La compactación de Freund-Rubin es una forma de reducción dimensional en la que una teoría de campo en espacio - tiempo d -dimensional , que contiene gravedad y algunos campos cuya intensidad de campoes un tensor antisimétrico de rango s , 'prefiere' reducirse a un espacio-tiempo con una dimensión de s o ds .
Derivación [ editar ]
Considerar la Relatividad General en las dimensiones d espacio-tiempo. En presencia de un campo tensor antisimétrico (sin fuentes externas), las ecuaciones de campo de Einstein y las ecuaciones de movimiento para el tensor antisimétrico son
Al ser un tensor antisimétrico de rango s , la fuerza de campotiene un ansatz natural para su solución, proporcional al tensor de Levi-Civita en una variedad dimensional s .
Aquí, los índices. ejecutar sobre s de las dimensiones del espacio-tiempo d -espacio dimensional,es el determinante de la métrica de este subespacio s- dimensional, yEs algo constante con dimensiones de masa cuadrada (en unidades naturales ).
Dado que la intensidad de campo es distinta de cero solo en una sub-matriz en dimensión s , la métrica Se separa naturalmente en dos partes, de forma diagonal bloque.
con , y que se extiende sobre las mismas s dimensiones que la intensidad de campoy , y Cubriendo las restantes dimensiones ds . Después de haber separado nuestra d espacio dimensional en el producto de dos subespacios, las ecuaciones de campo de Einstein nos permiten resolver la curvatura de estos dos sub-variedades, y nos encontramos
Encontramos que las curvaturas de Ricci de las sub-variedades tridimensionales s y (ds) son necesariamente opuestas en signo. Uno debe tener una curvatura positiva y el otro debe tener una curvatura negativa , por lo que uno de estos colectores debe ser compacto . En consecuencia, a escalas significativamente más grandes que la de la variedad compacta, el universo parece tener dimensiones s o (ds) , en oposición a la d subyacente .
Como un ejemplo importante de esto, 11D-Supergravity contiene un tensor antisimétrico de 3 formas con una intensidad de campo de 4 formas y, por lo tanto, prefiere compactar 7 o 4 de sus dimensiones espaciales, por lo que el espaciotiempo a gran escala debe ser 4 o 7 dimensional, el primero de los cuales es atractivo desde una perspectiva fenomenológica [1]
Perspectiva desde la teoría de cuerdas [ editar ]
Algunos ejemplos importantes de la compactación de Freund-Rubin provienen de observar el comportamiento de las branas en la teoría de cuerdas . Similar a la forma en que el acoplamiento al campo electromagnético estabiliza las partículas cargadas eléctricamente, la presencia de campos tensoriales antisimétricos de varios rangos en una teoría de cuerdas estabiliza las branas de varias dimensiones. A su vez, la geometría del espacio-tiempo cerca de las pilas de branas se deforma de tal manera que se realiza la compactación de Freund-Rubin. En la teoría de cuerdas Tipo II-B , que requiere diez dimensiones de espacio-tiempo, hay una intensidad de campo de cinco formasque permite D-branas tridimensionales , y la geometría del horizonte cercano de una pila de D3-branas es un espacio Anti-de Sitter de cinco dimensiones por una esfera de cinco dimensiones ,, que es compacto en cinco dimensiones. Esta geometría es una parte importante de la correspondencia AdS / CFT. [2]
De manera similar, la teoría M y su límite de baja energía de 11D-Supergravity contienen una intensidad de campo de 4 formas, que estabiliza las branas M2 y M5. La geometría de horizonte cercano de las pilas de estas branas son y , respectivamente.
Fuzzballs está teorizado por algunos científicos de la teoría de supercuerdas como la verdadera descripción cuántica de los agujeros negros . La teoría intenta resolver dos problemas intratables que los agujeros negros clásicos plantean para la física moderna:
- La paradoja de la información en la que la información cuántica vinculada a la materia y energía en caída desaparece por completo en una singularidad; es decir, el agujero negro sufriría un cambio físico cero en su composición, independientemente de la naturaleza de lo que cayera en él.
- La singularidad en el corazón del agujero negro, donde la teoría convencional del agujero negro dice que hay una curvatura infinita del espacio-tiempo debido a un campo gravitatorio infinitamente intenso de una región de volumen cero. La física moderna se rompe cuando tales parámetros son infinitos y cero. [1]
La teoría de Fuzzball reemplaza la singularidad en el corazón de un agujero negro al afirmar que toda la región dentro del horizonte de eventos del agujero negro es en realidad una bola de cuerdas , que se avanzan como los últimos bloques de construcción de materia y energía. Se cree que las cuerdas son haces de energía que vibran de formas complejas tanto en las tres dimensiones físicas del espacio como en direcciones compactas: dimensiones adicionales entretejidas en la espuma cuántica (también conocida como espuma del espacio-tiempo) .
Características físicas [ editar ]
Samir D. Mathur, de la Universidad Estatal de Ohio , con el investigador postdoctoral Oleg Lunin , propuso a través de dos artículos en 2002 que los agujeros negros son en realidad esferas de cadenas con un volumen definido; no son una singularidad , que la vista clásica sostiene como un punto de cero dimensiones y volumen cero en el que se concentra toda la masa de un agujero negro. [2]
La teoría de cuerdas sostiene que los constituyentes fundamentales de las partículas subatómicas , incluidos los portadores de fuerza (por ejemplo , leptones , fotones y gluones ), están compuestos por una cadena de energía unidimensional que adquiere su identidad al vibrar en diferentes modos y / o frecuencias. . Muy a diferencia de la visión de un agujero negro como una singularidad, se puede pensar en una pequeña bola de pelos como una estrella de neutrones extra densa donde sus neutrones se han descompuesto o "derretido", liberando los quarks (cuerdas en la teoría de cuerdas) que los componen. En consecuencia, los fuzzballs pueden considerarse como la forma más extrema de materia degenerada .
Mientras que el horizonte de eventos de un agujero negro clásico se piensa que está muy bien definido y distinto, Mathur y Lunin calcularon además que el horizonte de eventos de un fuzzball, a una escala extremadamente pequeña (probablemente del orden de unas pocas longitudes de Planck ), [3] ser muy parecido a una niebla: borrosa, de ahí el nombre "fuzzball". También encontraron que la superficie física de la fuzzball tendría un radio igual al del horizonte de eventos de un agujero negro clásico; para ambos, el radio de Schwarzschild para un agujero negro de masa estelar mediana de 6,8 masas solares ( M ☉ ) es de 20 kilómetros.
Con los agujeros negros de modelo clásico, se piensa que los objetos que pasan a través del horizonte de eventos en su camino hacia la singularidad ingresan en un reino de espacio-tiempo curvo donde la velocidad de escape supera la velocidad de la luz.. Es un reino que está desprovisto de toda estructura. Además, en la singularidad, el corazón de un agujero negro clásico, se piensa que el espaciotiempo tiene una curvatura infinita (es decir, se piensa que la gravedad tiene una intensidad infinita), ya que se cree que su masa se ha colapsado a un volumen cero (infinitamente pequeño) donde Tiene densidad infinita. Tales condiciones infinitas son problemáticas con la física conocida porque los cálculos clave no se pueden calcular con un divisor de cero. Sin embargo, con el modelo fuzzball, se cree que las cuerdas que comprenden un objeto simplemente caen y se absorben en la superficie del fuzzball, que corresponde al horizonte de eventos , el umbral en el que la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz.
Un fuzzball es un agujero negro; el espacio-tiempo, los fotones y todo lo que no esté exquisitamente cerca de la superficie de un fuzzball se cree que se verán afectados exactamente de la misma manera que con el modelo clásico de agujeros negros con una singularidad en su centro. Las dos teorías difieren solo en el nivel cuántico; es decir, difieren solo en su composición interna y en cómo afectan a las partículas virtuales que se forman cerca de sus horizontes de eventos (consulte la paradoja de la información , a continuación). La teoría de Fuzzball es considerada por sus defensores como la verdadera descripción cuántica de los agujeros negros.
Dado que el volumen de Fuzzballs es una función del radio Schwarzschild (2.954 metros por M ☉ ), Fuzzballs tienen una densidad variable que disminuye a medida que la inversa del cuadrado de su masa (el doble de la masa es el doble del diámetro, que es ocho veces el volumen, dando como resultado un cuarto de la densidad). Un típico 6.8 M ☉ fuzzball tendría una densidad media de4,0 × 10 17 kg / m 3 . [5] Un poco de una bola de pelusa del tamaño de una gota de agua tendría una masa de veinte millones de toneladas métricas, que es la masa de una bola de granito de 240 metros de diámetro. [6]
Aunque tales densidades son casi inimaginablemente extremas, matemáticamente hablando, están infinitamente lejos de la densidad infinita. Aunque las densidades de las bolas de pelusa típicas de masa estelar son bastante grandes, casi iguales a las estrellas de neutrones . [7] : sus densidades son muchos órdenes de magnitud menores que la densidad de Planck (5.155 × 10 96 kg / m 3 ), que es equivalente a la masa del universo empaquetado en el volumen de un solo núcleo atómico.
Las bolas de peluche se vuelven menos densas a medida que aumenta su masa debido a la tensión fraccionaria. Cuando la materia o la energía (cuerdas) caen sobre un fuzzball, más cadenas no se agregan simplemente al fuzzball; las cadenas se fusionan , y al hacerlo, toda la información cuántica de las cadenas en caída se convierte en parte de cadenas más grandes y complejas. Debido a la tensión fraccionaria, la tensión de la cuerda disminuye exponencialmente a medida que se vuelven más complejas con más modos de vibración, relajándose a una longitud considerable. La "belleza matemática" de las fórmulas de la teoría de cuerdas que Mathur y Lunin emplearon reside en cómo los valores de tensión fraccional producen radios fuzzball que son exactamente iguales a los radios de Schwarzschild, que Karl Schwarzschild Calculado utilizando una técnica matemática completamente diferente 87 años antes.
Debido a la regla de la cuadratura inversa de densidad de masa, todas las bolas de pelusa no necesitan tener densidades inimaginables. También hay agujeros negros supermasivos , que se encuentran en el centro de prácticamente todas las galaxias. Sagitario A * , el agujero negro en el centro de la Vía Láctea, es de 4,3 millones de M ☉ . Si la teoría de fuzzball es correcta, tiene una densidad media que es "solo" 51 veces mayor que la del oro.
Con 3.9 billones de M ☉ (un agujero negro super-masivo bastante grande), un fuzzball tendría un radio de 77 unidades astronómicas ( aproximadamente del mismo tamaño que el choque de terminación de la heliosfera de nuestro sistema solar) y una densidad media igual a la de La atmósfera terrestre a nivel del mar (1,2 kg / m 3 ).
Independientemente de la masa de un fuzzball y la densidad resultante, el factor determinante que determina dónde se encuentra su superficie es el umbral en el que la velocidad de escape del fuzzball es exactamente igual a la velocidad de la luz. [8] La velocidad de escape, como su nombre lo indica, es la velocidad que un cuerpo debe alcanzar para escapar de un objeto masivo. Para la tierra, esto es 11.2 km / s. En la otra dirección, la velocidad de escape de un objeto masivo es igual a la velocidad de impacto alcanzada por un cuerpo que cae que ha caído desde el borde de la esfera de influencia gravitacional de un objeto masivo. Por lo tanto, los horizontes de eventos, tanto para los agujeros negros clásicos como para las bolas de pelusa, se encuentran precisamente en el punto en que el espacio-tiempo se ha deformado hasta tal punto que los cuerpos que caen solo logran la velocidad de la luz. Según Albert Einstein , a través de suTeoría especial de la relatividad , la velocidad de la luz es la velocidad máxima permitida en el espacio-tiempo. A esta velocidad, la materia y la energía infalentes impactan la superficie del fuzzball y sus cuerdas individuales ahora liberadas contribuyen a la composición del fuzzball.
Paradoja de la información [ editar ]
Los agujeros negros clásicos crean un problema para la física conocido como la paradoja de la información de los agujeros negros , un problema que se presentó por primera vez en 1972 por Jacob Bekenstein y luego se popularizó por Stephen Hawking.. La paradoja de la información nace de la comprensión de que toda la naturaleza cuántica (información) de la materia y la energía que cae en un agujero negro clásico se cree que desaparece por completo de la existencia en la singularidad de volumen cero en su corazón. Por ejemplo, un agujero negro que se alimenta de la atmósfera estelar (protones, neutrones y electrones) de una estrella compañera cercana debe, si obedece las leyes conocidas de la mecánica cuántica, técnicamente crecer para ser cada vez más diferente en composición de uno que es alimentándose de la luz (fotones) de las estrellas vecinas. Sin embargo, las implicaciones de la teoría clásica del agujero negro son ineludibles: aparte del hecho de que los dos agujeros negros clásicos se harían cada vez más masivos debido a la materia y energía infaling, sufrirían un cambio cero en su composición relativa debido a sus singularidades.no tienen composicion Bekenstein observó que este resultado teorizado violaba la ley de la reversibilidad de la mecánica cuántica , que esencialmente sostiene que la información cuántica no debe perderse en ningún proceso. Este campo de estudio es hoy conocido como termodinámica del agujero negro .
Incluso si la información cuántica no se extinguiera en la singularidad de un agujero negro clásico y de alguna manera todavía existiera, los datos cuánticos serían incapaces de escalar contra la intensidad gravitatoria infinita para alcanzar la superficie de su horizonte de sucesos y escapar. La radiación de Hawking (hasta ahora partículas y fotones no detectados que se cree que se emiten por la proximidad de los agujeros negros) no sortearía la paradoja de la información; Solo pudo revelar la masa , el momento angular y la carga eléctrica de los agujeros negros clásicos. Se cree que la radiación de Hawking se crea cuando las partículas virtuales - partícula / Los pares de antipartículas de todo tipo más fotones, que son su propia antipartícula, se forman muy cerca del horizonte de sucesos y un miembro de un par forma un espiral mientras el otro escapa, llevándose la energía del agujero negro.
La teoría del fuzzball desarrollada por Mathur y Lunin satisface la ley de reversibilidad porque la naturaleza cuántica de todas las cuerdas que caen en un fuzzball se conserva a medida que nuevas cuerdas contribuyen a la composición del fuzzball; ninguna información cuántica está fuera de la existencia. Además, este aspecto de la teoría es comprobable, ya que su principio central sostiene que los datos cuánticos de un fuzzball no permanecen atrapados en su centro sino que alcanzan su superficie borrosa y que la radiación de Hawking se lleva esta información, que está codificada en las delicadas correlaciones entre los quanta salientes.
teorema de Goddard-Thorn (también denominado teorema del no-fantasma ) es un teorema que describe las propiedades de un functor que cuantifica las cuerdas bosónicas . Lleva el nombre de Peter Goddard y Charles Thorn .
El nombre "teorema del no-fantasma" se deriva del hecho de que en la declaración original del teorema, el producto interno natural inducido en el espacio del vector de salida es definitivo positivo. Por lo tanto, no hubo los llamados fantasmas ( fantasmas de Pauli-Villars ), o vectores de norma negativa. El nombre "teorema del no-fantasma" es también un juego de palabras sobre el teorema de no-go de la mecánica cuántica.
Formalismo [ editar ]
Hay dos functores naturalmente isomorfos que se utilizan normalmente para cuantificar cadenas bosónicas. En ambos casos, uno comienza con representaciones de energía positiva del álgebra de Virasoro de carga central 26, equipado con formas bilineales invariantes de Virasoro, y termina con espacios vectoriales equipados con formas bilineales. Aquí, "Virasoro-invariante" significa que L n es adjunto a L - n para todos los enteros n .
El primer functor históricamente es la "cuantificación canónica antigua", y se obtiene tomando el cociente del subespacio primario del peso 1 por el radical de la forma bilineal. Aquí, "subespacio primario" es el conjunto de vectores aniquilados por L n para todos los n estrictamente positivos , y "peso 1" significa que L 0 actúa por identidad. Un segundo funtor, naturalmente isomorfo, lo proporciona la cohomología BRST de grado 1. Los tratamientos más antiguos de la cohomología BRST a menudo tienen un cambio en el grado debido a un cambio en la elección de la carga de BRST, por lo que se puede ver la cohomología grado -1−2 en documentos y textos anteriores a 1995. Se puede demostrar que los functores son naturalmente isomorfos. encontrado en la Sección 4.4 del texto de Teoría de Cuerdas de Polchinski .
El teorema de Goddard-Thorn equivale a la afirmación de que este funtor de cuantización cancela más o menos la adición de dos bosones libres, como lo proyectó Lovelace en 1971. La afirmación precisa de Lovelace era que en la dimensión crítica 26, las identidades de tipo Virasoro-Ward cancelan dos series completas de osciladores. Matemáticamente, esta es la siguiente afirmación:
Sea V una representación unitarizable de Virasoro de la carga central 24 con forma bilineal Virasoro-invariante, y sea π 1,1 λ el módulo irreducible del álgebra de R 1,1 Heisenberg Lie unida a un vector distinto de cero λ en R 1,1 . Entonces, la imagen de V ⊗ π 1,1 λ bajo cuantización es canónicamente isomorfa al subespacio de V en el que L 0 actúa por 1- (λ, λ).
La propiedad sin fantasma sigue inmediatamente, ya que la estructura hermitiana de V positiva-positiva se transfiere a la imagen bajo cuantización.
Aplicaciones [ editar ]
Los funtores de cuantificación de cuerdas bosónicas descritos aquí se pueden aplicar a cualquier álgebra de vértice conformal de carga central 26, y la salida tiene naturalmente una estructura de álgebra de Lie. El teorema de Goddard-Thorn se puede aplicar para describir concretamente el álgebra de Lie en términos del álgebra de vértice de entrada.
Quizás el caso más espectacular de esta aplicación sea la prueba de Borcherds de la conjetura de Moonshine monstruoso , donde la representación unitarizable de Virasoro es el álgebra de vértice de Monster (también llamado "módulo Moonshine") construida por Frenkel, Lepowsky y Meurman. Al tomar un producto tensorial con el álgebra de vértice unido a una red hiperbólica de rango 2 y aplicar la cuantización, se obtiene el álgebra de Lie de monstruo , que es una álgebra Kac-Moody generalizada clasificada por la red. Al utilizar el teorema de Goddard-Thorn, Borcherds demostró que las piezas homogéneas del álgebra de Lie son naturalmente isomorfas a las piezas graduadas del módulo Moonshine, como representaciones del grupo de monstruos simples .
Las aplicaciones anteriores incluyen la determinación de Frenkel de los límites superiores en las multiplicidades de la raíz del álgebra Kac-Moody Lie cuyo diagrama de Dynkin es el enrejado de Leech , y la construcción de Borcherds de un álgebra generalizada de Kac-Moody Lie que contiene el álgebra de Lie de Frenkel y satura el límite de 1 / ∆ de Frenkel .
Gopakumar – Vafa , que representan el número de estados BPSen un Calabi – Yau 3 -fold . Llevan a la siguiente función de generación para las invariantes de Gromov-Witten en una M de 3 veces en Calabi-Yau :
- ,
dónde
- es la clase de curvas pseudoholomorfas con género g ,
- es el acoplamiento topológico de cuerdas,
- con El parámetro Kähler de la clase de curva. ,
- son los invariantes de Gromov-Witten de la clase curva en el género ,
- son el número de estados BPS (los invariantes de Gopakumar-Vafa) de la clase de curva en el género .
Como una función de partición en la teoría cuántica de campos topológica [ editar ]
Los invariantes de Gopakumar-Vafa se pueden ver como una función de partición en la teoría del campo cuántico topológico . Se propone que sean la función de partición en la forma Gopakumar – Vafa:
![{\ displaystyle Z_ {top} = \ exp \ left [\ sum _ {g = 0} ^ {\ infty} ~ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} ~ \ sum _ {\ beta \ in H_ {2} (M, \ mathbb {Z})} {\ text {BPS}} (g, \ beta) {\ frac {1} {k}} \ left (2 \ sin \ left ({\ frac {k \ lambda} {2}} \ right) \ right) ^ {2g-2} q ^ {k \ beta} \ right] \.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb2d64366ad33fcdf01aaab7918abafe3e1ebb1)
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