FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

anomalía conformal , una anomalía de escala o una anomalía de Weyl es una anomalía , es decir, un fenómeno cuántico que rompe la simetría conformal de la teoría clásica .

Una teoría de conformidad clásica es una teoría que, cuando se coloca en una superficie con una métrica de fondo arbitraria, tiene una acción que es invariante en los remontajes de la métrica de fondo ( transformaciones de Weyl ), combinada con las correspondientes transformaciones de los otros campos en la teoría. Una teoría cuántica conforme es aquella cuya función de partición no se modifica al cambiar la escala de la métrica. La variación de la acción con respecto a la métrica de fondo es proporcional al tensor de tensión y, por lo tanto, la variación con respecto a una nueva escala conforme es proporcional a la traza del tensor de tensión. Por lo tanto, en presencia de un conformal de anomalías de la traza del tensor de tensión tiene unaexpectativa no desaparecedora .

La teoría de cuerdas [ editar ]

En la teoría de cuerdas , la simetría conforme en la hoja del mundo es una simetría de Weyl local y la anomalía debe cancelarse para que la teoría sea consistente. La cancelación requerida implica que la dimensionalidad del espacio-tiempo debe ser igual a la dimensión crítica que es 26 en el caso de la teoría de cuerdas bosónicas o 10 en el caso de la teoría de supercuerdas . Este caso se llama teoría de la cadena crítica . Existen enfoques alternativos conocidos como teoría de la cadena no crítica en los que las dimensiones espacio-temporales pueden ser menores que 26 para la teoría bosónica o menores que 10 para la supercuerdas.Es decir, el caso de cuatro dimensiones es plausible dentro de este contexto. Sin embargo, algunos postulados intuitivos, como el espacio plano como un fondo válido, deben abandonarse.

QCD [ editar ]

En la cromodinámica cuántica en el límite quiral , la teoría clásica no tiene una escala de masa , por lo que existe una simetría conforme, pero esto se rompe por una anomalía conforme. Esto introduce una escala, que es la escala en la que se produce el confinamiento de color . Esto determina los tamaños y las masas de los hadrones, incluidos los protones y los neutrones . Por lo tanto, este efecto es responsable de la mayor parte de la masa de materia ordinaria . (De hecho, los quarks tienen masas que no son cero, por lo que la teoría clásica tiene una escala de masas. Sin embargo, las masas son pequeñas, por lo que todavía es casi conforme, por lo que todavía hay ^{[aclaración necesaria ]}una anomalía conformal. La masa debida a la anomalía conformal es mucho mayor que las masas de quarks arriba, abajo y extrañas, por lo que tiene un efecto mucho mayor sobre las masas de hadrones.

 conifold es una generalización de una variedad . A diferencia de las variedades múltiples, las coníferas pueden contener singularidades cónicas , es decir, puntos cuyas vecindades parecen conos sobre una cierta base. En física , en particular en las compactaciones de flujo de la teoría de cuerdas , la base es generalmente una variedad real de cinco dimensiones , ya que las coníferas típicamente consideradas son complejos espacios tridimensionales (reales de 6 dimensiones).

Descripción general [ editar ]

Las coníferas son objetos importantes en la teoría de cuerdas : Brian Greene explica la física de las coníferas en el Capítulo 13 de su libro El universo elegante, incluido el hecho de que el espacio puede desgarrarse cerca del cono y su topología puede cambiar. Esta posibilidad fue notada por primera vez por Candelas et al. (1988) y empleado por Green & Hübsch (1988) para probar que las coníferas proporcionan una conexión entre todas las (entonces) compactas conocidas de Calabi-Yau en la teoría de cuerdas; esto apoya parcialmente una conjetura de Reid (1987) mediante la cual las coníferas conectan todos los posibles espacios tridimensionales complejos de Calabi-Yau.

Un ejemplo bien conocido de un conifold se obtiene como un límite de deformación de un quíntico, es decir, una hipersuperficie quíntica en el espacio proyectivo. $${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}. El espacio$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}} tiene una dimensión compleja igual a cuatro y, por lo tanto, el espacio definido por las ecuaciones quínticas (grado cinco):

$${\ displaystyle z_ {1} ^ {5} + z_ {2} ^ {5} + z_ {3} ^ {5} + z_ {4} ^ {5} + z_ {5} ^ {5} -5 \ psi z_ {1} z_ {2} z_ {3} z_ {4} z_ {5} = 0}

en términos de coordenadas homogéneas $${\ displaystyle z_ {i}} en $${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}, para cualquier complejo fijo $${\ displaystyle \ psi}, tiene dimensión compleja tres. Esta familia de hipersuperficies quínticas es el ejemplo más famoso de los colectores Calabi-Yau . Si el parámetro de estructura compleja $${\ displaystyle \ psi}se elige para que sea igual a uno, la variedad descrita anteriormente se vuelve singular ya que las derivadas del polinomio quíntico en la ecuación desaparecen cuando todas las coordenadas$${\ displaystyle z_ {i}}Son iguales o sus ratios son ciertas quintas raíces de la unidad. El vecindario de este punto singular parece un cono cuya base es topológicamente justa.

$${\ displaystyle S ^ {2} \ times S ^ {3}}

En el contexto de la teoría de cuerdas , se puede demostrar que las coníferas geométricamente singulares conducen a una física de cuerdas completamente suave. Las divergencias son "difuminadas" por D3-branasenvueltas en la triple esfera que se contrae en la teoría de cuerdas Tipo IIB y por D2-branas envueltas en la dos-esfera retráctil en la teoría de cuerdas Tipo IIA , como señaló originalmente Strominger (1995) . Como lo muestran Greene, Morrison & Strominger (1995) , esto proporciona la descripción teórica de la cadena del cambio de topología a través de la transición de conifold originalmente descrita por Candelas, Green & Hübsch (1990)., quien también inventó el término "conifold" y el diagrama.

con el propósito. Las dos formas topológicamente distintas de suavizar una conífera se muestran, por lo tanto, que implican reemplazar el vértice singular (nodo) ya sea por una esfera 3 (para deformar la estructura compleja) o una esfera 2 (mediante una "pequeña resolución"). ). Se cree que casi todas las variedades de Calabi-Yaupueden conectarse a través de estas "transiciones críticas", resonando con la conjetura de Reid.

dimensión crítica es la dimensionalidad del espacio en la que cambia el carácter de la transición de fase. Por debajo de la dimensión crítica inferior no hay transición de fase. Por encima de la dimensión crítica superior, los exponentes críticosde la teoría se vuelven iguales a los de la teoría del campo medio . Un criterio elegante para obtener la dimensión crítica dentro de la teoría del campo medio se debe a V. Ginzburg .

Dado que el grupo de renormalización establece una relación entre una transición de fase y una teoría cuántica de campos , esto tiene implicaciones para esta última y para nuestra comprensión más amplia de la renormalización en general. Por encima de la dimensión crítica superior, la teoría del campo cuántico que pertenece al modelo de la transición de fase es una teoría del campo libre . Por debajo de la dimensión crítica inferior, no existe una teoría de campo correspondiente al modelo.

En el contexto de la teoría de cuerdas, el significado es más restringido: la dimensión crítica es la dimensión en la cual la teoría de cuerdas es consistente, asumiendo un fondo de dilaton constante sin permutaciones de confusión adicionales de los efectos de radiación de fondo. El número exacto puede ser determinado por la cancelación requerida de anomalía conforme en la hoja del mundo ; es 26 para la teoría de cuerdas bosónicas y 10 para la teoría de supercuerdas .

Dimensión crítica superior en la teoría del campo [ editar ]

Determinar la dimensión crítica superior de una teoría de campo es una cuestión de álgebra lineal . Sin embargo, vale la pena formalizar el procedimiento porque proporciona la aproximación de orden más bajo para el escalado y la información esencial para el grupo de renormalización . También revela las condiciones para tener un modelo crítico en primer lugar.

Los exponentes de los monomios de un lagrangiano crítico definen un hiperplano en un espacio de exponente. La dimensión crítica superior puede leerse en la$${\ displaystyle E_ {1}}-eje..

Un lagrangiano puede escribirse como una suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una integral sobre un monomiode coordenadas$${\ displaystyle x_ {i}} y campos $${\ Displaystyle \ phi _ {i}}. Los ejemplos son el estándar.$${\ Displaystyle \ phi ^ {4}}-modelo y el punto tricrítico isotrópico Lifshitz con Lagrangianos

$${\ displaystyle \ displaystyle S = \ int d ^ {d} x \ left \ {{\ frac {1} {2}} \ left (\ nabla \ phi \ right) ^ {2} + u \ phi ^ {4 }\Correcto\},}

$${\ displaystyle \ displaystyle S_ {LTP} = \ int d ^ {d} x \ left \ {{\ frac {1} {2}} \ left (\ nabla ^ {2} \ phi \ right) ^ {2} + u \ phi ^ {3} \ nabla ^ {2} \ phi + w \ phi ^ {6} \ right \},}

Véase también la figura de la derecha. Esta estructura simple puede ser compatible con una invarianza de escalabajo una reescala de coordenadas y campos con un factor$${\ displaystyle b} de acuerdo a

$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {i} \ rightarrow x_ {i} b ^ {\ left [x_ {i} \ right]}, \ phi _ {i} \ rightarrow \ phi _ {i} b ^ {\ left [ \ phi _ {i} \ right]}.}

El tiempo no se señala aquí, es solo otra coordenada: si el lagrangiano contiene una variable de tiempo, esta variable se debe reescala como $${\ displaystyle t \ rightarrow tb ^ {- z}} con algún exponente constante $${\ displaystyle z = - [t]}. El objetivo es determinar el exponente establecido.$${\ displaystyle N = \ {[x_ {i}], [\ phi _ {i}] \}}.

Un exponente, digamos $${\ displaystyle [x_ {1}]}, pueden ser elegidos arbitrariamente, por ejemplo $${\ displaystyle [x_ {1}] = - 1}. En el lenguaje del análisis dimensional esto significa que los exponentes$${\ displaystyle N}contar los factores del vector de onda (una longitud recíproca $${\ displaystyle k = 1 / L_ {1}}). Cada monomio del lagrangiano conduce así a una ecuación lineal homogénea$${\ displaystyle \ sum E_ {i, j} N_ {j} = 0} para los exponentes $${\ displaystyle N}. Si hay$${\ displaystyle M} Coordenadas y campos (inequivalentes) en el lagrangiano, luego $${\ displaystyle M}tales ecuaciones constituyen una matriz cuadrada. Si esta matriz fuera invertible, solo habría una solución trivial.$${\ displaystyle N = 0}.

La condición $${\ displaystyle \ det (E_ {i, j}) = 0} para una solución no trivial da una ecuación entre las dimensiones del espacio, y esto determina la dimensión crítica superior $${\ displaystyle d_ {u}} (Siempre que haya una sola dimensión variable $${\ displaystyle d}en el lagrangiano). Una redefinición de las coordenadas y los campos ahora muestra que determinar los exponentes de escalado$${\ displaystyle N} Es equivalente a un análisis dimensional con respecto al wavevector. $${\ displaystyle k}, con todas las constantes de acoplamiento que ocurren en el Lagrangiano sin dimensiones. Las constantes de acoplamiento sin dimensiones son el sello técnico para la dimensión crítica superior.

La escala ingenua a nivel del Lagrangiano no se corresponde directamente con la escala física porque se requiere un corte para dar un significado a la teoría de campo y la integral de trayectoria . Cambiar la escala de longitud también cambia el número de grados de libertad. Esta complicación es tenida en cuenta por el grupo de renormalización . El principal resultado en la dimensión crítica superior es que la invariancia de escala sigue siendo válida para grandes factores$${\ displaystyle b}, pero con adicional $${\ displaystyle ln (b)} Factores en la escala de las coordenadas y campos.

Lo que pasa abajo o arriba $${\ displaystyle d_ {u}}depende de si uno está interesado en distancias largas ( teoría del campo estadístico ) o distancias cortas ( teoría del campo cuántico ). Las teorías cuánticas de campo son triviales (convergentes) a continuación$${\ displaystyle d_ {u}} y no renormalizable por encima $${\ displaystyle d_ {u}}. ^[1] Las teorías de campos estadísticos son triviales (convergentes) arriba$${\ displaystyle d_ {u}} y renormalizable abajo $${\ displaystyle d_ {u}}. En este último caso surgen contribuciones "anómalas" a los exponentes de escalado ingenuo.$${\ displaystyle N}. Estas contribuciones anómalas a los exponentes críticosefectivos se desvanecen en la dimensión crítica superior.

Es instructivo ver cómo la invariancia de escala en la dimensión crítica superior se convierte en una invarianza de escala por debajo de esta dimensión. Para pequeños vectores de onda externos las funciones de vértice $${\ displaystyle \ Gamma}Adquirir exponentes adicionales, por ejemplo. $${\ displaystyle \ Gamma _ {2} (k) \ thicksim k ^ {2- \ eta (d)}}. Si estos exponentes se insertan en una matriz$${\ displaystyle A (d)} (que solo tiene valores en la primera columna) la condición para la invariancia de escala se convierte en $${\ displaystyle \ det (E + A (d)) = 0}. Esta ecuación solo puede satisfacerse si los exponentes anómalos de las funciones de vértice cooperan de alguna manera. De hecho, las funciones de vértice dependen unas de otras jerárquicamente. Una forma de expresar esta interdependencia son las ecuaciones de Dyson-Schwinger .

Escala ingenua en $${\ displaystyle d_ {u}}por lo tanto es importante como aproximación cero orden. La escala ingenua en la dimensión crítica superior también clasifica los términos del Lagrangiano como relevantes, irrelevantes o marginales. Un lagrangiano es compatible con la escala si el$${\ displaystyle x_ {i}}- y $${\ Displaystyle \ phi _ {i}} -exponentes $${\ displaystyle E_ {i, j}} recuéstese en un hiperplano, para ejemplos, vea la figura anterior. $${\ displaystyle N} Es un vector normal de este hiperplano.

Dimensión crítica inferior [ editar ]

La dimensión crítica inferior. $${\ displaystyle d_ {L}}de una transición de fase de una clase de universalidad dada es la última dimensión para la cual esta transición de fase no ocurre si la dimensión se incrementa comenzando con$${\ displaystyle d = 1}.

La estabilidad termodinámica de una fase ordenada depende de la entropía y la energía. Cuantitativamente, esto depende del tipo de paredes de dominio y sus modos de fluctuación. No parece haber una forma formal genérica para derivar la dimensión crítica inferior de una teoría de campo. Los límites inferiores pueden derivarse con argumentos de mecánica estadística .

Consideremos primero un sistema unidimensional con interacciones de corto alcance. Crear un muro de dominio requiere una cantidad de energía fija$${\ displaystyle \ epsilon}. Extraer esta energía de otros grados de libertad disminuye la entropía al$${\ displaystyle \ Delta S = - \ epsilon / T}. Este cambio de entropía debe compararse con la entropía del propio muro de dominio. ^[2] En un sistema de longitud.$${\ displaystyle L} existen $${\ displaystyle L / a}posiciones para la pared de dominio, lo que lleva (según el principio de Boltzmann ) a una ganancia de entropía$${\ displaystyle \ Delta S = k_ {B} \ log (L / a)}. Para temperatura no nula$${\ displaystyle T} y $${\ displaystyle L} suficientemente grande la ganancia de entropía siempre domina, y por lo tanto no hay transición de fase en sistemas unidimensionales con interacciones de corto alcance en {\ displaystyle T> 0}. Dimensión espacial$${\ displaystyle d_ {1} = 1} por lo tanto, es un límite inferior para la dimensión crítica inferior de tales sistemas.

Un límite inferior más fuerte $${\ displaystyle d_ {L} = 2}se puede derivar con la ayuda de argumentos similares para sistemas con interacciones de corto alcance y un parámetro de orden con una simetría continua. En este caso, el Mermin-Wagner-Theorem establece que el valor de la expectativa del parámetro de orden se desvanece en$${\ displaystyle d = 2} a {\ displaystyle T> 0}, y por lo tanto no hay transición de fase del tipo habitual en $${\ displaystyle d_ {L} = 2} y por debajo.

Para sistemas con trastorno apagado, un criterio dado por Imry y Ma ^[3] podría ser relevante. Estos autores utilizaron el criterio para determinar la dimensión crítica inferior de los imanes de campo aleatorios.