FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

 flujo Calabi es una intrínseca flujo geométrico proceso -a que deforma la métrica de un variedad de Riemann -en una manera formalmente análoga a la forma en que las vibraciones se amortiguan y disipan en una curva hipotética n -dimensional elemento estructural .

Introducción [ editar ]

El flujo de Calabi es un flujo de curvatura intrínseca, como el flujo de Ricci . Tiende a suavizar las desviaciones de la redondez de una manera formalmente análoga a la forma en que la ecuación de vibración bidimensional amortigua y propaga las vibraciones mecánicas transversales en una placa delgada, y limita una cierta curvatura intrínseca funcional.

Declaración formal [ editar ]

Si Σ es una superficie riemanniana cerrada, entonces el flujo de Calabi viene dado por: ^[1]

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial t}} = (\ Delta R) g_ {ij}},

donde el $${\ displaystyle g_ {ij}} son las coordenadas de la métrica, $${\ displaystyle \ Delta}es el operador de Laplace-Beltrami y R es la curvatura escalar.

Utilizar [ editar ]

El flujo de Calabi es importante en el estudio de las variedades de Kähler , particularmente en las variedades de Calabi-Yau y también en el estudio de los tiempos espaciales de Robinson-Trautman en la relatividad general . Una observación intrigante es que la ecuación de Calabi subyacente parece ser completamente integrable , lo que daría un vínculo directo con la teoría de los solitones .

variedad Calabi-Yau , también conocida como espacio Calabi-Yau , es un tipo particular de variedadque tiene propiedades, como la planitud de Ricci , que produce aplicaciones en la física teórica . Particularmente en la teoría de supercuerdas , las dimensiones adicionales del espacio-tiempo se conjeturan a veces para tomar la forma de una variedad de Calabi-Yau de 6 dimensiones, lo que llevó a la idea de la simetría del espejo . Su nombre fue acuñado por Candelas et al. (1985) , después de Eugenio Calabi  ( 1954 , 1957) quien primero conjeturó que tales superficies podrían existir, y Shing-Tung Yau  ( 1978 ) quien probó la conjetura de Calabi .

Las variedades Calabi-Yau son variedades complejas que son generalizaciones de superficies K3 en cualquier número de dimensiones complejas (es decir, cualquier número par de dimensiones reales ). Originalmente, se definieron como variedadescompactas de Kähler con una primera clase de Chern en desaparición y una métrica Ricci plana , aunque a veces se usan muchas otras definiciones similares pero desiguales.

Definiciones [ editar ]

La definición motivacional dada por Shing-Tung Yau es la de una variedad compacta de Kähler con una primera clase de Chern en desaparición, es decir, también Ricci plana . ^[1]

Hay muchas otras definiciones de una variedad de Calabi-Yau utilizada por diferentes autores, algunas de ellas desiguales. Esta sección resume algunas de las definiciones más comunes y las relaciones entre ellas.

Una variedad Calabi – Yau n- fold o Calabi – Yau de dimensión (compleja) n a veces se define como una variedad compacta de Kähler M en n dimensiones que satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• El paquete canónico de M es trivial.
• M tiene una forma n holomorfa que no desaparece en ninguna parte.
• El grupo de estructura de M se puede reducir de U ( n ) a SU ( n ).
• M tiene una métrica de Kähler con holonomía global contenida en SU ( n ) .

Estas condiciones implican que la primera clase integral de Chern $${\ displaystyle c_ {1} (M)}de M desaparece. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Los ejemplos más simples donde esto sucede son las superficies hiperelípticas , cocientes finitos de un toro complejo de dimensión compleja 2, que tienen una primera clase integral de Chern que se desvanece pero un paquete canónico no trivial.

Para una variedad compacta de Kähler M en n dimensiones, las siguientes condiciones son equivalentes entre sí, pero son más débiles que las condiciones anteriores, aunque a veces se usan como la definición de una variedad Calabi-Yau:

• M ha desaparecido la primera clase real de Chern.
• M tiene una métrica de Kähler con una curvatura Ricci que se desvanece.
• M tiene una métrica de Kähler con holonomía local contenida en SU ( n ) .
• Un poder positivo del haz canónico de M es trivial.
• M tiene una cubierta finita que tiene un paquete canónico trivial.
• M tiene una cubierta finita que es producto de un toro y un colector simplemente conectado con un haz canónico trivial.

Si un colector Kähler compacto está simplemente conectado , entonces la definición débil de arriba es equivalente a la definición más fuerte. Las superficies de Enriques dan ejemplos de variedades complejas que tienen métricas Ricci planas, pero sus paquetes canónicos no son triviales, por lo que son variedades de Calabi-Yau según la segunda definición, pero no la primera definición anterior. Por otro lado, sus cubiertas dobles son variedades Calabi-Yau para ambas definiciones (de hecho, superficies K3).

Con mucho, la parte más difícil de probar las equivalencias entre las diversas propiedades anteriores es demostrar la existencia de métricas planas de Ricci. Esto se desprende de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi , que implica que una variedad compacta de Kähler con una primera clase de Chern real en desaparición tiene una métrica de Kähler en la misma clase con curvatura de Ricci en desaparición. (La clase de una métrica de Kähler es la clase de cohomología de su forma 2 asociada). Calabi mostró que dicha métrica es única.

Existen muchas otras definiciones inequívocas de las variedades de Calabi-Yau que a veces se usan, que se diferencian de las siguientes maneras (entre otras):

• La primera clase de Chern puede desaparecer como una clase integral o como una clase real.
• La mayoría de las definiciones afirman que los colectores Calabi-Yau son compactos, pero algunos permiten que no sean compactos. En la generalización a colectores no compactos, la diferencia.$${\ displaystyle (\ Omega \ wedge {\ bar {\ Omega}} - \ omega ^ {n} / n!)}Debe desaparecer asintóticamente. Aquí,$${\ displaystyle \ omega} es la forma de Kähler asociada con la métrica de Kähler, $${\ displaystyle g}( Gang Tian ; Shing-Tung Yau  1990 , 1991 ).
• Algunas definiciones ponen restricciones al grupo fundamental de una variedad Calabi-Yau, como exigir que sea finito o trivial. Cualquier colector Calabi-Yau tiene una cubierta finita que es el producto de un toro y un colector Calabi-Yau simplemente conectado.
• Algunas definiciones requieren que la holonomía sea exactamente igual a SU ( n ) en lugar de un subgrupo de la misma, lo que implica que los números de Hodge h ^{i , 0} desaparecen para 0 M ). Las superficies abelianas tienen una métrica plana de Ricci con holonomía estrictamente más pequeña que SU (2) (de hecho, trivial), por lo que no son las variedades de Calabi-Yau de acuerdo con dichas definiciones.
• La mayoría de las definiciones asumen que una variedad Calabi-Yau tiene una métrica riemanniana, pero algunas las tratan como variedades complejas sin una métrica.
• La mayoría de las definiciones asumen que la variedad no es singular, pero algunas permiten singularidades leves. Si bien la clase de Chern no está bien definida para Calabi-Yau singular, el paquete canónico y la clase canónica aún pueden definirse si todas las singularidades son Gorenstein , y así se puede usar para extender la definición de una variedad Calabi-Yau suave para Una variedad posiblemente singular de Calabi-Yau.

Ejemplos [ editar ]

El hecho fundamental más importante es que cualquier variedad algebraica suave incorporada en un espacio proyectivo es una variedad de Kähler, porque existe una métrica de estudio de Fubini natural en un espacio proyectivo que se puede restringir a la variedad algebraica. Por definición, si ω es la métrica de Kähler en la variedad algebraica X y el paquete canónico K _X es trivial, entonces X es Calabi-Yau. Además, existe una métrica Kähler única en X de tal manera que [ ω ₀ ] = [ ω ]  ² H ² ( X , R ), un hecho que fue conjeturado por Eugenio Calabi y probado por Shing-Tung Yau (verConjetura de Calabi ).

En una dimensión compleja, los únicos ejemplos compactos son tori , que forman una familia de un solo parámetro. La métrica de Ricci-plana en un toro es en realidad una métrica plana , de modo que la holonomía es el grupo trivial SU (1). Una variedad unidimensional de Calabi-Yau es una curva elíptica compleja , y en particular, algebraica .

En dos dimensiones complejas, las superficies K3 proporcionan los únicos colectores Calabi-Yau compactos y simplemente conectados. Los ejemplos no conectados simplemente están dados por las superficies abelianas .Las superficies de Enriques y las superficies hiperelípticas tienen la primera clase de Chern que se desvanece como un elemento del grupo de cohomología real, pero no como un elemento del grupo de cohomología integral, por lo que el teorema de Yau sobre la existencia de una métrica plana de Ricci todavía se aplica a ellos, pero son A veces no se consideran variedades de Calabi-Yau. Las superficies abelianas a veces se excluyen de la clasificación de ser Calabi-Yau, ya que su holonomía (de nuevo el grupo trivial) es un subgrupo adecuado de SU (2), en lugar de ser isomorfas a SU (2). sin embargo, elEl subconjunto de superficie Enriques no se ajusta completamente al subgrupo SU (2) en el panorama de la teoría de cuerdas .

En tres dimensiones complejas, la clasificación de las posibles variedades de Calabi-Yau es un problema abierto, aunque Yau sospecha que existe un número finito de familias (aunque es un número mucho mayor que su estimación de hace 20 años). A su vez, Miles Reid también ha conjeturado que el número de tipos topológicos de 3 pliegues de Calabi-Yau es infinito, y que todos pueden transformarse continuamente (a través de ciertas singularizaciones leves, como las coníferas ), uno al otro, al igual que Las superficies de Riemann pueden. ^[2] Un ejemplo de un colector tridimensional Calabi-Yau es un tríptico quíntico no singular en CP ⁴ , que es la variedad algebraicaque consiste en todos los ceros de un polinomio quíntico homogéneo en las coordenadas homogéneas del CP ⁴ . Otro ejemplo es un modelo suave de la quinética de Barth-Nieto . Algunos cocientes discretos de la quíntica por varias acciones de Z ₅ también son Calabi-Yau y han recibido mucha atención en la literatura. Uno de estos está relacionado con la simetría quíntica original por espejo .

Para cada entero positivo n , el conjunto de cero , en las coordenadas homogéneas del complejo espacio proyectivo CP ^n +1 , de un  polinomio homogéneo no singular singular grado n + 2 en n  + 2 variables es un Calabi – Yau n -fold compacto . El caso n  = 1 describe una curva elíptica, mientras que para n  = 2 se obtiene una superficie K3.

Más generalmente, las variedades / orbifolds Calabi-Yau se pueden encontrar como intersecciones completas ponderadas en un espacio proyectivo ponderado . La principal herramienta para encontrar tales espacios es la fórmula de la adjunción .

Todas las variedades hiper-Kähler son variedades Calabi-Yau.

Aplicaciones en la teoría de supercuerdas [ editar ]

Los colectores Calabi-Yau son importantes en la teoría de supercuerdas . Esencialmente, las variedades Calabi-Yau son formas que satisfacen el requisito de espacio para las seis dimensiones espaciales "invisibles" de la teoría de cuerdas, que pueden ser más pequeñas que nuestras longitudes actualmente observables, ya que aún no se han detectado. Una alternativa popular conocida como grandes dimensiones adicionales , que a menudo se produce en los modelos de braneworld , es que el Calabi-Yau es grande, pero estamos limitados a un pequeño subconjunto en el que intersecta una D-brana . Actualmente se están explorando extensiones adicionales a dimensiones más altas con ramificaciones adicionales para la relatividad general .

En los modelos de supercuerdas más convencionales, se supone que diez dimensiones de conjeturas en la teoría de cuerdas son cuatro de las cuales somos conscientes, que llevan algún tipo de fibración con la dimensión de fibra seis. La compactación en Calabi – Yau n- fold es importante porque deja intacta una parte de la supersimetría original . Más precisamente, en ausencia de flujos , la compactación en un Calabi-Yau 3 veces (dimensión real 6) deja intacta una cuarta parte de la supersimetría original si la holonomía es la SU completa (3).

Más generalmente, un compactificación libre de fundente sobre una n -manifold con holonomía SU ( n ) hojas 2 ^1-n de la supersimetría original, ininterrumpida, que corresponde a 2 ^6- n sobrealimenta en un compactificación de tipo II supergravedad o 2 ^5- n sobrealimenta en una compactificación del tipo I. Cuando los flujos se incluyen, la condición de supersimetría implica, en cambio, que el colector de compactación sea un Calabi-Yau generalizado , una noción introducida por Hitchin (2003) . Estos modelos son conocidos como compactaciones de flujo .

Las compactaciones de la teoría F en varios pliegues de Calabi-Yau proporcionan a los físicos un método para encontrar un gran número de soluciones clásicas en el llamado panorama de la teoría de cuerdas .

Conectado con cada agujero en el espacio Calabi-Yau hay un grupo de patrones vibracionales de cuerdas de baja energía. Dado que la teoría de cuerdas establece que nuestras partículas elementales familiares corresponden a vibraciones de cuerdas de baja energía, la presencia de múltiples orificios hace que los patrones de cuerdas caigan en múltiples grupos o familias . Aunque la siguiente declaración se ha simplificado, transmite la lógica del argumento: si el Calabi-Yau tiene tres orificios, entonces se observarán experimentalmente tres familias de patrones vibracionales y, por lo tanto, tres familias de partículas.

Lógicamente, dado que las cuerdas vibran a través de todas las dimensiones, la forma de las onduladas afectará sus vibraciones y, por lo tanto, las propiedades de las partículas elementales observadas. Por ejemplo, Andrew Strominger y Edward Witten han demostrado que las masas de partículas dependen de la manera de la intersección de los diversos agujeros en un Calabi-Yau. En otras palabras, Strominger y Witten encontraron que las posiciones de los agujeros entre sí y con respecto a la sustancia del espacio Calabi-Yau afectan a las masas de partículas de cierta manera. Esto, por supuesto, es cierto para todas las propiedades de las partículas.