La simetría del espejo homológico es una conjetura matemáticahecha por Maxim Kontsevich . Busca una explicación matemática sistemática para un fenómeno llamado simetría de espejoobservado por primera vez por físicos que estudian la teoría de cuerdas .
Historia [ editar ]
En un discurso al Congreso Internacional de Matemáticos de 1994 en Zúrich , Kontsevich (1994) especuló que la simetría de espejo para un par de variedades X e Y de Calabi-Yau podría explicarse como una equivalencia de una categoría triangulada construida a partir de la geometría algebraica de X ( la categoría derivada de gavillas coherentes en X ) y otra categoría triangulada construida a partir de la geometría simpléctica de Y (la categoría derivada de Fukaya ).
Edward Witten describió originalmente la torsión topológica de la teoría del campo supersimétrico N = (2,2) en lo que denominó las teorías de cadenas topológicas modelo A y B [ cita requerida ] . Estos modelos se refieren a mapas de superficies de Riemann en un objetivo fijo, generalmente una variedad Calabi-Yau. La mayoría de las predicciones matemáticas de simetría de espejo están integradas en la equivalencia física del modelo A en Y con el modelo B en su espejo X. Cuando las superficies de Riemann tienen un límite vacío, representan las hojas del mundo de cadenas cerradas. Para cubrir el caso de cuerdas abiertas, se deben introducir condiciones de contorno para preservar la supersimetría. En el modelo A, estas condiciones de frontera vienen en forma de submanifold de Lagrangian de Y con alguna estructura adicional (a menudo llamada estructura de brane). En el modelo B, las condiciones de los límites vienen en forma de submanifold holomorfas (o algebraicas) de X con paquetes de vectores holomorfos (o algebraicos) en ellas. Estos son los objetos que uno usa para construir las categorías relevantes [ cita requerida ]. A menudo se les llama A y B branas respectivamente. Los morfismos en las categorías están dados por el espectro sin masa de cuerdas abiertas que se extienden entre dos branas [ cita requerida ] .
Los modelos de cadena A y B cerrados solo capturan el llamado sector topológico, una pequeña parte de la teoría de la cadena completa. De manera similar, las branas en estos modelos son solo aproximaciones topológicas de los objetos dinámicos completos que son D-branas . Aun así, las matemáticas resultantes de esta pequeña parte de la teoría de cuerdas han sido profundas y difíciles.
La Escuela de Matemáticas del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton planea un año especial dedicado a la Simetría del Espejo Homológico durante el año académico 2016-2017. Entre los distinguidos participantes estarán Paul Seidel de MIT , Maxim Kontsevich de IHÉS y Denis Auroux de UC Berkeley . [1]
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Este artículo necesita ser actualizado . ( Enero de 2019 )
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Ejemplos [ editar ]
Solo en unos pocos ejemplos los matemáticos han podido verificar la conjetura. En su discurso seminal, Kontsevich comentó que la conjetura podría probarse en el caso de curvas elípticas usando funciones theta . Siguiendo esta ruta, Alexander Polishchuk y Eric Zaslow proporcionaron una prueba de una versión de la conjetura de las curvas elípticas. Kenji Fukaya pudo establecer elementos de la conjetura para las variedades abelianas . Más tarde, Kontsevich y Yan Soibelman proporcionaron una prueba de la mayoría de las conjeturas para los haces de toros no singulares sobre múltiples afines utilizando ideas delConjetura de SYZ . En 2003, Paul Seidel probó la conjetura en el caso de la superficie quártica . En 2002, Hausel y Thaddeus (2002) explicaron la conjetura de SYZ en el contexto del sistema de Hitchin y la dualidad de Langlands.
Hodge diamante [ editar ]
Las dimensiones h p , q de espacios de formas armónicas ( p , q ) -diferenciales (equivalentemente, la cohomología, es decir, formas cerradas de módulo formas exactas) se organizan de manera convencional en una forma de diamante llamada Hodge Diamond . Estos (p, q) -betti números se pueden calcular para intersecciones completas utilizando una función de generación descrita por Friedrich Hirzebruch . [2] [3] [4] Para una variedad tridimensional, por ejemplo, el diamante Hodge tiene p y q que van de 0 a 3:
| h 3,3 | ||||||
| h 3,2 | h 2,3 | |||||
| h 3,1 | h 2,2 | h 1,3 | ||||
| h 3,0 | h 2,1 | h 1,2 | h 0,3 | |||
| h 2,0 | h 1,1 | h 0,2 | ||||
| h 1,0 | h 0,1 | |||||
| h 0,0 |
La simetría del espejo traduce el número de dimensión de la forma diferencial (p, q) h p , q para el colector original en h n-p , q de la del colector de par par. Es decir, para cualquier colector Calabi-Yau, el diamante Hodge no se modifica mediante la rotación de π radianes y los diamantes Hodge del espejo. Los colectores Calabi-Yau están relacionados por una rotación de π / 2 radianes.
En el caso de una curva elíptica , que se ve como una variedad Calabi-Yau unidimensional, el diamante Hodge es especialmente simple: es la siguiente figura.
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 |
En el caso de una superficie K3 , que se ve como una variedad de Calabi-Yau bidimensional, ya que los números de Betti son {1, 0, 22, 0, 1}, su diamante Hodge es la siguiente figura.
| 1 | ||||
| 0 | 0 | |||
| 1 | 20 | 1 | ||
| 0 | 0 | |||
| 1 |
En el caso tridimensional, en la variedad habitual Calabi-Yau , sucede algo muy interesante. A veces hay pares de espejos, digamos M y W , que tienen diamantes Hodge simétricos entre sí a lo largo de la línea recta diagonal.
M' s de diamantes:
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | una | 0 | ||||
| 1 | segundo | segundo | 1 | |||
| 0 | una | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
El diamante de w
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | segundo | 0 | ||||
| 1 | una | una | 1 | |||
| 0 | segundo | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
M y W corresponden a los modelos A y B en la teoría de cuerdas. La simetría del espejo no solo reemplaza las dimensiones homológicas, sino también la estructura simpléctica y la estructura compleja en los pares del espejo. Ese es el origen de la simetría del espejo homológico.
En 1990-1991, Philip Candelas, Xenia C. de la Ossa y Paul S. Green et al. ( 1991 ) tuvo un gran impacto, no solo en la geometría algebraica enumerativa, sino en todas las matemáticas y motivó a Kontsevich (1994) . El par de espejos de dos pliegues triples en este papel tiene los siguientes diamantes de Hodge.
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pared de dominio Hořava-Witten es un tipo de pared de dominio que se comporta como un límite de la once dimensiones espacio-tiempo en M-teoría .
Petr Hořava y Edward Witten argumentaron que la cancelación de anomalías garantiza que una teoría de calibre supersimétrico con el grupo de calibre E8 se propague en esta pared de dominio. Este hecho es importante para varias relaciones entre la teoría M y la teoría de supercuerdas .
la teoría M presenta una idea sobre la sustancia básica del universo . A partir de 2019, la ciencia no ha producido evidencia experimental para apoyar el concepto de que la teoría M es una descripción del mundo real. Aunque no se conoce una formulación matemática completa de la teoría M, el enfoque general es el principal candidato para una " Teoría del Todo" universal que unifica la gravedad con otras fuerzas como el electromagnetismo . La teoría M apunta a unificar la mecánica cuántica con la fuerza gravitacional de la relatividad general de una manera matemáticamente consistente. En comparación, otras teorías como la gravedad cuántica de bucle se consideran[ por quien? ] menos elegantes porque postulan que la gravedad es completamente diferente de fuerzas como la fuerza electromagnética.
Fondo [ editar ]
En los primeros años del siglo XX, se comprobó que el átomo , que durante mucho tiempo se consideró el bloque de construcción más pequeño de la materia , consiste en componentes aún más pequeños llamados protones , neutrones y electrones , que se conocen como partículas subatómicas . A partir de la década de 1960, se descubrieron otras partículas subatómicas. En la década de 1970, se descubrió que los protones y los neutrones (y otros hadrones ) están compuestos de partículas más pequeñas llamadas quarks . El Modelo Estándar es el conjunto de reglas que describe las interacciones de estas partículas.
En la década de 1980 , surgió un nuevo modelo matemático de física teórica , llamado teoría de cuerdas . Mostró cómo todas las diferentes partículas subatómicas conocidas por la ciencia podrían construirse mediante "cadenas" hipotéticas unidimensionales, bloques de construcción infinitesimales que tienen solo la dimensión de la longitud, pero no la altura o el ancho.
Sin embargo, para que la teoría de cuerdas sea matemáticamente consistente, las cuerdas deben estar en un universo de diez dimensiones . Esto contradice la experiencia de que nuestro universo real tiene cuatro dimensiones: tres dimensiones espaciales (altura, anchura y longitud) y una dimensión temporal. Para "salvar" su teoría, los teóricos de cuerdas, por lo tanto, agregaron la explicación de que las seis dimensiones adicionales existen pero no se pueden detectar directamente; esto fue explicado por objetos matemáticos sofisticados llamados variedades Calabi-Yau . El número de dimensiones se incrementó posteriormente a 11 según diversas interpretaciones de la teoría de 10 dimensiones que llevaron a cinco teorías parciales, como se describe a continuación. La teoría de la supergravedad también tuvo un papel importante en el establecimiento de la necesidad de la 11ª dimensión.
Estas "cuerdas" vibran en múltiples dimensiones y, según cómo vibren, pueden verse en el espacio tridimensional como materia, luz o gravedad. Es la vibración de la cuerda la que determina si parece ser materia o energía, y toda forma de materia o energía es el resultado de la vibración de las cuerdas.
La teoría de cuerdas como se describió anteriormente encontró un problema: se descubrió otra versión de las ecuaciones, luego otra y luego otra. Finalmente, se desarrollaron cinco grandes teorías de cuerdas. Las principales diferencias entre las teorías fueron principalmente el número de dimensiones en las que se desarrollaron las cadenas y sus características (algunas eran bucles abiertos, otras eran bucles cerrados, etc.). Además, todas estas teorías parecían ser viables. Los científicos no se sentían cómodos con cinco conjuntos de ecuaciones aparentemente contradictorias para describir lo mismo.
Hablando en la conferencia de teoría de cuerdas en la Universidad del Sur de California en 1995, Edward Witten,del Instituto de Estudios Avanzados, sugirió que las cinco versiones diferentes de la teoría de cuerdas podrían estar describiendo lo mismo visto desde diferentes perspectivas. [4] Propuso una teoría unificadora llamada "teoría M ", en la que la "M" no se define específicamente, pero en general se entiende que significa "membrana". Las palabras "matriz", "maestro", "madre", "monstruo", "misterio" y "magia" también se han reclamado. La teoría M reunió todas las teorías de cuerdas.. Las vibraciones de objetos de dimensiones superiores (como en una esfera o esfera vibrante tridimensional o incluso en las dimensiones más posibles) son ciertamente una parte de la teoría M, [5] pero la teoría básica de las branas todavía está en progreso. Los objetos de dimensiones superiores son mucho más difíciles de calcular matemáticamente que un punto en la física clásica o una cadena de una dimensión en la teoría de cuerdas o membranas bidimensionales en la teoría M.
Estado [ editar ]
La teoría M no está completa, pero las matemáticas del enfoque se han explorado con gran detalle. Sin embargo, hasta ahora no existe ningún soporte experimental de la teoría-M. [1] Algunos físicos se muestran escépticos de que este enfoque lleve a una teoría física que describa nuestro mundo real, debido a cuestiones fundamentales. [6]
Sin embargo, algunos cosmólogos se sienten atraídos por la teoría M debido a su elegancia matemática y su relativa simplicidad, lo que desencadena la esperanza de que la simplicidad sea una razón por la que pueda describir nuestro mundo.
Una característica de la teoría M que ha despertado gran interés es que, naturalmente, predice la existencia del gravitón , una partícula spin-2 hipotetizada para mediar la fuerza gravitacional; Además, la teoría M predice naturalmente un fenómeno que se parece a la evaporación del agujero negro . Las teorías de unificación que compiten entre sí, como la gravedad asintóticamente segura , la teoría E8 , la geometría no conmutativa y los sistemas causales de fermión no han demostrado ningún nivel de coherencia matemática. El principal rival de la teoría M es la gravedad cuántica de bucles., una teoría no unificadora; muchos físicos consideran que la gravedad cuántica de bucles es menos elegante que la teoría M porque postula que la gravedad es completamente diferente de las otras fuerzas fundamentales.
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