FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

modelo Born-Infeld es un ejemplo particular de lo que generalmente se conoce como electrodinámica no lineal . Se introdujo históricamente en la década de 1930 para eliminar la divergencia de la energía propia del electrón en la electrodinámica clásica mediante la introducción de un límite superior del campo eléctrico en el origen.

Descripción general [ editar ]

La electrodinámica de Born-Infeld lleva el nombre de los físicos Max Born y Leopold Infeld , quienes la propusieron por primera vez. El modelo posee toda una serie de propiedades físicamente interesantes.

En analogía con un límite relativista en la velocidad, la teoría de Born-Infeld propone una fuerza limitante a través de la intensidad de campo eléctrico limitada. Una intensidad de campo eléctrico máxima produce una autoenergía de campo eléctrico finito, que cuando se atribuye por completo a una masa de electrones produce un campo máximo ^[1]

$${\ displaystyle E _ {\ rm {BI}} = 1.187 \ times 10 ^ {20} \, \ mathrm {V} / \ mathrm {m}.}

La electrodinámica de Born-Infeld muestra buenas propiedades físicas con respecto a la propagación de las ondas, como la ausencia de ondas de choque y birrefringencia . Una teoría de campo que muestra esta propiedad generalmente se llama completamente excepcional, y la teoría de Nacido-Infierno es la única ^[2]electrodinámica no lineal regular completamente excepcional .

Esta teoría se puede considerar como una generalización covariante de la teoría de Mie y muy cercana a la idea de Einstein de introducir un tensor métrico no simétrico con la parte simétrica correspondiente al tensor métrico habitual y el antisimétrico al tensor del campo electromagnético.

Durante la década de 1990 hubo un resurgimiento del interés en la teoría de Born-Infeld y sus extensiones nonabelianas, ya que se encontraron en algunos límites de la teoría de cuerdas .

Ecuaciones [ editar ]

Usaremos la notación relativista aquí, ya que esta teoría es completamente relativista.

La densidad lagrangiana es

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - b ^ {2} {\ sqrt {- \ det \ left (\ eta + {\ frac {F} {b}} \ right)}} + b ^ {2 }

donde η es la métrica de Minkowski , F es el tensor de Faraday (ambos se tratan como matrices cuadradas, de modo que podemos tomar el determinante de su suma), y b es un parámetro de escala. El valor máximo posible del campo eléctrico en esta teoría es b , y la autoenergía de las cargas puntuales es finita. Para campos eléctricos y magnéticos mucho más pequeños que b , la teoría se reduce a la electrodinámica de Maxwell .

En el espacio-tiempo 4-dimensional, el lagrangiano se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - b ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {E ^ {2} -B ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {(\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {B}) ^ {2}} {b ^ {4}}}}} + b ^ {2},}

donde E es el campo eléctrico, y B es el campo magnético.

En la teoría de cuerdas , los campos de calibre en una D-brana (que surgen de cuerdas abiertas adjuntas) se describen por el mismo tipo de Lagrangiano:

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - T {\ sqrt {- \ det (\ eta +2 \ pi \ alpha 'F)}},}

donde T es la tensión de la D-brana.

La teoría de cuerdas bosónica es la versión original de la teoríade cuerdas , desarrollada a fines de los años sesenta. Se llama así porque solo contiene bosones en el espectro.

En la década de 1980, la supersimetría se descubrió en el contexto de la teoría de cuerdas, y una nueva versión de la teoría de cuerdas llamada teoría de supercuerdas (teoría de cuerdas supersimétricas) se convirtió en el foco real. Sin embargo, la teoría de cuerdas bosónicas sigue siendo un modelo muy útil para comprender muchas características generales de la teoría de cuerdas perturbativa , y muchas dificultades teóricas de supercuerdas pueden ya encontrarse en el contexto de las cuerdas bosónicas.

Problemas [ editar ]

Aunque la teoría de cuerdas bosónicas tiene muchas características atractivas, se queda corta como un modelo físicoviable en dos áreas significativas.

Primero, predice solo la existencia de bosones, mientras que muchas partículas físicas son fermiones .

En segundo lugar, predice la existencia de un modo de la cadena con masa imaginaria , lo que implica que la teoría tiene una inestabilidad en un proceso conocido como " condensación de taquión ".

Además, la teoría de cuerdas bosónicas en una dimensión de espacio-tiempo general muestra inconsistencias debido a la anomalía conformal . Pero, como notó por primera vez Claud Lovelace , ^[1] en un espacio-tiempo de 26 dimensiones (25 dimensiones del espacio y una del tiempo), la dimensión crítica de la teoría, la anomalía se cancela. Esta alta dimensionalidad no es necesariamente un problema para la teoría de cuerdas, ya que puede formularse de tal manera que a lo largo del espacio-tiempo de 22 dimensiones excesivas se pliegue para formar un pequeño torou otro colector compacto. Esto dejaría solo las cuatro dimensiones familiares del espacio-tiempo visibles para experimentos de baja energía. La existencia de una dimensión crítica donde la anomalía se cancela es una característica general de todas las teorías de cadenas.

Tipos de cuerdas bosónicas [ editar ]

Hay cuatro posibles teorías de cuerdas bosónicas, dependiendo de si se permiten cadenas abiertas y si las cadenas tienen una orientación específica . Recuerde que una teoría de cadenas abiertas también debe incluir cadenas cerradas; se puede pensar que las cadenas abiertas tienen sus puntos finales fijados en una D25-branaque llena todo el espacio-tiempo. Una orientación específica de la cadena significa que solo se permite la interacción correspondiente a una hoja de mundo orientable (por ejemplo, dos cadenas solo pueden fusionarse con la misma orientación). Un bosquejo de los espectros de las cuatro teorías posibles es el siguiente:

Teoría de cuerdas bosónica	No positivo $${\ displaystyle M ^ {2}} estados
Abierto y cerrado, orientado.	taquión, tensor antisimétrico sin masa, gravitón , dilatón
Abierto y cerrado, sin orientación.	taquión, gravitón, dilaton
Cerrada, orientada	taquión, vector (U) bosón , tensor antisimétrico, gravitón, dilaton
Cerrado, sin orientación	taquión, gravitón, dilaton

Tenga en cuenta que las cuatro teorías tienen una energía negativa taquión ($${\ displaystyle M ^ {2} = - {\ frac {1} {\ alpha '}}}) y un gravitón sin masa.

El resto de este artículo se aplica a la teoría cerrada, orientada, correspondiente a hojas de mundo orientables y sin bordes.

Matemáticas [ editar ]

Ruta de la teoría de perturbaciones integrante [ editar ]

Se puede decir que la teoría de cuerdas bosónicas ^[2] se define por la cuantificación integral de la trayectoria de la acción de Polyakov :

$${\ displaystyle I_ {0} [g, X] = {\ frac {T} {8 \ pi}} \ int _ {M} d ^ {2} \ xi {\ sqrt {g}} g ^ {mn} \ parcial _ {m} x ^ {\ mu} \ parcial _ {n} x ^ {\ nu} G _ {\ mu \ nu} (x)}

$${\ displaystyle x ^ {\ mu} (\ xi)}es el campo en la hoja del mundo que describe la incrustación de la cadena en 25 + 1 espacio-tiempo; en la formulación de Polyakov,$${\ displaystyle g} no debe entenderse como la métrica inducida desde la incrustación, sino como un campo dinámico independiente. $${\ displaystyle G}es la métrica en el espacio-tiempo objetivo, que generalmente se considera la métrica de Minkowski en la teoría perturbativa. Bajo una rotación de Wick , esto se lleva a una métrica euclidiana$${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = \ delta _ {\ mu \ nu}}. M es la hoja del mundo como una variedad topológica parametrizada por el$${\ displaystyle \ xi} coordenadas $${\ displaystyle T} es la tensión de la cuerda y se relaciona con la pendiente Regge como $${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}}}.

$${\ displaystyle I_ {0}}Tiene difeomorfismo e invariancia de Weyl . La simetría de Weyl se rompe en la cuantización ( anomalía conformal ) y, por lo tanto, esta acción debe complementarse con un contragolpe, junto con un término hipotético puramente topológico, proporcional a la característica de Euler :

$${\ displaystyle I = I_ {0} + \ lambda \ chi (M) + \ mu _ {0} ^ {2} \ int _ {M} d ^ {2} \ xi {\ sqrt {g}}}

La ruptura explícita de la invariancia de Weyl por el contador puede cancelarse en la dimensión crítica 26.

Las cantidades físicas se construyen a partir de la función de partición (euclidiana) y la función de punto N :

$${\ displaystyle Z = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} \ int {\ frac {{\ mathcal {D}} g_ {mn} {\ mathcal {D}} X ^ {\ mu}} { \ mathcal {N}}} \ exp (-I [g, X])}

$${\ displaystyle \ left \ langle V_ {i_ {1}} (k_ {1} ^ {\ mu}) \ cdots V_ {i_ {p}} (k_ {p} ^ {\ mu}) \ right \ rangle = \ sum _ {h = 0} ^ {\ infty} \ int {\ frac {{\ mathcal {D}} g_ {mn} {\ mathcal {D}} X ^ {\ mu}} {\ mathcal {N} }} \ exp (-I [g, X]) V_ {i_ {1}} (k_ {1} ^ {\ mu}) \ cdots V_ {i_ {p}} (k_ {p} ^ {\ mu} )}

La serie perturbativa se expresa como una suma sobre topologías, indexada por el género.

La suma discreta es una suma sobre posibles topologías, que para las cuerdas cerradas orientables bosónicas euclidianas son superficies de Riemann orientables compactas y, por lo tanto, se identifican por un género$${\ displaystyle h}. Un factor de normalización.$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}se introduce para compensar el recuento de simetrías. Mientras que el cálculo de la función de partición corresponde a la constante cosmológica , la función de punto N, que incluye$${\ displaystyle p} Operadores de vértices, describe la amplitud de dispersión de cadenas.

El grupo de simetría de la acción en realidad reduce drásticamente el espacio de integración a una variedad de dimensiones finitas. los$${\ displaystyle g}la integral de trayectoria en la función de partición es a priori una suma sobre posibles estructuras riemannianas; sin embargo, la asignación de cotizaciones con respecto a las transformaciones de Weyl nos permite considerar solo estructuras conformes , es decir, clases de equivalencia de métricas bajo las identificaciones de métricas relacionadas por

$${\ displaystyle g '(\ xi) = e ^ {\ sigma (\ xi)} g (\ xi)}

Como la hoja del mundo es bidimensional, hay una correspondencia de 1-1 entre estructuras conformes y estructuras complejas . Todavía hay que separar los difeomorfismos. Esto nos deja con una integración en el espacio de todas las estructuras complejas posibles módulo difeomorfismos, que es simplemente el espacio de módulos de la superficie topológica dada, y de hecho es una variedad compleja finito-dimensional . El problema fundamental de las cuerdas bosónicas perturbativas se convierte, por lo tanto, en la parametrización del espacio de Moduli, que no es trivial para el género.$${\ displaystyle h \ geq 4}.

h = 0 [ editar ]

A nivel de árbol, correspondiente al género 0, la constante cosmológica se desvanece: $${\ displaystyle Z_ {0} = 0}.

La función de cuatro puntos para la dispersión de cuatro taquiones es la amplitud de Shapiro-Virasoro:

$${\ displaystyle A_ {4} \ propto (2 \ pi) ^ {26} \ delta ^ {26} (k) {\ frac {\ Gamma (-1-s / 2) \ Gamma (-1-t / 2 ) \ Gamma (-1-u / 2)} {\ Gamma (2 + s / 2) \ Gamma (2 + t / 2) \ Gamma (2 + u / 2)}}}

Dónde $${\ displaystyle k} es el impulso total y $${\ displaystyle s}, $${\ displaystyle t}, $${\ displaystyle u}Son las variables de Mandelstam .

h = 1 [ editar ]

La región sombreada es un posible dominio fundamental para el grupo modular.

El género 1 es el toro, y corresponde al nivel de un ciclo . La función de partición equivale a:

$${\ displaystyle Z_ {1} = \ int _ {{\ mathcal {M}} _ {1}} {\ frac {d ^ {2} \ tau} {8 \ pi ^ {2} \ tau _ {2} ^ {2}}} {\ frac {1} {(4 \ pi ^ {2} \ tau _ {2}) ^ {12}}} \ left | \ eta (\ tau) \ right | ^ {- 48 }}

$${\ displaystyle \ tau} Es un número complejo con parte imaginaria positiva. $${\ displaystyle \ tau _ {2}}; $${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1}}Holomorfo al espacio de módulos del toro, es cualquier dominio fundamental para el grupo modular. $${\ displaystyle PSL (2, \ mathbb {Z})}actuando sobre el semiplano superior , por ejemplo{\ displaystyle \ left \ {\ tau _ {2}> 0, | \ tau | ^ {2}> 1, - {\ frac {1} {2}} <\ tau _ {1} <{\ frac { 1} {2}} \ right \}}. $${\ displaystyle \ eta (\ tau)}Es la función de Dedekind eta . El integrand es, por supuesto, invariante en el grupo modular: la medida$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ tau} {\ tau _ {2} ^ {2}}}}es simplemente la métrica de Poincaré que tiene PSL (2, R) como grupo de isometría; El resto del integrand también es invariante en virtud de$${\ displaystyle \ tau _ {2} \ rightarrow | c \ tau + d | ^ {2} \ tau _ {2}} y el hecho de que $${\ displaystyle \ eta (\ tau)}Es una forma modular de peso 1/2.

Esta integral diverge. Esto se debe a la presencia del taquión y está relacionado con la inestabilidad del vacío perturbador.

brana es un objeto físico que generaliza la noción de partícula puntual a dimensiones más altas . Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica . Tienen masa y pueden tener otros atributos como la carga .

Matemáticamente, las branas pueden representarse dentro de categorías , y se estudian en matemáticas puras para comprender la simetría del espejo homológico y la geometría no conmutativa .

p -branes [ editar ]

Una partícula puntual puede verse como una brana de dimensión cero, mientras que una cuerda puede verse como una brana de dimensión uno.

Además de las partículas puntuales y cuerdas, es posible considerar las branas de dimensión superior. Una brana p-dimensional generalmente se llama " p- grulla".

El término " p -brane" fue acuñado por MJ Duff et al. en 1988; ^[1]"brana" proviene de la palabra "membrana" que se refiere a una brana bidimensional. ^[2]

Una p- grúa barre un volumen tridimensional ( p +1) en el espacio-tiempo llamado su volumen mundial . Los físicos a menudo estudian campos análogos al campo electromagnético , que viven en el volumen mundial de una brana. ^[3]

D-branas [ editar ]

Cuerdas abiertas unidas a un par de D-branas.

Artículo principal: D-brana

En la teoría de cuerdas , una cadena puede estar abierta (formando un segmento con dos puntos finales) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran cuerdas abiertas. Cuando una cadena abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus puntos finales se encuentren en una D-brana. La letra "D" en D-brane se refiere a la condición de límite de Dirichlet , que satisface la D-brane. ^[4]

Un punto crucial sobre las D-branas es que la dinámica en el volumen mundial de D-branas se describe mediante una teoría gauge , un tipo de teoría física altamente simétrica que también se usa para describir el comportamiento de las partículas elementales en el modelo estándar de la física de partículas . Esta conexión ha conducido a importantes conocimientos sobre la teoría de la galga y la teoría cuántica de campos . Por ejemplo, condujo al descubrimiento de la correspondencia AdS / CFT , una herramienta teórica que los físicos utilizan para traducir problemas difíciles en la teoría de la galga en problemas más matemáticamente manejables en la teoría de cuerdas. ^[5]

Descripción categórica [ editar ]

Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de una categoría . ^[6] Esta es una estructura matemática que consiste en objetos , y para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. ^[7] También se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas.$${\ displaystyle \ alpha} y $${\ displaystyle \ beta}Son estados de cuerdas abiertas estiradas entre$${\ displaystyle \ alpha} y $${\ displaystyle \ beta}. ^[8]

Una sección transversal de una variedad de Calabi-Yau

En una versión de la teoría de cuerdas conocida como el modelo B topológico , las D-branas son submanifolds complejos de ciertas formas de seis dimensiones denominadas variedades Calabi-Yau , junto con datos adicionales que surgen físicamente de tener cargas en los extremos de las cadenas. ^[9] Intuitivamente, se puede pensar en un sub-distribuidor como una superficie incrustada dentro de un colector de Calabi-Yau, aunque los sub-soportes también pueden existir en dimensiones diferentes de dos. ^[10] En el lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como objetos se conoce como la categoría derivada de gavillas coherentes en el Calabi-Yau. ^[11]En otra versión de la teoría de cuerdas llamada modelo A topológico , las D-branas se pueden ver de nuevo como submanifolds de una variedad Calabi-Yau. En términos generales, son lo que los matemáticos llaman submanifolds de Lagrangian especiales . ^[12] Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se sientan y que minimizan la longitud, el área o el volumen. ^[13] La categoría que tiene estas branas como objetos se llama la categoría Fukaya . ^[14]

La categoría derivada de las poleas coherentes se construye utilizando herramientas de geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe curvas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos usando ecuaciones algebraicas . ^[15] Por otro lado, la categoría Fukaya se construye utilizando geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de física clásica . La geometría simpléctica estudia espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que se puede usar para calcular el área en ejemplos bidimensionales. ^[dieciséis]

La conjetura de simetría del espejo homológico de Maxim Kontsevich afirma que la categoría derivada de poleas coherentes en una variedad Calabi-Yau es equivalente en cierto sentido a la categoría Fukaya de una variedad Calabi-Yau completamente diferente. ^[17] Esta equivalencia proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber, la geometría compleja y simpléctica.