FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

 la holografía del frente de la luzo la QCD holográfica del frente de la luz es una versión aproximada de la teoría de la cromodinámica cuántica (QCD) que resulta del mapeo de la teoría del calibre de QCD a un espacio anti-de Sitter (AdS) de mayor dimensión, inspirado en la correspondencia AdS / CFT ^[1] (dualidad de calibre / gravedad) propuesta para la teoría de cuerdas . Este procedimiento hace posible encontrar soluciones analíticas ( expresión en forma cerrada ) en situaciones donde se produce un fuerte acoplamiento (el "régimen fuertemente acoplado"), mejorando las predicciones de las masas de hadrones (comoprotones , neutrones y mesones ) y su estructura interna revelada por experimentos con aceleradores de alta energía. El enfoque más utilizado para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones de QCD, la red QCD , ha tenido muchas aplicaciones exitosas; sin embargo, es un enfoque numérico formulado en el espacio euclidiano en lugar del espaciofísico de Minkowski en el tiempo.

Motivación y trasfondo [ editar ]

Uno de los problemas clave en la física de partículas elementales es calcular el espectro de masas y la estructura de los hadrones , como el protón , como estados unidos de los quarks y los gluones . A diferencia de la electrodinámica cuántica (QED), la fuerte constante de acoplamiento de los constituyentes de un protón hace que el cálculo de las propiedades hadrónicas, como la masa de protones y el confinamiento del color , sea el problema más difícil de resolver. El enfoque teórico más exitoso ha sido formular QCD como una teoría de la malla reticular ^[2]y emplear grandes simulaciones numéricas en computadoras avanzadas. No obstante, las propiedades de QCD dinámicas importantes en el espacio-tiempo de Minkowski no son susceptibles a los cálculos de red numérica euclidiana. ^{[3] Por lo tanto,} un objetivo teórico importante es encontrar una aproximación inicial a QCD que sea analíticamente manejable y que pueda mejorarse sistemáticamente.

Para abordar este problema, el enfoque de holografía del frente de luz mapea una teoría de calibre confinadacuantificada en el frente de la luz ^[4] a un espacio anti-de Sitter (AdS) de mayor dimensión que incorpora la correspondencia AdS / CFT ^[1] como una guía útil. La correspondencia AdS / CFT es un ejemplo del principio holográfico , ya que relaciona la gravitación en un espacio AdS de cinco dimensiones con una teoría del campo cuántico conforme en su límite de espacio-tiempo de cuatro dimensiones .

Paul Dirac introdujo la cuantificación del frente de luz para resolver teorías de campos cuánticos relativistas. Es el marco ideal para describir la estructura de los hadrones en términos de sus constituyentes medidos en el mismo momento del frente de luz,$${\ displaystyle \ tau = x ^ {0} + x ^ {3}}, el tiempo marcado por el frente de una onda de luz . En el frente de la luz, las ecuaciones hamiltonianas para los sistemas de estado ligado relativista y las ecuaciones de onda AdS tienen una estructura similar, lo que hace posible la conexión de QCD con los métodos de medición / gravedad. ^[5] La interrelación de la representación geométrica de AdS con la holografía del frente de luz proporciona una primera aproximación notable para los espectros de masas y las funciones de onda de los estados ligados de mesón y bario de quarks de luz. ^[6]

Stanley J. Brodsky y Guy F. de Teramond encontraron originalmente métodos holográficos en el frente de luz en 2006 mediante el mapeo de la distribución de la carga eléctrica ^[7] y la inercia ^[8] de las corrientes de quarks y el tensor de tensión-energía ^[9] de los elementos fundamentales. constituyentes dentro de un hadrón en AdS ^[10] [11]al espacio físico tiempo ^[12] [13] utilizando la teoría del frente de luz. No se conoce un doble de gravedad de QCD, pero los mecanismos de confinamiento pueden incorporarse en la correspondencia de calibre / gravedad modificando la geometría de AdS en valores grandes de la coordenada de quinta dimensión de AdS $${\ displaystyle z}, que establece la escala de las interacciones fuertes. ^[14] [15] En el marco habitual de AdS / QCD ^{[16] [17] los} campos en AdS se introducen para coincidir con la simetría quiral de QCD y su ruptura espontánea de simetría , pero sin conexión explícita con la estructura interna constituyente de los hadrones. ^[18]

Ecuación de la onda frontal de luz [ editar ]

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En una aproximación semiclásica a QCD, la ecuación de Hamilton del frente de luz $${\ displaystyle P _ {\ mu} P ^ {\ mu} \ vert \ phi \ rangle = {\ mathcal {M}} ^ {2} \ vert \ phi \ rangle} es una ecuación de Schrödinger relativista e independiente de marco ^[5]

$${\ displaystyle \ left (- {\ frac {d ^ {2}} {d \ zeta ^ {2}}} - {\ frac {1-4L ^ {2}} {4 \ zeta ^ {2}}} + U (\ zeta) \ right) \ phi (\ zeta) = M ^ {2} \ phi (\ zeta),}

dónde $${\ displaystyle L}Es el momento angular orbital de los constituyentes y la variable.$${\ displaystyle \ zeta}es la invariante distancia de separación entre los quarks en el hadrón en el mismo tiempo frente a la luz. La variable$${\ displaystyle \ zeta} Se identifica con la variable holográfica. $${\ displaystyle z}en el espacio AdS ^[7] y la energía potencial de confinamiento $${\ displaystyle U (\ zeta)}se deriva del factor de deformación que modifica la geometría de AdS y rompe su invariancia conforme. ^[6] Sus valores propios dan el espectro hadrónico, y sus vectores propios representan las distribuciones de probabilidad de los constituyentes hadrónicos en una escala dada.

teoría del campo de Liouville (o simplemente la teoría de Liouville ) es una teoría de campo conformal bidimensional cuya ecuación clásica de movimiento es una generalización de la ecuación de Liouville .

La teoría de Liouville se define para todos los valores complejos de la carga central.$${\ displaystyle c}de su álgebra de simetría Virasoro , pero es unitaria solo si

$${\ displaystyle c \ in (1, + \ infty)},

y su limite clasico es

$${\ displaystyle c \ to + \ infty}.

Aunque es una teoría interactiva con un espectro continuo , la teoría de Liouville se ha resuelto . En particular, su función de tres puntos en la esfera ha sido determinada analíticamente.

Parámetros [ editar ]

La teoría de Liouville tiene una carga de fondo. $${\ displaystyle Q}y constante de acoplamiento $${\ displaystyle b} que están relacionados con la carga central $${\ displaystyle c} por

$${\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2} \ quad, \ quad Q = b + {\ frac {1} {b}} \.}

Estados y campos se caracterizan por un impulso$${\ displaystyle \ alpha}que se relaciona con la dimensión conformal $${\ displaystyle \ Delta} por

$${\ displaystyle \ Delta = \ alpha (Q- \ alpha) \.}

La constante de acoplamiento y el impulso son los parámetros naturales para escribir funciones de correlación en la teoría de Liouville. Sin embargo, la dualidad.

$${\ displaystyle b \ to {\ frac {1} {b}} \,}

deja la carga central invariante , y por lo tanto también deja invariantes las funciones de correlación. La dimensión conformal es invariante en la transformación de reflexión.

$${\ displaystyle \ alpha \ a Q- \ alpha \,}

y las funciones de correlación son covariantes bajo reflexión .

Funciones de espectro y de correlación [ editar ]

Espectro [ editar ]

El espectro $${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}de la teoría de Liouville es una combinación diagonal de los módulos Verma del álgebra de Virasoro,

$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {{\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}} d \ Delta \ {\ mathcal {V}} _ {\ Delta} \ otimes {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta} \,}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ Delta}} y $${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta}}denota el mismo módulo de Verma, visto como una representación del álgebra de Virasoro que se mueve a la izquierda y a la derecha respectivamente. En términos de momentums ,

$${\ displaystyle \ Delta \ in {\ frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}}

corresponde a

$${\ displaystyle \ alpha \ en {\ frac {Q} {2}} + i \ mathbb {R}}.

La teoría de Liouville es unitaria si y solo si $${\ displaystyle c \ in (1, + \ infty)}. El espectro de la teoría de Liouville no incluye un estado de vacío . Se puede definir un estado de vacío, pero no contribuye a la expansión de los productos del operador .

Campos y reflexión relación [ editar ]

En la teoría de Liouville, los campos primarios generalmente están parametrizados por su impulso en lugar de su dimensión conformal , y se denotan$${\ displaystyle V _ {\ alpha} (z)}. Ambos campos$${\ displaystyle V _ {\ alpha} (z)} y $${\ displaystyle V_ {Q- \ alpha} (z)}Corresponden al estado primario de la representación. $${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {\ Delta} \ otimes {\ bar {\ mathcal {V}}} _ {\ Delta}}, y están relacionados por la relación de reflexión.

$${\ displaystyle V _ {\ alpha} (z) = R (\ alpha) V_ {Q- \ alpha} (z) \,}

donde el coeficiente de reflexión es ^[1]

$${\ displaystyle R (\ alpha) = \ pm \ lambda ^ {Q-2 \ alpha} {\ frac {\ Gamma (b (2 \ alpha -Q)) \ Gamma ({\ frac {1} {b}} (2 \ alpha -Q))} {\ Gamma (b (Q-2 \ alpha)) \ Gamma ({\ frac {1} {b}} (Q-2 \ alpha))}} \.}

(El signo es $${\ displaystyle +1} Si $${\ displaystyle c \ in (- \ infty, 1)} y $${\ displaystyle -1} De lo contrario, y el parámetro de normalización. $${\ displaystyle \ lambda} es arbitrario.)

Funciones de correlación y fórmula DOZZ [ editar ]

por $${\ displaystyle c \ notin (- \ infty, 1)}, la constante de estructura de tres puntos viene dada por la fórmula DOZZ (para Dorn-Otto ^[2]y Zamolodchikov-Zamolodchikov ^[3] ),

$${\ displaystyle C _ {\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}} = {\ frac {\ left [b ^ {{\ frac {2} {b}} - 2b} \ lambda \ right] ^ {Q- \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}} \ Upsilon _ {b} '(0) \ Upsilon _ {b} (2 \ alpha _ {1}) \ Upsilon _ {b} (2 \ alpha _ {2}) \ Upsilon _ {b} (2 \ alpha _ {3})} {\ Upsilon _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} -Q) \ Upsilon _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) \ Upsilon _ {b } (\ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) \ Upsilon _ {b} (\ alpha _ {3} + \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} )}} \,}

donde la función especial $${\ displaystyle \ Upsilon _ {b}}Es un tipo de función gamma múltiple .

por $${\ displaystyle c \ in (- \ infty, 1)}, la constante de estructura de tres puntos es ^[1]

$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}} = {\ frac {\ left [(ib) ^ {{\ frac { 2} {b}} - 2b} \ lambda \ right] ^ {Q- \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}} {\ hat {\ Upsilon}} _ {b } (0) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {1}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {2}) {\ hat { \ Upsilon}} _ {b} (2 \ alpha _ {3})} {{\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ alpha _ { 3} -Q) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} - \ alpha _ {3}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b } (\ alpha _ {2} + \ alpha _ {3} - \ alpha _ {1}) {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (\ alpha _ {3} + \ alpha _ {1} - \ alpha _ {2})}} \,}

dónde

$${\ displaystyle {\ hat {\ Upsilon}} _ {b} (x) = {\ frac {1} {\ Upsilon _ {ib} (- ix + ib)}} \.}

$${\ displaystyle N}Las funciones de puntos en la esfera se pueden expresar en términos de constantes de estructura de tres puntos y bloques conformales . Un$${\ displaystyle N}La función de punto puede tener varias expresiones diferentes: que concuerdan es equivalente a cruzar la simetría de la función de cuatro puntos, que se ha verificado numéricamente ^[3] [4] y se ha comprobado analíticamente. ^[5]

La teoría de Liouville existe no solo en la esfera, sino también en cualquier superficie del género de Riemann$${\ displaystyle g \ geq 1}. Técnicamente, esto es equivalente a la invariancia modular de la función de un punto del toro . Debido a las notables identidades de los bloques conformes y las constantes de estructura, esta propiedad de invariancia modular se puede deducir del cruce de la simetría de la función de cuatro puntos de la esfera. ^[6] [4]

Unicidad de la teoría de Liouville [ editar ]

Usando el enfoque conformal bootstrap , se puede demostrar que la teoría de Liouville es la única teoría del campo conformal tal que ^[1]

• el espectro es un continuo, sin multiplicidades superiores a uno,
• Las funciones de correlación dependen analíticamente de $${\ displaystyle b} y los momentums,
• Existen campos degenerados.

Formulación de Lagrange [ editar ]

Acción y ecuación de movimiento [ editar ]

La teoría de Liouville se define por la acción local.

$${\ displaystyle S [\ phi] = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int d ^ {2} x {\ sqrt {g}} (g ^ {\ mu \ nu} \ parcial _ {\ mu} \ phi \ parcial _ {\ nu} \ phi + QR \ phi + \ lambda 'e ^ {2b \ phi}) \,}

dónde $${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}es la métrica del espacio bidimensional en el que se formula la teoría,$${\ displaystyle R}Es el escalar de Ricci de ese espacio, y el campo.$${\ displaystyle \ phi}Se llama el campo de Liouville. El parámetro$${\ displaystyle \ lambda '}, que a veces se llama la constante cosmológica, está relacionada con el parámetro $${\ displaystyle \ lambda} que aparece en funciones de correlación por

$${\ displaystyle \ lambda '= 4 {\ frac {\ Gamma (1-b ^ {2})} {\ Gamma (b ^ {2})}} \ lambda ^ {b}}.

La ecuación de movimiento asociada a esta acción es

$${\ displaystyle \ Delta \ phi (x) = {\ frac {1} {2}} QR (x) + \ lambda 'be ^ {2b \ phi (x)} \,}

dónde $${\ displaystyle \ Delta = | g | ^ {- 1/2} \ parcial _ {\ mu} (| g | ^ {1/2} g ^ {\ mu \ nu} \ parcial _ {\ nu})}Es el operador de Laplace-Beltrami . Si$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}es la métrica euclidiana , esta ecuación se reduce a

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {2} ^ {2}}} \ right) \ phi (x_ {1}, x_ {2}) = \ lambda 'be ^ {2b \ phi (x_ {1}, x_ {2})} \,}

que es equivalente a la ecuación de Liouville .

Simetría conforme [ editar ]

Usando un sistema de coordenadas complejo $${\ displaystyle z}y una métrica euclidiana

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = dzd {\ bar {z}}},

Los componentes del tensor de energía-momento obedecen.

$${\ displaystyle T_ {z {\ bar {z}}} = T _ {{\ bar {z}} z} = 0 \ quad, \ quad \ partial _ {\ bar {z}} T_ {zz} = 0 \ quad, \ quad \ partial _ {z} T _ {{\ bar {z}} {\ bar {z}}} = 0 \.

Los componentes que no desaparecen son

$${\ displaystyle T = T_ {zz} = (\ parcial _ {z} \ phi) ^ {2} + Q \ parcial _ {z} ^ {2} \ phi \ quad, \ quad {\ bar {T}} = T _ {{\ bar {z}} {\ bar {z}}} = (\ parcial _ {\ bar {z}} \ phi) ^ {2} + Q \ parcial _ {\ bar {z}} ^ {2} \ phi \.}

Cada uno de estos dos componentes genera un álgebra de Virasoro con la carga central.

$${\ displaystyle c = 1 + 6Q ^ {2}}.

Para estos dos álgebras de Virasoro, un campo $${\ displaystyle e ^ {2 \ alpha \ phi}} Es un campo primario con la dimensión conformal.

$${\ displaystyle \ Delta = \ alpha (Q- \ alpha)}.

Para que la teoría tenga invariabilidad conforme , el campo$${\ displaystyle e ^ {2b \ phi}}Lo que aparece en la acción debe ser marginal , es decir, tener la dimensión conforme.

$${\ displaystyle \ Delta (b) = 1}.

Esto lleva a la relación.

$${\ displaystyle Q = b + {\ frac {1} {b}}}

entre la carga de fondo y la constante de acoplamiento. Si esta relación es obedecida, entonces$${\ displaystyle e ^ {2b \ phi}} es en realidad exactamente marginal, y la teoría es invariante conformemente.

Ruta integral [ editar ]

El camino de representación integral de un $${\ displaystyle N}La función de correlación de puntos de los campos primarios es

$${\ displaystyle \ left \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ alpha _ {i}} (z_ {i}) \ right \ rangle = \ int D \ phi \ e ^ {- S [\ phi]} \ prod _ {i = 1} ^ {N} e ^ {2 \ alpha _ {i} \ phi (z_ {i})} \.}

Ha sido difícil definir y computar esta ruta integral. En la representación integral del camino, no es obvio que la teoría de Liouville tenga una invariancia conforme exacta , y no es manifiesto que las funciones de correlación sean invariantes bajo$${\ displaystyle b \ to b ^ {- 1}}Y obedecer la relación de reflexión. Sin embargo, la representación de la integral de trayectoria se puede usar para calcular los residuos de las funciones de correlación en algunos de sus poloscomo integrales de Dotsenko-Fateev (es decir, integrales de gas de Coulomb), y es así como se adivinó la fórmula DOZZ en los años noventa. Es solo en la década de 2010 que se encontró una construcción probabilística rigurosa de la integral de trayectoria, que llevó a una prueba de la fórmula DOZZ. ^[7]

Relaciones con otras teorías de campo de conformación [ editar ]

Algunos límites de la teoría de Liouville [ editar ]

Cuando la carga central y las dimensiones conformes se envían a los valores discretos relevantes, las funciones de correlación de la teoría de Liouville se reducen a las funciones de correlación de los modelos mínimos deVirasoro diagonales (serie A) . ^[1]

Por otro lado, cuando la carga central se envía a uno mientras las dimensiones conformes permanecen continuas, la teoría de Liouville tiende a la teoría de Runkel-Watts, una teoría de campo conformal no trivial (CFT) con un espectro continuo cuya función de tres puntos no es analítica como Función de los momentums. ^{[8] Las}generalizaciones de la teoría de Runkel-Watts se obtienen de la teoría de Liouville tomando límites del tipo{\ displaystyle b ^ {2} \ notin \ mathbb {R}, b ^ {2} \ to \ mathbb {Q} _ {<0 font="">. ^[4] Entonces, para{\ displaystyle b ^ {2} \ in \ mathbb {Q} _ {<0 font="">, se conocen dos CFT distintos con el mismo espectro: la teoría de Liouville, cuya función de tres puntos es analítica, y otro CFT con una función de tres puntos no analítica.

Modelos WZW [ editar ]

La teoría de Liouville se puede obtener de la $${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})} Modelo Wess – Zumino – Witten por reducción cuántica Drinfeld-Sokolov . Por otra parte, las funciones de correlación de la$${\ displaystyle H_ {3} ^ {+}} modelo (la versión euclidiana de la $${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}El modelo WZW) puede expresarse en términos de funciones de correlación de la teoría de Liouville. ^[9] [10] Esto también se aplica a las funciones de correlación del agujero negro 2d$${\ displaystyle SL_ {2} / U_ {1}}modelo coset. ^[9]Además, existen teorías que continuamente se interpolan entre la teoría de Liouville y la$${\ displaystyle H_ {3} ^ {+}}modelo. ^[11]

Toda la teoría de conformación [ editar ]

La teoría de Liouville es el ejemplo más simple de una teoría de campo de Toda , asociada a la$${\ displaystyle A_ {1}} Matriz cartan . Las teorías de Toda conformal más generales se pueden ver como generalizaciones de la teoría de Liouville, cuyos lagrangianos involucran varios bosones en lugar de un solo bosón.$${\ displaystyle \ phi}, y cuyas álgebras de simetría son álgebra W en lugar del álgebra de Virasoro.

Teoría supersimétrica de Liouville [ editar ]

La teoría de Liouville admite dos extensiones supersimétricas diferentes llamadas$${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 1} teoría de Liouville supersimétrica y $${\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}Teoría supersimétrica de liouville. ^[12]

Aplicaciones [ editar ]

Liouville gravedad [ editar ]

En dos dimensiones, las ecuaciones de Einstein se reducen a la ecuación de Liouville , por lo que la teoría de Liouville proporciona una teoría cuántica de la gravedad que se llama gravedad de Liouville . No debe confundirse ^[13] [14] con el modelo CGHS o la gravedad de Jackiw-Teitelboim .

La teoría de cuerdas [ editar ]

La teoría de Liouville aparece en el contexto de la teoría de cuerdas cuando se intenta formular una versión no crítica de la teoría en la formulación integral del camino . ^[15] También en el contexto de la teoría de cuerdas, si está acoplado a un campo bosónico libre, la teoría del campo de Liouville se puede considerar como la teoría que describe las excitaciones de las cuerdas en un espacio bidimensional (tiempo).

Otras aplicaciones [ editar ]

La teoría de Liouville está relacionada con otras asignaturas de física y matemáticas, como la relatividad generaltridimensional en espacios con curvas negativas , el problema de uniformización de las superficies de Riemann y otros problemas en el mapeo conforme . También se relaciona con las funciones de partición instantónicas en ciertas teorías de calibre superconformales de cuatro dimensiones por la correspondencia AGT .

Notas históricas [ editar ]

Confusión de nombres para $${\ displaystyle c \ leq 1}[ editar ]

Teoria de liouville con $${\ displaystyle c \ leq 1}apareció por primera vez como un modelo de la teoría de cuerdas dependiente del tiempo bajo el nombre de la teoría de Liouville . ^[16] También se ha llamado un modelo mínimo generalizado . ^[17] Se llamó por primera vez teoría de Liouville cuando se descubrió que realmente existe, y que se parece a un espacio en vez de temporal. ^[4] A partir de 2019, ninguno de estos tres nombres es aceptado universalmente.