FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

extensión álgebra de Lie e es una ampliación de un álgebra de Lie dado g por otro álgebra de Lie h . Las extensiones surgen de varias maneras. Existe la extensión trivial obtenida al tomar una suma directa de dos álgebras de Lie. Otros tipos son la extensión dividida y la extensión central . Las extensiones pueden surgir naturalmente, por ejemplo, al formar un álgebra de Lie a partir de representaciones de grupos proyectivos . Tal álgebra de Lie contendrá cargas centrales .

Comenzando con un álgebra polinómica de bucle sobre álgebra deLie simple finita-dimensional y realizando dos extensiones, una extensión central y una extensión por derivación, se obtiene un álgebra de Lie que es isomorfa con un álgebra afín Kac-Moody sin torsiones . Usando el álgebra de bucle centralmente extendido, se puede construir un álgebra actual en dos dimensiones de espacio-tiempo. El álgebra de Virasoro es la extensión central universal del álgebra de Witt . ^[1]

Las extensiones centrales son necesarias en física, porque el grupo de simetría de un sistema cuantificado suele ser una extensión central del grupo de simetría clásico, y de la misma manera la simetría correspondiente. El álgebra de Lie del sistema cuántico es, en general, una extensión central de álgebra de simetría clásica. ^{[2] Las} álgebras Kac-Moody han sido conjeturadas como grupos de simetría de una teoría de supercuerdas unificadas. ^[3] Las álgebras de Lie extendidas centralmente desempeñan un papel dominante en la teoría cuántica de campos , particularmente en la teoría conforme de campos , la teoría de cuerdas y en la teoría-M . ^[4] [5]

Una gran parte hacia el final está dedicada al material de base para aplicaciones de las extensiones del álgebra de Lie, tanto en matemáticas como en física, en áreas donde son realmente útiles. Se proporciona un enlace entre paréntesis, ( material de referencia ), donde podría ser beneficioso.

Historia [ editar ]

Debido a la correspondencia de Lie , la teoría y, en consecuencia, la historia de las extensiones del álgebra de Lie, está estrechamente vinculada a la teoría y la historia de las extensiones de grupo. Un estudio sistemático de las extensiones de grupo fue realizado por el matemático austriaco Otto Schreier en 1923 en su PhD. Tesis y publicado posteriormente. ^{[nb 1] [6] [7]} Al problema planteado para su tesis por Otto Hölder se le dieron dos grupos G y H , encuentra que todos los grupos E tienen un subgrupo N normal isomorfo a G , de manera que el grupo de factores E / N es isomorfo a H".

Las extensiones de álgebra de Lie son las más interesantes y útiles para las álgebras de Lie de dimensión infinita. En 1967, Victor Kac y Robert Moody generalizaron de forma independiente la noción de álgebras de Lie clásicas, dando como resultado una nueva teoría de las álgebras de Lie de dimensión infinita, ahora llamadas álgebras Kac-Moody . ^[8] [9] Ellos generalizan las álgebras de Lie simples de dimensión finita y, a menudo, pueden construirse concretamente como extensiones. ^[10]

Notación y pruebas [ editar ]

El abuso notacional que se encuentra a continuación incluye e ^X para el mapa exponencial exp dado un argumento, escribiendo g para el elemento ( g , e _H ) en un producto directo G × H ( e _H es la identidad en H ), y análogamente para Lie sumas directas de álgebra (donde también g + h y ( g , h )se utilizan indistintamente). Igualmente para productos semidirectos y sumas semidirectas. Las inyecciones canónicas (tanto para grupos como para álgebras de Lie) se usan para identificaciones implícitas. Además, si G , H , ..., son grupos, entonces los nombres predeterminados para los elementos de G , H , ..., son g , h , ..., y sus álgebras de Lie son g , h , ... . Los nombres predeterminados para los elementos de g , h , ..., son G , H , ... (¡igual que para los grupos!), En parte para ahorrar recursos alfabéticos escasos, pero sobre todo para tener una notación uniforme.

Las álgebras de mentira que son ingredientes de una extensión, sin comentarios, se considerarán sobre el mismo campo .

Se aplica la convención de resumen , incluso cuando los índices involucrados están arriba o abajo.

Advertencia: no todas las pruebas y los esquemas de prueba que se muestran a continuación tienen validez universal. La razón principal es que las álgebras de Mentira suelen ser de dimensión infinita, y entonces puede haber o no un grupo de Mentira correspondiente al álgebra de Mentira. Además, incluso si tal grupo existe, puede que no tenga las propiedades "habituales", por ejemplo, el mapa exponencial podría no existir, y si lo hace, podría no tener todas las propiedades "habituales". En tales casos, es cuestionable si el grupo debe ser dotado con el calificador de "Mentira". La literatura no es uniforme. Para los ejemplos explícitos, las estructuras relevantes están supuestamente en su lugar.

Definición [ editar ]

Las extensiones de álgebra de Lie se formalizan en términos de secuencias exactas cortas . ^[1] Una secuencia exacta corta es una secuencia exacta de longitud tres,

$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \; {\ overset {i} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {e}} \; {\ overset {s} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {sol}},}

( 1 )

de modo que i es un monomorfismo , s es un epimorfismo , y ker s = im i . De estas propiedades de secuencias exactas, se deduce que (la imagen de) h es un ideal en e . Además,

$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ cong {\ mathfrak {e}} / \ operatorname {Im} i = {\ mathfrak {e}} / \ operatorname {Ker} s,}

pero no es necesariamente el caso de que g sea ​​isomorfo a una subalgebra de e . Esta construcción refleja las construcciones análogas en el concepto estrechamente relacionado de extensiones de grupo .

Si la situación en (1) prevalece, de forma no trivial y para las álgebras de Lie en el mismo campo , entonces se dice que e es una extensión de g por h .

Propiedades [ editar ]

La propiedad definitoria puede ser reformulada. El álgebra de Lie e es una extensión de g por h si

$${\ displaystyle 0 \; {\ overset {\ iota} {\ hookrightarrow}} {\ mathfrak {h}} \; {\ overset {i} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {e}} \; { \ overset {s} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {g}} \; {\ overset {\ sigma} {\ twoheadrightarrow}} \; 0}

( 2 )

es exacto Aquí, los ceros en los extremos representan el álgebra de Lie (que contiene el vector nulo ∅solamente) y los mapas son los más obvios; ί mapea ∅ a ∅ y σ mapea todos los elementos de g a ∅ . Con esta definición, se deduce automáticamente que i es un monomorfismo y s es un epimorfismo.

Una extensión de g por h no es necesariamente única. Sea e , e ' denota dos extensiones y deja que los números primos a continuación tengan la interpretación obvia. Entonces, si existe un isomorfismo de álgebra de Lie f : e → e ' tal que

$${\ displaystyle f \ circ i = i ', \ quad s' \ circ f = s,}

entonces se dice que las extensiones e y e son extensiones equivalentes . La equivalencia de extensiones es una relación de equivalencia .

Tipos de extensiones [ editar ]

Trivial [ editar ]

Una extensión de álgebra de Lie.

$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \; {\ overset {i} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {t}} \; {\ overset {s} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {sol}},}

es trivial si hay un subespacio i tal que t = i ⊕ ker s y i es un ideal en t . ^[1]

Dividir [ editar ]

Una extensión de álgebra de Lie.

$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \; {\ overset {i} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {s}} \; {\ overset {s} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {sol}},}

se divide si hay un subespacio u tal que s = u ker s como un espacio vectorial y u es una subalgebra en s .

Un ideal es una subalgebra, pero una subalgebra no es necesariamente e ideal. Una extensión trivial es así una extensión dividida.

Central [ editar ]

Extensiones central de un álgebra de Lie g por un Lie abeliana álgebra una se pueden obtener con la ayuda de un denominado (no trivial) 2-cociclo ( fondo ) en g . Los 2-cociclos no triviales ocurren en el contexto de representaciones proyectivas ( fondo ) de los grupos de Lie. Esto se alude más abajo.

Una extensión de álgebra de Lie.

$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \; {\ overset {i} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {c}} \; {\ overset {s} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {sol}},}

es una extensión central si ker s está contenido en el centro Z ( c ) de c .

Propiedades

• Dado que el centro conmuta con todo, h ≅ im i = ker s en este caso es abelian .
• Dada una extensión central e de g , se puede construir un ciclo-2 en g . Supongamos que e es una extensión central de g por h . Sea l un mapa lineal de g a e con la propiedad que s ∘ l = Id _g , es decir, l es una sección de s . Utilice esta sección para definir ε : g × g → e por

$${\ displaystyle \ epsilon (G_ {1}, G_ {2}) = l ([G_ {1}, G_ {2}]) - [l (G_ {1}), l (G_ {2})], \ quad G_ {1}, G_ {2} \ en {\ mathfrak {g}}.

El mapa ε satisface

$${\ displaystyle \ epsilon (G_ {1}, [G_ {2}, G_ {3}]) + \ epsilon (G_ {2}, [G_ {3}, G_ {1}]) + \ epsilon (G_ { 3}, [G_ {1}, G_ {2}]) = 0 \ en {\ mathfrak {e}}.}

Para ver esto, use la definición de ε en el lado izquierdo, luego use la linealidad de l . Use la identidad de Jacobi en g para deshacerse de la mitad de los seis términos. Utilice la definición de varepsilon nuevo en términos l [ G _i , G _j ] sentado dentro de los tres soportes de mentira, bilinealidad de corchetes de Lie, y la identidad de Jacobi en el correo , y luego usar finalmente en los tres términos restantes que Im varepsilon ⊂ ker s y que ker s ⊂ Z ( e ) para que ε (G _i , G _j ) paréntesis a cero con todo. Luego se deduce que φ = i ⁻¹ ∘ ε satisface la relación correspondiente, y si h además es unidimensional, entonces φ es un 2-cociclo en g (a través de una correspondencia trivial de h con el campo subyacente).

Una extensión central

$${\ displaystyle 0 \; {\ overset {\ iota} {\ hookrightarrow}} {\ mathfrak {h}} \; {\ overset {i} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {e}} \; { \ overset {s} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {g}} \; {\ overset {\ sigma} {\ twoheadrightarrow}} \; 0}

Es universal si para cualquier otra extensión central.

$${\ displaystyle 0 \; {\ overset {\ iota} {\ hookrightarrow}} {\ mathfrak {h}} '\; {\ overset {i'} {\ hookrightarrow}} \; {\ mathfrak {e}} ' \; {\ overset {s '} {\ twoheadrightarrow}} \; {\ mathfrak {g}} \; {\ overset {\ sigma} {\ twoheadrightarrow}} \; 0}

existen homomorfismos únicos$${\ displaystyle \ Phi: {\ mathfrak {e}} \ a {\ mathfrak {e}} '} y $${\ displaystyle \ Psi: {\ mathfrak {h}} \ a {\ mathfrak {h}} '} tal que el diagrama

conmutaciones, es decir, i '∘ Ψ = Φ ∘ i y s ' ∘ Φ = s . Por universalidad, es fácil concluir que tales extensiones centrales universales son únicas hasta el isomorfismo.

Construcción [ editar ]

Por suma directa [ editar ]

Deje g , h sea álgebra de Lie sobre el mismo campo K . Definir

$${\ displaystyle {\ mathfrak {e}} = {\ mathfrak {h}} \ times {\ mathfrak {g}},}

y definir la adición de manera puntual en e . La multiplicación escalar se define por

$${\ displaystyle \ alpha (H, G) = (\ alpha H, \ alpha G), \ alpha \ en F, H \ en {\ mathfrak {h}}, G \ en {\ mathfrak {g}}.}

Con estas definiciones, h × g ≡ h ⊕ g es un espacio vectorial sobre F . Con la abrazadera de mentira

:$${\ displaystyle [(H_ {1}, G_ {1}), (H_ {2}, G_ {2})] = ([H_ {1}, H_ {2}], [G_ {1}, G_ { 2}]),}

( 3 )

e es un álgebra de mentira. Definir más

${\displaystyle i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.}$

Está claro que (1) se mantiene como una secuencia exacta. Esta extensión de g por h se llama extensión trivial. Es, por supuesto, nada más que la suma directa de álgebra de Lie. Por simetría de definiciones, e es una extensión de h por g , así, pero h ⊕ g ≠ g ⊕ h . De (3) se desprende claramente que la subalgebra 0 g es un ideal (álgebra de Lie) . Esta propiedad de la suma directa de álgebras de Lie se promueve a la definición de una extensión trivial.

Por suma semidirecta [ editar ]

Inspirado en la construcción de un producto semidirecto ( fondo ) de grupos que utilizan un homomorfismo G → Aut ( H ) , se puede hacer el constructo correspondiente para las álgebras de Lie.

Si ψ : g → der h es un homomorfismo álgebra de Lie, para definir un soporte de la mentira en e = h ⊕ g por

$${\ displaystyle [(H, G), (H ', G')] = ([H, H '] + \ psi _ {G} (H') - \ psi _ {G '} (H), [ G, G ']), \ quad H, H' \ en {\ mathfrak {h}}, G, G '\ en {\ mathfrak {g}}.}

( 7 )

Con este corchete de Lie, el álgebra de Lie así obtenida se denota e = h ⊕ _S g y se llama la suma semidirectade h y g .

Al inspeccionar (7) se ve que 0 ⊕ g es una subalgebra de e y h ⊕ 0 es un ideal en e . Defina i : h → e por H ↦ H ⊕ 0 y s : e → g por H ⊕ G ↦ G , H ∈ h , G ∈ g . Está claro que ker s = im i . Asi eEs una extensión de álgebra de Lie de g por h .

Al igual que con la extensión trivial, esta propiedad generaliza a la definición de una extensión dividida.

Ejemplo
Sea G el grupo O de Lorentz (3, 1) y T denote el grupo de traducción en 4 dimensiones, isomorfo a ( to ⁴ , +) , y considere la regla de multiplicación del grupo P de Poincaré

$${\ displaystyle (a_ {2}, \ Lambda _ {2}) (a_ {1}, \ Lambda _ {1}) = (a_ {2} + \ Lambda _ {2} a_ {1}, \ Lambda _ {2} \ Lambda _ {1}), \ quad a_ {1}, a_ {2} \ in \ mathrm {T} \ subconjunto P, \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2} \ in \ mathrm {O} (3,1) \ subconjunto \ mathrm {P},}

(donde T y SO (3, 1) se identifican con sus imágenes en P ). A partir de ella se deduce inmediatamente que, en el grupo de Poincaré, (0, Λ) ( un , I ) (0, Λ ^-1 ) = (Λ una , I ) ∈ T ⊂ P . Así, cada transformación de Lorentz Λcorresponde a un automorfismo Φ _Λ de T con inversa Φ _Λ ^-1 y Φ es claramente un homomorfismo. Ahora define

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {P}}} = \ mathrm {T} \ otimes _ {S} \ mathrm {O} (3,1),}

Dotado de multiplicación dada por (4) . El desenrollar las definiciones se encuentra que la multiplicación es la misma que la multiplicación se inició con y se deduce que P = P . De (5 ') se sigue que Ψ _Λ = Ad _Λ y luego de (6') se sigue que ψ _λ = ad _λ . λ ∈ o (3, 1) .

Por derivación [ editar ]

Sea deriv una derivación ( fondo ) de h y denote por g el álgebra de Lie unidimensional abarcada por δ . Defina el bracket de Lie en e = g ⊕ h por ^{[nb 2] [11]}

$${\ displaystyle [G_ {1} + H_ {1}, G_ {2} + H_ {2}] = [\ lambda \ delta + H_ {1}, \ mu \ delta + H_ {2}] = [H_ { 1}, H_ {2}] + \ lambda \ delta (H_ {1}) - \ mu \ delta (H_ {2}).}

Es obvio de la definición del corchete que h es e ideal en e in y que g es una subalgebra de e . Además, g es complementario de h en e . Deje i : h → e ser dada por H ↦ (0, H ) y s : e → g por ( G , H ) ↦ G . Está claro que im i = ker s . Asi eEs una extensión dividida de g por h . Dicha extensión se llama extensión por una derivación .

Si ψ : g → der h se define por ψ ( μδ ) ( H ) = μδ ( H ) , entonces ψ es un homomorfismo de álgebra de Lie en der h . Por lo tanto, esta construcción es un caso especial de una suma semidirecta, ya que al comenzar desde ψ y al usar la construcción en la sección anterior, se obtienen los mismos paréntesis de Lie.

Por 2-cocycle [ editar ]

Si ε es un 2-cociclo ( fondo ) en un álgebra de Lie g, y h es cualquier espacio vectorial unidimensional, sea e = h ⊕ g (suma directa del espacio vectorial) y defina un corchete de Lie en e mediante

$${\ displaystyle [\ mu H + G_ {1}, \ nu H + G_ {2}] = [G_ {1}, G_ {2}] + \ epsilon (G1, G2) H, \ quad \ mu, \ nu \ en F.}

Aquí H es un elemento arbitrario pero fijo de h . La antisimetría se deriva de la antisimetría de la abrazadera de Lie en g y la antisimetría del 2-cociclo. La identidad jacobi se desprende de las propiedades correspondientes de g y de ε . Así, e es un álgebra de Lie. Ponga G ₁ = 0 y se sigue que μH ∈ Z ( e ) . Además, sigue con i : μH ↦ ( μH , 0) y s : ( μH , G ) ↦ G queIm i = ker s = {( μH , 0): μ ∈ F } ⊂ Z ( e ) . Por lo tanto, e es una extensión central de g por h . Se llama extensión por un 2-cociclo .

Teoremas [ editar ]

A continuación se presentan algunos resultados con respecto a las extensiones centrales y 2-cociclos. ^[12]

Teorema ^[1]
Deje φ ₁ y φ ₂ sea cohomologous 2-cociclos en un álgebra de Lie g y vamos e ₁ y e ₂ ser, respectivamente, las extensiones centrales construidas con estos 2-cociclos. Entonces las extensiones centrales e ₁ y e ₂ son extensiones equivalentes. 
Prueba
Por definición, φ ₂ = φ ₁ + δf . Definir

$${\ displaystyle \ psi: G + \ mu c \ in {\ mathfrak {e}} _ {1} \ mapsto G + \ mu c + f (G) c \ in {\ mathfrak {e}} _ {2}.}

De las definiciones se deduce que ψ es un isomorfismo de álgebra de Lie y (2) es válido.

Corolario
Una clase de cohomología [ Φ ] ∈ H ² ( g , F ) define una extensión central de g que es única hasta el isomorfismo.

El 2-cociclo trivial da la extensión trivial, y dado que un 2-coboundary es cohomólogo con el 2-cocycle trivial, uno tiene el 
Corolario
Una extensión central definida por un coboundary es equivalente a una extensión central trivial.

Teorema
Un álgebra simple y finita dimensional de Lie solo tiene extensiones centrales triviales. 
Prueba
Dado que cada extensión central proviene de un 2-cocycle φ , es suficiente para demostrar que cada 2-cocycle es un coboundary. Supongamos que φ es un 2-cociclo en g . La tarea es usar este 2-ciclo para fabricar un 1-cochain f tal que φ = δf .

El primer paso es para cada G _G 1 ∈ g uso φ para definir un mapa lineal ρ _G 1 : g → F . Pero los mapas lineales son elementos de g ^∗ . Esto es suficiente para expresar φ en términos de K , usando el isomorfismo ν . A continuación, se define un mapa lineal d : g → g que resulta ser una derivación. Como todas las derivaciones son internas, uno tiene d = ad _G d para algunos G _d ∈ g. Se obtiene una expresión para φ en términos de K y d . Así establecido, confiando en que d es una derivación,

$${\ displaystyle \ varphi (G_ {1}, G_ {2}) \ equiv \ rho _ {G_ {1}} (G_ {2}) = K (\ nu ^ {- 1} (\ rho _ {G_ { 1}}), G_ {2}) \ equiv K (d (G_ {1}), G_ {2}) = K (\ mathrm {ad} _ {G_ {d}} (G_ {1}), G_ {2}) = K ([G_ {d}, G_ {1}], G_ {2}) = K (G_ {d}, [G_ {1}, G_ {2}]).}

Sea f el 1-cochain definido por

$${\ displaystyle f (G) = K (G_ {d}, G).}

Entonces

$${\ displaystyle \ delta f (G_ {1}, G_ {2}) = f ([G_ {1}, G_ {2}]) = K (G_ {d}, [G_ {1}, G_ {2} ]) = \ varphi (G_ {1}, G_ {2}),}

mostrando que φ es un coboundary. Por los resultados anteriores, cualquier extensión central es trivial.

show

Prueba de que d es una derivación.

La observación de que uno puede definir una derivación d , dada una simétrica no degenerada asociativo forma K y una 2-cociclo φ , por

$${\ displaystyle K (\ nu ^ {- 1} (\ rho _ {G_ {1}}), G_ {2}) \ equiv K (d (G_ {1}), G_ {2}),}

o el uso de la simetría de K y la antisimetría de φ ,

$${\ displaystyle K (d (G_ {1}), G_ {2}) = - K (G_ {1}, d (G_ {2})),

Conduce a un corolario.

Corolario
Sea L: ' g × g : → F sea ​​una forma bilineal asociativa simétrica no degenerada y sea d una derivación satisfactoria

$${\ displaystyle L (d (G_ {1}), G_ {2}) = - L (G_ {1}, d (G_ {2})),

entonces φ definido por

$${\ displaystyle \ varphi (G_ {1}, G_ {2}) = L (d (G_ {1}), G_ {2})}

es un 2-cocycle.

Prueba La condición de d asegura la antisimetría de φ . La identidad de Jacobi para 2-cocycles sigue comenzando con

$${\ displaystyle \ varphi ([G1, G_ {2}], G_ {3}) = L (d [G1, G_ {2}], G_ {3}) = L ([d (G1), G_ {2 }], G_ {3}) + L ([G1, d (G_ {2})], G_ {3}),}

usando la simetría de la forma, la antisimetría de la abrazadera, y una vez más la definición de φ en términos de L .

Si g es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G y E es una extensión central de g , cabe preguntarse si hay un grupo de Lie E con el álgebra de Lie correo . La respuesta es, según el tercer teorema de Lie, afirmativo. Pero, ¿hay una extensión central E de G con el álgebra de Lie e ? La respuesta a esta pregunta requiere algo de maquinaria, y puede encontrarse en Tuynman & Wiegerinck (1987 , Teorema 5.4).