campos, esto quizás sea de poca utilidad, pero con el advenimiento de la teoría de cuerdas donde los campos viven en hojas de cadenas de mundos y las dimensiones espaciales se acurrucan, puede haber aplicaciones relevantes.

Álgebra Kac – Moody [ editar ]

Robert Moody (izquierda), miembro de la Royal Society of Canada , es un matemático canadiense en la Universidad de Alberta . Es co-descubridor del álgebra Kac-Moody junto con Victor Kac , miembro de la American Mathematical Society , un matemático ruso que trabaja en el MIT .

La derivación d ₀ utilizado en la construcción de la 2-cociclo φ en la sección anterior se puede extender a una derivación D en el álgebra de bucle polinomio extendida centralmente, aquí denota por g a fin de realizar un álgebra de Kac-Moody ^{[15] [ 16]} ( fondo ). Simplemente establecer

$${\ displaystyle D (P (\ lambda) \ otimes G + \ mu C) = \ lambda {\ frac {dP (\ lambda)} {d \ lambda}} \ otimes G.}

A continuación, define como un espacio vectorial.

$${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} = \ mathbb {C} d + {\ mathfrak {g}}.

El bracket de Lie en e es, de acuerdo con la construcción estándar con una derivación, dado en base a

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [\ lambda ^ {m} \ otimes G_ {1} + \ mu C + \ nu D, \ lambda ^ {n} \ otimes G_ {2} + \ mu 'C + \ nu 'D] & = \ lambda ^ {m + n} \ otimes [G_ {1}, G_ {2}] + m \ delta _ {m + n, 0} K (G_ {1}, G_ {2} ) C + \ nu D (\ lambda ^ {n} \ otimes G_ {1}) - \ nu 'D (\ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2}) \\ & = \ lambda ^ {m + n} \ otimes [G_ {1}, G_ {2}] + m \ delta _ {m + n, 0} K (G_ {1}, G_ {2}) C + \ nu n \ lambda ^ {n} \ otimes G_ {1} - \ nu 'm \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {2}. \ End {alineado}}}

Por conveniencia, defina

$${\ displaystyle G_ {i} ^ {m} \ leftrightarrow \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {i}.}

Además, supongamos que la base del álgebra de Lie simple finito-dimensional subyacente se ha elegido de modo que los coeficientes de estructura sean antisimétricos en todos los índices y que la base se normalice adecuadamente. Luego, uno inmediatamente a través de las definiciones verifica las siguientes relaciones de conmutación.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [G_ {i} ^ {m}, G_ {j} ^ {n}] & = {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} ^ {m + n} + m \ delta _ {ij} \ delta ^ {m + n, 0} C, \\ {} [C, G_ {i} ^ {m}] & = 0, \ quad 1 \ leq i, j , N, \ quad m, n \ in \ mathbb {Z} \\ {} [D, G_ {i} ^ {m}] & = mG_ {i} ^ {m} \\ {} [D, C] & = 0. \ End {alineado}}}

Estas son precisamente las descripciones breves de un álgebra afín Kac-Moody sin torsión. Para recapitular, comience con un álgebra de Lie simple de dimensión finita. Defina un espacio de polinomios de Laurent formales con coeficientes en el álgebra de Lie simple de dimensiones finitas. Con el apoyo de una forma bilineal alterna no degenerada simétrica y una derivación, se define un 2-cociclo, que posteriormente se utiliza en la prescripción estándar para una extensión central por un 2-cociclo. Extienda la derivación a este nuevo espacio, use la prescripción estándar para una extensión dividida por una derivación y obtenga un álgebra afín Kac-Moody sin torsión.

Álgebra Virasoro [ editar ]

Artículo principal: Álgebra de Virasoro.

El propósito es construir el álgebra de Virasoro , debido a Miguel Angel Virasoro , ^{[nb 4]} como una extensión central por un 2-cociclo φ del álgebra de Witt W ( fondo ). La identidad jacobi para rendimientos de 2-cociclos.

$${\ displaystyle (lm) \ eta _ {n + m, p} + (mn) \ eta _ {m + n, l} + (nl) \ eta _ {l + n, m} = 0, \ quad \ eta _ {ij} = \ varphi (d_ {i}, d_ {j}).}

( V10 )

Dejando l = 0 y usando antisimetría de η se obtiene

$${\ displaystyle (m + p) \ eta _ {mp} = (mp) \ eta _ {m + p, 0}.}

En la extensión, las relaciones de conmutación para el elemento d ₀ son

$${\ displaystyle [d_ {0} + \ mu C, d_ {m} + \ nu C] _ {\ varphi} = - md_ {m} + \ eta _ {0m} C = -m (d_ {m} - {\ frac {\ eta _ {0m}} {m}} C).}

Es conveniente deshacerse de la carga central en el lado derecho. Para ello defina

$${\ displaystyle f: W \ to \ mathbb {C}; d_ {m} \ to {\ frac {\ varphi (d_ {0}, d_ {m})} {m}} = {\ frac {\ eta _ {0m}} {m}}.}

Entonces, usando f como 1-cochain,

$${\ displaystyle \ eta '_ {0n} = \ varphi' (d_ {0}, d_ {n}) = \ varphi (d_ {0}, d_ {n}) + \ delta f ([d_ {0}, d_ {n}]) = \ varphi (d_ {0}, d_ {n}) - n {\ frac {\ eta ^ {0n}} {n}} = 0,}

así que con este 2-cociclo, equivalente al anterior, uno tiene ^{[nb 5]}

$${\ displaystyle [d_ {0} + \ mu C, d_ {m} + \ nu C] _ {\ varphi '} = - md_ {m}.}

Con este nuevo 2-cocycle (saltar el cebado) la condición se convierte

$${\ displaystyle (n + p) \ eta _ {mp} = (np) \ eta _ {m + p, 0} = 0,}

y por lo tanto

$${\ displaystyle \ eta _ {mp} = a (m) \ delta _ {m.-p}, \ quad a (-m) = - a (m),}

donde la última condición se debe a la antisimetría del soporte de Lie. Con esto, y con l + m + p = 0 (cortando un "plano" en ℤ ³ ), (V10) se obtiene

$${\ displaystyle (2m + p) a (p) + (mp) a (m + p) + (m + 2p) a (m) = 0,}

que con p = 1 (cortando una "línea" en ℤ ² ) se convierte en

$${\ displaystyle (m-1) a (m + 1) - (m + 2) a (m) + (2m + 1) a (1) = 0.}

Esta es una ecuación en diferencias generalmente resuelta por

$${\ displaystyle a (m) = \ alpha m + \ beta m ^ {3}.}

El conmutador en la extensión de los elementos de W es entonces

$${\ displaystyle [d_ {l}, d_ {m}] = (lm) d_ {l + m} + (\ alpha m + \ beta m ^ {3}) \ delta _ {l, -m} C.}

Con β = 0 es posible cambiar la base (o modificar el 2-cociclo por un 2-coboundary) para que

$${\ displaystyle [d '_ {l}, d' _ {m}] = (lm) d_ {l + m},}

con la carga central ausente por completo, y la extensión es por lo tanto trivial. (Esto no fue (generalmente) el caso con la modificación anterior, donde solo d ₀ obtuvo las relaciones originales). Con β ≠ 0 el siguiente cambio de base,

$${\ displaystyle d '_ {l} = d_ {l} + \ delta _ {0l} {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} C,}

Las relaciones de conmutación toman la forma.

$${\ displaystyle [d '_ {l}, d' _ {m}] = (lm) d '_ {l + m} + (\ gamma m + \ beta m ^ {3}) \ delta _ {l, - m} C,}

Demostrando que la parte lineal en m es trivial. También muestra que H ² ( W , ℂ) es unidimensional (correspondiente a la elección de β ). La elección convencional es tomar alpha = - β = ¹ / ₁₂ y la libertad que todavía conserva mediante la absorción de un factor arbitrario en el objeto arbitrario C . El álgebra de Virasoro V es entonces

$${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ mathcal {W}} + \ mathbb {C} C,}

con las relaciones de conmutación

$${\ displaystyle [d_ {l} + \ mu C, d_ {m} + \ nu C] = (lm) d_ {l + m} + {\ frac {(mm ^ {3})} {12}} \ delta _ {l, -m} C.}

Cuerdas abiertas bosónicas [ editar ]

Artículo principal: Teoría de cuerdas bosónica.

La cuerda abierta relativista clásica ( fondo ) está sujeta a cuantización . Esto equivale aproximadamente a tomar la posición y el impulso de la cadena y promoverlos entre los operadores en el espacio de estados de cadenas abiertas. Dado que las cadenas son objetos extendidos, esto da como resultado un continuo de operadores que dependen del parámetro σ . Las siguientes relaciones de conmutación están postuladas en el cuadro de Heisenberg . ^[17]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [X ^ {I} (\ tau, \ sigma), {\ mathcal {P}} ^ {\ tau J} (\ tau, \ sigma)] & = i \ eta ^ {IJ} \ delta (\ sigma - \ sigma '), \\ {} [x_ {0} ^ {-} (\ tau), p ^ {+} (\ tau)] & = - i. \ fin {alineado}}}

Todos los demás conmutadores desaparecen.

Debido al continuo de operadores, y debido a las funciones delta, es deseable expresar estas relaciones en lugar de las versiones cuantificadas de los modos Virasoro, los operadores Virasoro . Estos están calculados para satisfacer

$${\ displaystyle [\ alpha _ {m} ^ {I}, \ alpha _ {n} ^ {J}] = m \ eta ^ {IJ} \ delta _ {m + n, 0}}

Se interpretan como operadores de creación y aniquilación que actúan en el espacio de Hilbert, aumentando o disminuyendo la cantidad de sus modos respectivos. Si el índice es negativo, el operador es un operador de creación, de lo contrario es un operador de aniquilación. (Si es cero, es proporcional al operador de momento total). En vista del hecho de que los modos positivo y negativo del cono de luz se expresaron en términos de los modos Virasoro transversales, se deben considerar las relaciones de conmutación entre los operadores Virasoro. Estos se definieron clásicamente (entonces modos) como

$${\ displaystyle L_ {n} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {p \ in \ mathbb {Z}} \ alpha _ {np} ^ {I} \ alpha _ {p} ^ {I }.}

Dado que, en la teoría cuantificada, los alfas son operadores, el ordenamiento de los factores es importante. En vista de la relación de conmutación entre los operadores de modo, solo importará para el operador L ₀ (para el cual m + n = 0 ). L ₀ se elige normal ordenado ,

$${\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {2}} \ alpha _ {0} ^ {I} \ alpha _ {0} ^ {I} + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} \ alpha _ {- p} ^ {I} \ alpha _ {p} ^ {I}, = \ alpha 'p ^ {I} p ^ {I} + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} p \ alpha _ {p} ^ {I \ dagger} \ alpha _ {p} ^ {I} + c}

donde c es una constante de orden posible. Se obtiene después de un cálculo algo largo ^[18] las relaciones

$${\ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n}, \ quad m + n \ neq 0.}

Si uno permitiera que m + n = 0 arriba, entonces tiene precisamente las relaciones de conmutación del álgebra de Witt. En cambio uno tiene

$${\ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + {\ frac {D-2} {12}} (m ^ {3} -m) \ delta _ { m + n, 0}, \ quad \ forall m, n \ in \ mathbb {Z}.}

tras la identificación del término central genérico como ( D - 2) veces el operador de identidad, este es el álgebra de Virasoro, la extensión central universal del álgebra de Witt.

El operador L ₀ ingresa a la teoría como el hamiltoniano , módulo una constante aditiva. Además, los operadores de Virasoro entran en la definición de los generadores de Lorentz de la teoría. Es quizás el álgebra más importante en la teoría de cuerdas. ^[19] La consistencia de los generadores de Lorentz, por cierto, fija la dimensionalidad del espacio-tiempo a 26. Si bien esta teoría presentada aquí (por relativa simplicidad de la exposición) no es física, o al menos está incompleta (no tiene, por ejemplo, ninguna fermiones) el álgebra de Virasoro surge de la misma manera en la teoría de supercuerdas y en la teoría M más viables .

Extensión de grupo [ editar ]

Artículo principal: extensión de grupo

Se puede usar una representación proyectiva Π ( G ) de un Grupo de Lie G ( fondo ) para definir la llamada extensión de grupo G _ej .

En la mecánica cuántica, el teorema de Wigner afirma que si G es un grupo de simetría, entonces se representará de manera proyectiva en el espacio de Hilbert por operadores unitarios o antiunitarios. Esto se trata a menudo pasando al grupo de cobertura universal de G y lo tomamos como el grupo de simetría. Esto funciona bien para el grupo de rotación SO (3) y el grupo de Lorentz O (3, 1) , pero no funciona cuando el grupo de simetría es el grupo de Galileo . En este caso, uno tiene que pasar a su extensión central, el grupo Bargmann , ^[20] que es el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger.. Del mismo modo, si G = ^n 2 n , el grupo de traducciones en la posición y el espacio de momento, uno tiene que pasar a su extensión central, el grupo Heisenberg . ^[21]

Vamos ω ser el 2-cociclo en G inducido por Π . Definir ^{[nb 6]}

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {ex}} = \ mathbb {C} ^ {*} \ times G = \ {(\ lambda, g) | \ lambda \ in \ mathbb {C}, g \ in G \} }

como conjunto y deja que la multiplicación se defina por

$${\ displaystyle (\ lambda _ {1}, g_ {1}) (\ lambda _ {2}, g_ {2}) = (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ omega (g_ {1} , g_ {2}), g_ {1} g_ {2}).}

Asociatividad sostiene desde ω es un 2-cociclo en G . Uno tiene para el elemento unitario.

$${\ displaystyle (1, e) (\ lambda, g) = (\ lambda \ omega (e, g), g) = (\ lambda, g) = (\ lambda, g) (1, e),}

y para el inverso

$${\ displaystyle (\ lambda, g) ^ {- 1} = \ left ({\ frac {1} {\ lambda \ omega (g, g ^ {- 1})}}, g ^ {- 1} \ right ).

El conjunto (ℂ ^* , e ) es un subgrupo abeliano de G _ej . Esto significa que G _ex no es semisimple. El centro de G, Z ( G ) = { z ∈ G | zg = gz ∀ g ∈ G } incluye este subgrupo. El centro puede ser más grande.

A nivel de las álgebras de Lie se puede demostrar que el álgebra de Lie g _ex de G _ex está dado por

$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ mathrm {ex}} = \ mathbb {C} C \ oplus {\ mathfrak {g}},}

como un espacio vectorial y dotado con el corchete de la mentira

$${\ displaystyle [\ mu C + G_ {1}, \ nu C + G_ {2}] = [G_ {1}, G_ {2}] + \ eta (G_ {1}, G_ {2}) C. }

Aquí η es un 2-cocycle en g . Este 2-cociclo se puede obtener de ω aunque de una manera altamente no trivial. ^{[nb 7]}

Ahora, usando la representación proyectiva Π uno puede definir un mapa Π _ex por

$${\ displaystyle \ Pi _ {\ mathrm {ex}} ((\ lambda, g)) = \ lambda \ Pi (g).}

Tiene las propiedades

$${\ displaystyle \ Pi _ {\ mathrm {ex}} ((\ lambda _ {1}, g_ {1})) \ Pi _ {\ mathrm {ex}} ((\ lambda _ {2}, g_ {2 })) = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ Pi (g_ {1}) \ Pi (g_ {2}) = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ omega (g_ { 1}, g_ {2}) \ Pi (g_ {1} g_ {2}) = \ Pi _ {\ mathrm {ex}} (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ omega (g_ {1 }, g_ {2}), g_ {1} g_ {2}) = \ Pi _ {\ mathrm {ex}} ((\ lambda _ {1}, g_ {1}) (\ lambda _ {2}, g_ {2})),}

entonces Π _ex ( G _ex ) es una representación fidedigna de G _ex .

En el contexto del teorema de Wigner, la situación se puede representar como tal (reemplace ℂ ^* por U (1) ); digamos que SH denota la esfera unitaria en el espacio H de Hilbert , y sea (·, ·) su producto interno. Deje PHdenotan el espacio de rayos y [·, ·] el producto de rayos . Además, una flecha ondulada denota una acción de grupo . Entonces el diagrama

conmuta, es decir

$${\ displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ Pi _ {\ mathrm {ex}} ((\ lambda, g)) (\ psi) = \ Pi \ circ \ pi (g) (\ pi _ {1} (\ psi)), \ quad \ psi \ en S {\ mathcal {H}}.

Además, de la misma manera que G es una simetría de preservación de PH [·, ·] , G _ex es una simetría de preservación de SH (·, ·) . Las fibras de π ₂ son todos círculos. Estos círculos quedan invariantes bajo la acción de U (1) . La acción de U (1) en estas fibras es transitiva sin punto fijo. La conclusión es que SH es un haz de fibras principal sobre PH con grupo de estructura U (1) .