FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

EXTENSIÓN DE ÁLGEBRA DE MENTIRA , CONTINUACIÓN II

Material de fondo [ editar ]

Para discutir adecuadamente las extensiones, se necesita una estructura que vaya más allá de las propiedades definitorias de un álgebra de Lie. Aquí se recopilan datos rudimentarios sobre estos para una referencia rápida.

Derivaciones [ editar ]

Una derivación δ en un álgebra de Lie g es un mapa

$${\ displaystyle \ delta: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}

tal que la regla de Leibniz

$${\ displaystyle \ delta [G_ {1}, G_ {2}] = [\ delta G_ {1}, G_ {2}] + [G_ {1}, \ delta G_ {2}]}

sostiene. El conjunto de derivaciones en un álgebra de Lie g se denota der g . Es en sí misma un álgebra de mentiras debajo del corchete de mentiras.

$${\ displaystyle [\ delta _ {1}, \ delta _ {2}] = \ delta _ {1} \ circ \ delta _ {2} - \ delta _ {2} \ circ \ delta _ {1}.}

Es el álgebra de Lie del grupo Aut g de automorfismos de g . ^[22] Uno tiene que mostrar

$${\ displaystyle \ delta [G_ {1}, G_ {1}] = [\ delta G_ {1}, G_ {2}] + [G_ {1}, \ delta G_ {2}] \ Leftrightarrow e ^ {t \ delta} [G_ {1}, G_ {2}] = [e ^ {t \ delta} G_ {1}, e ^ {t \ delta} G_ {2}], \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

Si el rhs se mantiene, diferencie y establezca t = 0, lo que implica que lhs se mantiene. Si la lhs contiene ( A ) , escribe el rhs como

$${\ displaystyle [G_ {1}, G_ {2}] \; {\ overset {?} {=}} \; e ^ {- t \ delta} [e ^ {t \ delta} G_ {1}, e ^ {t \ delta} G_ {2}],}

y diferenciar las rs de esta expresión. Es, usando ( A ) , idénticamente cero. Por lo tanto, la rhs de esta expresión es independiente de t y es igual a su valor para t = 0 , que es la lhs de esta expresión.

Si G ∈ g , entonces el anuncio _G , actuando según el anuncio _G 1 ( G ₂ ) = [ G ₁ , G ₂ ] , es una derivación. El conjunto de anuncios _G : G ∈ g es el conjunto de derivaciones internas de g . Para las álgebras de Lie simples de dimensión finita, todas las derivaciones son derivaciones internas. ^[23]

Producto semidirecto (grupos) [ editar ]

Artículo principal: Producto semidirecto.

Consideremos dos grupos de Lie G y H y Aut H , el grupo de automorfismos de H . Este último es el grupo de isomorfismos de H . Si hay un homomorfismo del grupo de Lie Φ: G → Aut H , entonces para cada g ∈ G hay un Φ ( g ) ≡ Φ _g ∈ Aut H con la propiedad Φ _gg ' = Φ _g Φ _g ' , g , g ' ∈ G . Denotar conE el conjunto H × G y define la multiplicación por

$${\ displaystyle (h, g) (h ', g') = (h \ phi _ {g} (h '), gg'), \ quad g, g '\ en G, h, h' \ en H .}

( 4 )

Entonces E es un grupo con identidad ( e _H , e _G ) y la inversa viene dada por ( h , g ) ⁻¹ = ( Φ _g ⁻¹ ( h ⁻¹ ), g ⁻¹ ) . Utilizando la expresión para la inversa y la ecuación (4) se ve que H es normal en E . Denotar el grupo con este producto semidirecto como E = H ⊗ _S G .

A la inversa, si E = H ⊗ _S G es una expresión de producto semidirecta dada del grupo E , entonces, por definición, H es normal en E y C _g ∈ Aut H para cada g ∈ G donde C _g ( h ) ≡ ghg ⁻¹ y el mapa Φ : g ↦ C _ges un homomorfismo.

Ahora haz uso de la correspondencia de Lie. Los mapas Φ _g : H → H , g ∈ G inducen cada uno, a nivel de álgebras de Lie, un mapa Ψ _g : h → h . Este mapa es calculado por

$${\ displaystyle \ Psi _ {g} (G) = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ phi _ {g} (e ^ {tG}) \ right | _ {t = 0}, \ quad G \ en {\ mathfrak {g}}, g \ en G.}

( 5 )

Por ejemplo, si G y H son ambos subgrupos de un grupo mayor E y Φ _g = ghg ⁻¹ , entonces

$${\ displaystyle \ Psi _ {g} (G) = \ left. {\ frac {d} {dt}} ge ^ {tG} g ^ {- 1} \ right | _ {t = 0} = gGg ^ { -1} = \ mathrm {Anuncio} _ {g} (G),}

( 5 ' )

y uno reconoce Ψ como la acción adjunto anuncio de E en h restringidas a G . Ahora Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL ( h ) si h es finito-dimensional] es un homomorfismo, ^{[nb 8]} y una vez más atractiva para la correspondencia de Lie, hay un homomorfismo único de álgebra de Lie ψ : g → Lie ( Aut h ) = Der h ⊂ gl ( h ) . ^{[nb 9]} Este mapa es (formalmente) dado por

$${\ displaystyle \ psi _ {G} = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ Psi _ {e ^ {tG}} \ right | _ {t = 0}, \ quad G \ in {\ mathfrak {g}}}

( 6 )

por ejemplo, si Ψ = Anuncio , entonces (formalmente)

$${\ displaystyle \ psi _ {G} = \ left. {\ frac {d} {dt}} \ mathrm {Ad} _ {e ^ {tG}} \ right | _ {t = 0} = \ left. { \ frac {d} {dt}} e ^ {\ mathrm {ad} _ {tG}} \ right | _ {t = 0} = \ mathrm {ad} _ {G},}

( 6 ' )

donde se usa una relación entre el anuncio y el anuncio de acción adjunto rigurosamente probado aquí .

Lie álgebra
El álgebra de Lie es, como un espacio vectorial, e = h ⊕ g . Esto está claro ya que GH genera E y G ∩ H = ( e _H , e _G ) . El corchete de mentiras está dado por ^[24]

$${\ displaystyle [H_ {1} + G_ {1}, H_ {2} + G_ {2}] _ {\ mathfrak {e}} = [H_ {1}, H_ {2}] _ {\ mathfrak {h }} + \ psi _ {G_ {1}} (H_ {2}) - \ psi _ {G_ {2}} (H_ {1}) + [G_ {1}, G_ {2}] _ {\ mathfrak {sol}}.}

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Cálculo del soporte de mentira

Para calcular el soporte de mentira, comience con una superficie en E parametrizada por s y t . Los elementos de hen e = h ⊕ g están decorados con una barra, y de la misma manera para g .

{\ displaystyle {\ begin {alineado} e ^ {e ^ {t {\ overline {G}}} s {\ overline {H}} e ^ {- t {\ overline {G}}}} & = e ^ {t {\ overline {G}}} e ^ {s {\ overline {H}}} e ^ {- t {\ overline {G}}} = (1, e ^ {tG}) (e ^ {sH }, 1) (1, e ^ {- tG}) \\ & = (\ phi _ {e ^ {tG}} (e ^ {sH}), e ^ {tG}) (1, e ^ {- tG}) = (\ phi _ {e ^ {tG}} (e ^ {sH}) \ phi _ {e ^ {tG}} (1), 1) \\ & = (\ phi _ {e ^ { tG}} (e ^ {sH}), 1) \ end {alineado}}}

Uno tiene

$${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ left.e ^ {{Ad_ {e ^ {t {\ overline {G}}}} s {\ overline {H}}} \ right | _ {s = 0} = Ad_ {e ^ {t {\ overline {G}}}} {\ overline {H}}}

y

$${\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ left. (\ phi _ {e ^ {tG}} (e ^ {sH}), 1) \ right | _ {s = 0} = (\ Psi _ {e ^ {tG}} (H), 0)}

por 5 y así

$${\ displaystyle Ad_ {e ^ {t {\ overline {G}}}} {\ overline {H}} = (\ Psi _ {e ^ {tG}} (H), 0).}

Ahora diferencie esta relación con respecto a t y evalúe en t = 0 $:

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left.e ^ {t {\ overline {G}}} {\ overline {H}} e ^ {- t {\ overline {G}}} \ right | _ {t = 0} = [{\ overline {G}}, {\ overline {H}}]}

y

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left. (\ Psi _ {e ^ {tG}} (H), 0) \ right | _ {t = 0} = (\ psi _ {G} (H), 0)}

por 6 y así

$${\ displaystyle [H_ {1} + G_ {1}, H_ {2} + G_ {2}] _ {\ mathfrak {e}} = [H_ {1}, H_ {2}] _ {\ mathfrak {h }} + [G_ {1}, H_ {2}] + [H_ {1}, G_ {2}] + [G_ {1}, G_ {2}] _ {\ mathfrak {g}} = [H_ { 1}, H_ {2}] _ {\ mathfrak {h}} + \ psi _ {G_ {1}} (H_ {2}) - \ psi _ {G_ {2}} (H_ {1}) + [ G_ {1}, G_ {2}] _ {\ mathfrak {g}}.

Cohomología [ editar ]

Artículos principales: Topología algebraica , Cohomología y Cohomología de álgebra de Lie.

Para los propósitos actuales, basta con considerar una parte limitada de la teoría de la cohomología del álgebra de Lie. Las definiciones no son las más generales posibles, ni siquiera las más comunes, pero los objetos a los que hacen referencia son instancias auténticas de más definiciones generales.

2-cociclos
Los objetos de interés principal son los 2-cociclos en g , definidos como funciones alternas bilineales ,

$${\ displaystyle \ phi: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ rightarrow F,}

que se alternan,

$${\ displaystyle \ phi (G_ {1}, G_ {2}) = - \ phi (G_ {2}, G_ {1}),}

y tener una propiedad que se asemeja a la identidad jacobi llamada identidad jacobi durante 2 ciclos ,

$${\ displaystyle \ phi (G_ {1}, [G_ {2}, G_ {3}]) + \ phi (G_ {2}, [G_ {3}, G_ {1}]) + \ phi (G_ { 3}, [G_ {1}, G_ {2}]) = 0.}

El conjunto de todos los 2-cociclos en g se denota Z ² ( g , F ) .

2-cociclos de 1-codiquetas
Algunos 2-cociclos se pueden obtener de 1-codiquetas. Un 1-cochain en g es simplemente un mapa lineal,

$${\ displaystyle f: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow F}

El conjunto de todos estos mapas se denota como C ¹ ( g , F ) y, por supuesto (en al menos el caso de dimensión finita) C ¹ ( g , F ) g * . Usando un 1-cochain f , un 2-cocycle δf puede definirse por

$${\ displaystyle \ delta f (G_ {1}, G_ {2}) = f ([G_ {1}, G_ {2}]).}

La propiedad alterna es inmediata y la identidad de Jacobi para 2-cocycles se muestra (como es habitual) al escribirla y usar la definición y propiedades de los ingredientes (aquí la identidad de Jacobi en g y la linealidad de f ). El mapa lineal δ : C ¹ ( g , F ) → Z ² ( g , F ) se denomina operador de coboundary (aquí restringido a C ¹ ( g , F ) ).

El segundo grupo de cohomología
indica la imagen de C ¹ ( g , F ) de δ por B ² ( g , F ) . El cociente

$${\ displaystyle H ^ {2} ({\ mathfrak {g}}, \ mathbb {F}) = Z ^ {2} ({\ mathfrak {g}}, \ mathbb {F}) / B ^ {2} ({\ mathfrak {g}}, \ mathbb {F})}

Se llama el segundo grupo de cohomología de g . Los elementos de H ² ( g , F ) son clases de equivalencia de 2-cociclos y dos 2-cociclos φ ₁ y φ ₂ se denominan cociclos equivalentes si difieren en un 2 coboundary, es decir si φ ₁ = φ ₂ + δf para algunos f ∈ C ¹ ( g , F ) . Los 2-cociclos equivalentes se llaman cohomologos . La clase de equivalencia de φ∈ Z ² ( g , F ) se denota [ φ ] ∈ H ² .

Estas nociones se generalizan en varias direcciones. Para ello, consulte los principales artículos.

Constantes de estructura [ editar ]

Artículo principal: Constantes de estructura.

Sea B una base de Hamel para g . Entonces cada G ∈ g tiene una expresión única como

$${\ displaystyle G = \ sum _ {\ alpha \ en A} c _ {\ alpha} G _ {\ alpha}, \ quad c _ {\ alpha} \ en F, G _ {\ alpha} \ en B}

para algún conjunto de indexación A de tamaño adecuado. En esta expansión, solo finamente muchos c _α son distintos de cero. En la secuela es (para simplificar) supone que la base es contable, y las letras latinas se utilizan para los índices y el conjunto de indexación puede ser tomado como ℕ ^* = 1, 2, ... . Uno tiene inmediatamente

$${\ displaystyle [G_ {i}, G_ {j}] = {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k}}

para los elementos de base, donde el símbolo de suma se ha racionalizado, se aplica la convención de suma. La colocación de los índices en las constantes de estructura (arriba o abajo) es inmaterial. El siguiente teorema es útil:

Teorema : Existe una base tal que las constantes de estructura son antisimétricas en todos los índices, si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie compactas simples y u (1) álgebras de Lie. Este es el caso si y sólo si existe una verdadera métrica definida positiva g en g satisface la condición de invariancia

$${\ displaystyle g _ {\ alpha \ beta} {C ^ {\ beta}} _ {\ gamma \ delta} = - g _ {\ gamma \ beta} {C ^ {\ beta}} _ {\ alpha \ delta}. }

en cualquier base Esta última condición es necesaria por razones físicas para las teorías de calibre no abelianas en la teoría cuántica de campos . Por lo tanto, se puede producir una lista infinita de posibles teorías de medición utilizando el catálogo de Cartan de álgebras de Lie simples en su forma compacta (es decir, sl ( n , ℂ) → su ( n ) , etc. Una de esas teorías de medición es la U (1) × SU (2) × SU (3) teoría del modelo estándar con álgebra de Lie u (1) ( su (2) ( su (3) . ^[25]

Formulario de matanza [ editar ]

Artículo principal: formulario de matanza

La forma de Matanza es una forma bilineal simétrica en g definida por

$${\ displaystyle K (G_ {1}, G_ {2}) = \ mathrm {trace} (\ mathrm {ad} _ {G_ {1}} \ mathrm {ad} _ {G_ {2}}).}

Aquí, el anuncio _G se ve como una matriz que opera en el espacio vectorial g . El hecho clave que se necesita es que si g es semisimple , entonces, según el criterio de Cartan , K no es degenerado. En tal caso, se puede usar K para identificar g y g ^∗ . Si λ ∈ g ^∗ , entonces hay una ν ( λ ) = G _λ ∈ g tal que

$${\ displaystyle \ langle \ lambda, G \ rangle = K (G _ {\ lambda}, G) \ quad \ para todos G \ en {\ mathfrak {g}}.}

Esto se parece al teorema de representación de Riesz y la prueba es prácticamente la misma. El formulario de Matar tiene la propiedad.

$${\ displaystyle K ([G_ {1}, G_ {2}], G_ {3}) = K (G_ {1}, [G_ {2}, G_ {3}]),}

que se conoce como asociatividad. Al definir g _αβ = K [ G _α , G _β ] y expandir los corchetes internos en términos de constantes de estructura, se encuentra que la forma de Matar satisface la condición de invariancia de arriba.

Álgebra de bucle [ editar ]

Artículos principales: Álgebra de bucles y grupo de bucles.

Un grupo bucle se toma como un grupo de mapas suave desde el círculo de la unidad S ¹ en un grupo de Lie Gcon la estructura de grupo definido por la estructura del grupo de G . El álgebra de Lie de un grupo de bucle es entonces un espacio vectorial de las asignaciones de S ¹ en el álgebra de Lie g de G . Cualquier subalgebra de tal álgebra de Lie se conoce como álgebra de bucle . Aquí la atención se centra en las álgebras de bucle polinómico de la forma

$${\ displaystyle \ {h: S ^ {1} \ a {\ mathfrak {g}} | h (\ lambda) = \ sum \ lambda ^ {n} G_ {n}, n \ in \ mathbb {Z}, \ lambda = e ^ {i \ theta} \ en S ^ {1}, G_ {n} \ en {\ mathfrak {g}} \}.}

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Derivación del álgebra de Lie

Para ver esto, considere los elementos H ( λ ) cerca de la identidad en G para H en el grupo de bucle, expresado en una base {G_k} para g

$${\ displaystyle H (\ lambda) = e ^ {h ^ {k} (\ lambda) G_ {k}} = e_ {G} + h ^ {k} (\ lambda) G_ {k} + \ ldots,}

donde los h ^k ( λ ) son reales y pequeños y la suma implícita está sobre la dimensión K de g . Ahora escribe

$${\ displaystyle h ^ {k} (\ lambda) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ theta _ {- n} ^ {k} \ lambda ^ {n}}

para obtener

$${\ displaystyle e ^ {h ^ {k} (\ lambda) G_ {k}} = 1_ {G} + \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ theta _ {- n} ^ { k} \ lambda ^ {n} G_ {k} + \ ldots.}

Asi las funciones

$${\ displaystyle h: S ^ {1} \ a {\ mathfrak {g}}; h (\ lambda) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {K} \ theta _ {- n} ^ {k} \ lambda ^ {n} G_ {k} \ equiv \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ lambda ^ {n} G_ {n }}

Constituyen el álgebra de Lie.

Un pequeño pensamiento confirma que estos son bucles en g cuando θ va de 0 a 2 π . Las operaciones son las definidas puntualmente por las operaciones en g . Este álgebra es isomorfo con el álgebra.

$${\ displaystyle C [\ lambda, \ lambda ^ {- 1}] \ otimes {\ mathfrak {g}},}

donde C [ λ , λ ⁻¹ ] es el álgebra de los polinomios de Laurent ,

$${\ displaystyle \ sum \ lambda ^ {k} G_ {k} \ leftrightarrow \ sum \ lambda ^ {k} \ otimes G_ {k}.}

El soporte de mentira es

$${\ displaystyle [P (\ lambda) \ otimes G_ {1}, Q (\ lambda) \ otimes G_ {2}] = P (\ lambda) Q (\ lambda) \ otimes [G_ {1}, G_ {2 }].}

En esta última vista, los elementos pueden considerarse polinomios con coeficientes (¡constantes!) En g . En términos de una base y constantes de estructura,

$${\ displaystyle [\ lambda ^ {m} \ otimes G_ {i}, \ lambda ^ {n} \ otimes G_ {j}] = {C_ {ij}} ^ {k} \ lambda ^ {m + n} \ otimes G_ {k}.}

También es común tener una notación diferente,

$${\ displaystyle \ lambda ^ {m} \ otimes G_ {i} \ cong \ lambda ^ {m} G_ {i} \ leftrightarrow T_ {i} ^ {m} (\ lambda) \ equiv T_ {i} ^ {m }

donde se debe tener en cuenta la omisión de λ para evitar confusiones; Los elementos realmente son funciones S ¹ → g . El soporte de mentira es entonces

$${\ displaystyle [T_ {i} ^ {m}, T_ {j} ^ {n}] = {C_ {ij}} ^ {k} T_ {k} ^ {m + n},}

que es reconocible como una de las relaciones de conmutación en un álgebra afín Kac-Moody sin torsión, que se presentará más adelante, sin el término central. Con m = n = 0 , se obtiene un subalgebra isomorfo a g . Genera (como se ve al rastrear hacia atrás en las definiciones) el conjunto de mapas constantes de S ¹ a G , que obviamente es isomorfo con G cuando exp está sobre (que es el caso cuando G es compacto. Si G es compacto, entonces un base ( G _k ) para gPuede ser elegido de tal manera que los G _k sean sesgados-hermitianos. Como consecuencia,

$${\ displaystyle T_ {i} ^ {n \ dagger} = (\ lambda ^ {n} G_ {i}) ^ {\ dagger} = - \ lambda ^ {- n} G_ {i} = - T_ {i} ^ {- n}.}

Tal representación se llama unitaria porque los representantes

$${\ displaystyle H (\ lambda) = e ^ {\ theta _ {n} ^ {k} T_ {k} ^ {- n}} \ en G}

Son unitarios. Aquí, el signo menos en el índice inferior de T es convencional, se aplica la convención de suma, y ​​el λ está (según la definición) enterrado en los T s en el lado derecho.

Álgebra actual (física) [ editar ]

Las álgebras actuales surgen en las teorías de campos cuánticos como consecuencia de la simetría de los indicadores globales . Las corrientes conservadas se producen en las teorías de campo clásicas siempre que el lagrangiano respeta una simetría continua . Este es el contenido del teorema de Noether . La mayoría (quizás todas) las teorías de campo cuántico modernas pueden formularse en términos de los lagrangianos clásicos (antes de la cuantificación), por lo que el teorema de Noether también se aplica en el caso cuántico. Tras la cuantificación, las corrientes conservadas se promueven para posicionar operadores dependientes en el espacio de Hilbert. Estos operadores están sujetos a relaciones de conmutación, generalmente formando un álgebra de Lie de dimensión infinita. A continuación se presenta un modelo que ilustra esto.

Para realzar el sabor de la física, los factores de i aparecerán aquí y allá en lugar de en las convenciones matemáticas. ^{[nb 3]}

Considere un vector de columna Φ de campos escalares (Φ ₁ , Φ ₂ , ..., Φ _N ) . Que la densidad lagrangiana sea

$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ parcial _ {\ mu} \ phi ^ {\ dagger} \ parcial ^ {\ mu} \ phi -m ^ {2} \ phi ^ {\ dagger} \ phi. }

Este lagrangiano es invariante en la transformación ^{[nb 10]}

$${\ displaystyle \ phi \ mapsto e ^ {- i \ sum _ {a = 1} ^ {r} \ alpha ^ {a} F_ {a}} \ phi,}

donde { F ₁ , F ₁ , ..., F _r } son generadores de U ( N ) o de un subgrupo cerrado de los mismos, que satisfacen

$${\ displaystyle [F_ {a}, F_ {b}] = i {C_ {ab}} ^ {c} F_ {c}.}

El teorema de Noether afirma la existencia de r corrientes conservadas,

$${\ displaystyle J_ {a} ^ {\ mu} = - \ pi ^ {\ mu} iF_ {a} \ phi, \ quad \ pi ^ {k \ mu} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L }}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {k})}},}

donde π ^k 0 ≡ π ^k es el impulso conjugado canónicamente a Φ _k . La razón por la que se dice que estas corrientes se conservan es porque

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} J_ {a} ^ {\ mu} = 0,}

y consecuentemente

$${\ displaystyle Q_ {a} (t) = \ int J_ {a} ^ {0} d ^ {3} x = \ mathrm {const} \ equiv Q_ {a},}

La carga asociada a la densidad de carga J _a ⁰ es constante en el tiempo. ^{[nb 11]} Esta teoría (hasta ahora clásica) se cuantifica promoviendo los campos y sus conjugados a operadores en el espacio de Hilbert y al postular (cuantificación bosónica) las relaciones de conmutación ^{[26] [nb 12]}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [\ phi _ {k} (t, x), \ pi ^ {l} (t, x)] & = i \ delta (xy) \ delta _ {k} ^ {l}, \\ {} [\ phi _ {k} (t, x), \ phi _ {l} (t, x)] & = [\ pi ^ {k} (t, x), \ pi ^ {l} (t, x)] = 0. \ end {alineado}}}

En consecuencia, las corrientes se convierten en operadores ^{[nb 13].} Satisfacen, utilizando las relaciones postuladas anteriores, las definiciones e integración en el espacio, las relaciones de conmutación.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [J_ {a} ^ {0} (t, \ mathbf {x}), J_ {b} ^ {0} (t, \ mathbf {y})] & = i \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} ^ {0} (ct, \ mathbf {x}) \\ {} [Q_ { a}, Q_ {b}] & = i {Q_ {ab}} ^ {c} Q_ {c} \\ {} [Q_ {a}, J_ {b} ^ {\ mu} (t, \ mathbf { x})] & = i {C_ {ab}} ^ {c} J_ {c} ^ {\ mu} (t, \ mathbf {x}), \ end {alineado}}}

donde la velocidad de la luz y la reducción de la constante de Planck se han establecido en unidad. La última relación de conmutación no se sigue de las relaciones de conmutación postuladas (están fijas solo para π ^k 0 , no para π ^k 1 , π ^k 2 , π ^k 3 ), excepto para μ = 0 Para μ = 1, 2, 3 El comportamiento de transformación de Lorentz se utiliza para deducir la conclusión. El siguiente conmutador a considerar es

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....}$

La presencia de las funciones delta y sus derivados se explica por el requisito de microcausality que implica que el conmutador se desvanece cuando x ≠ y . Por lo tanto, el conmutador debe ser una distribución soportada en x = y . ^[27] El primer término se fija debido al requisito de que la ecuación, cuando se integra sobre X , se reduzca a la última ecuación anterior. Los siguientes términos son los términos de Schwinger . Se integran a cero, pero se puede demostrar de manera bastante general ^[28] que deben ser distintos de cero.

hide

Existencia de los términos de Schwinger.

Considera una corriente conservada.

$${\ displaystyle \ parcial _ {0} J ^ {0} + \ parcial _ {i} J ^ {i} = 0, \ quad \ langle 0 | J ^ {i} | 0 \ rangle = 0, \ quad J ^ {0 \ dagger} J ^ {0} = J ^ {0} J ^ {0 \ dagger} = I.}

( S10 )

con un término genérico de Schwinger

$${\ displaystyle [J ^ {0} (t, \ mathbf {x}), J ^ {i} (t, \ mathbf {y})] = i \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {y} ) J ^ {i} (t, \ mathbf {x}) + C ^ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}).}

Al tomar el valor de expectativa de vacío (VEV),

$${\ displaystyle \ langle 0 | C ^ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | 0 \ rangle = \ langle 0 | [J ^ {0} (t, \ mathbf {x}), J ^ {i} (t, \ mathbf {y})] | 0 \ rangle,}

uno encuentra

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle 0 | {\ frac {\ partial C ^ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})} {\ partial _ {y ^ {i}}} } | 0 \ rangle & = \ langle 0 | [J ^ {0} (t, \ mathbf {x}), {\ frac {\ partial J ^ {i} (t, \ mathbf {y})} {\ parcial _ {y ^ {i}}}}] | 0 \ rangle \\ & = - \ langle 0 | [J ^ {0} (t, \ mathbf {x}), {\ frac {\ parcial J ^ { 0} (t, \ mathbf {y})} {\ partial _ {t}}}] | 0 \ rangle = i \ langle 0 | [J ^ {0} (t, \ mathbf {x}), [J ^ {0} (t, \ mathbf {y}), H]] | 0 \ rangle \\ & = - i \ langle 0 | J ^ {0} (t, \ mathbf {x}) HJ ^ {0} (t, \ mathbf {y}) + J ^ {0} (t, \ mathbf {x}) HJ ^ {0} (t, \ mathbf {x}) | 0 \ rangle, \ end {alineado}}}

donde se han utilizado la ecuación de movimiento de S10 y Heisenberg, así como H | 0⟩ = 0 y su conjugado.

Multiplica esta ecuación por f ( x ) f ( y ) e integra con respecto a x e y en todo el espacio, utilizando la integración por partes , y se encuentra

$${\ displaystyle -i \ int \ int d \ mathbf {x} d \ mathbf {y} \ langle 0 | C ^ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | 0 \ rangle f (\ mathbf {x}) {\ frac {\ partial f} {\ partial y ^ {i}}} f (\ mathbf {x}) = 2 \ langle 0 | FHF | \ rangle, \ quad F = \ int J ^ {0} (\ mathbf {x}) f (\ mathbf {x}).}

Ahora inserte un conjunto completo de estados, | norte⟩

{\ displaystyle \ langle 0 | FHF | \ rangle = \ sum _ {mn} \ langle 0 | F | m \ rangle \ langle m | H | n \ rangle \ langle n | F | 0 \ rangle = \ sum _ { mn} \ langle 0 | F | m \ rangle E_ {n} \ delta _ {mn} \ langle n | F | 0 \ rangle) \ sum _ {n \ neq 0} | \ langle 0 | F | n \ rangle | ^ {2} E_ {n}> 0 \ Rightarrow C ^ {i} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ neq 0.}

Aquí la hermeticidad de F y el hecho de que no todos los elementos de la matriz de F entre el estado de vacío y los estados de un conjunto completo pueden ser cero.

Álgebra de Affine Kac-Moody [ editar ]

Artículo principal: Álgebra Kac-Moody.

Sea g un álgebra de Lie simple compleja de dimensión N con una base normalizada adecuada dedicada, de modo que las constantes de estructura sean antisimétricas en todos los índices con relaciones de conmutación

$${\ displaystyle [G_ {i}, G_ {j}] = {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k}, \ quad 1 \ leq i, j, N.}

Se obtiene un álgebra g Kc-Moody afín sin torsión copiando la base de cada n ∈ ℤ (con respecto a las copias como distintas), configurando

$${\ displaystyle {\ overline {\ mathfrak {g}}} = FC \ oplus FD \ oplus \ bigoplus _ {1 \ leq i \ leq \ mathbb {N}, m \ in \ mathbb {Z}} FG_ {m} ^ {i}}

Como espacio vectorial y asignando las relaciones de conmutación.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {} [G_ {i} ^ {m}, G_ {j} ^ {n}] & = {C_ {ij}} ^ {k} G_ {k} ^ {m + n} + m \ delta _ {ij} \ delta ^ {m + n, 0} C, \\ {} [C, G_ {i} ^ {m}] & = 0, \ quad 1 \ leq i, j , N, \ quad m, n \ in \ mathbb {Z} \\ {} [D, G_ {i} ^ {m}] & = mG_ {i} ^ {m} \\ {} [D, C] & = 0. \ End {alineado}}}

Si C = D = 0 , entonces la subalgebra abarcada por la G ^m _i es obviamente idéntica a la álgebra de bucle polinomial de arriba.

Álgebra de Witt [ editar ]

Ernst Witt (1911–1991), matemático alemán. Las álgebras de Witt, estudiadas por él sobre campos finitos en la década de 1930, fueron examinadas por primera vez en el caso complejo por Cartan en 1909.

Artículo principal: Álgebra de Witt.

El álgebra de Witt , que lleva el nombre de Ernst Witt , es la complejización del álgebra de Lie Vect S ¹ de campos vectoriales suaves en el círculo S ¹ . En coordenadas, dichos campos vectoriales pueden estar escritos.

$${\ displaystyle X = f (\ varphi) {\ frac {d} {d \ varphi}},}

y el corchete de mentira es el corchete de mentira de los campos vectoriales, en S ¹ simplemente dado por

$${\ displaystyle [X, Y] = \ left [f {\ frac {d} {d \ varphi}}, g {\ frac {d} {d \ varphi}} \ right] = \ left (f {\ frac {dg} {d \ varphi}} - g {\ frac {df} {d \ varphi}} \ right) {\ frac {d} {d \ varphi}}.}

El álgebra se denota W = Vect S ¹ + i Vect S ¹ . Una base para W está dada por el conjunto

$${\ displaystyle \ {d_ {n}, n \ in \ mathbb {Z} \} = \ left \ {\ left.ie ^ {in \ varphi} {\ frac {d} {d \ varphi}} = - z ^ {n + 1} {\ frac {d} {dz}} \ right | n \ in \ mathbb {Z} \ right \}.}

Esta base satisface

$${\ displaystyle [d_ {l}, d_ {m}] = (lm) d_ {l + m} \ equiv {C_ {lm}} ^ {n} d_ {n} = (lm) \ delta _ {l + m} ^ {n} d_ {n}, \ quad l, m, n \ in \ mathbb {Z}.}

Este álgebra de Lie tiene una extensión central útil, el álgebra de Virasoro. Tiene 3- subálgebras dimensionales isomorfas con su (1, 1) y sl (2, ℝ) . Para cada n ≠ 0 , el conjunto { d ₀ , d _−n , d _n } abarca un subalgebra isomorfo a su (1, 1) ≅ sl (2, ℝ) .

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Relación con sl (2,) y su (1, 1)

Para m , n ∈ {−1, 0, 1} uno tiene

$${\ displaystyle [d_ {0}, d _ {- 1}] = d _ {- 1}, \ quad [d_ {0}, d_ {1}] = - d_ {1}, \ quad [d_ {1}, d _ {- 1}] = 2d_ {0}.}

Estas son las relaciones de conmutación de sl (2, ℝ) con

{\ displaystyle d_ {0} \ leftrightarrow H = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right), \ quad d _ {- 1} \ leftrightarrow X = \ left ( {\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right), \ quad d_ {1} \ leftrightarrow Y = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {smallmatrix}} \ derecha), \ quad H, X, Y \ en {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R}).}

Los grupos SU (1, 1) y SL (2, ℝ) son isomorfos debajo del mapa ^[29]

{\ displaystyle SU (1,1) = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \ end {smallmatrix}} \ right) SL (2, \ mathbb {R}) \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \ end {smallmatrix}} \ right) ^ {- 1},}

y el mismo mapa se mantiene al nivel de las álgebras de Lie debido a las propiedades del mapa exponencial . Se da una base para su (1, 1) , ver grupo clásico , por

{\ displaystyle U_ {0} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right), \ quad U_ {1} = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {smallmatrix}} \ right), \ quad U_ {2} = \ left ({\ begin {smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {smallmatrix}} \ right)}

Ahora computar

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}}$

El mapa conserva los corchetes y, por lo tanto, hay isomorfismos de álgebra de Lie entre la subálgebra de W queabarca { d ₀ , d ₋₁ , d ₁ } con coeficientes reales , sl (2, ℝ) y su (1, 1) . Lo mismo se aplica a cualquier subalgebra abarcada por { d ₀ , d _- n , d _n }, n ≠ 0 , esto se deduce de un simple reescalado de los elementos (a cada lado de los isomorfismos).