FÍSICA - TEORÍA DE CUERDAS

factor Chan-Paton (llamado así por Jack E. Paton y Hong-Mo Chan) ^[1] es un índice multivalor asociado con los puntos finales de una cadena abierta . Una cuerda abierta se puede interpretar como un tubo de flujo que conecta un quark y su antipartícula . Los dos factores de Chan-Paton hacen que la cadena se transforme en un tensor bajo un grupo de indicadores cuyas cargas son llevadas por los puntos finales de las cadenas.

El procedimiento de permitir isospin factores que se añaden a la modelo Veneziano se conoce como reglas Chan-Paton o método de Chan-Paton .

Después de la segunda revolución de supercuerdas en 1995, los factores Chan-Paton se interpretan como etiquetas que identifican a qué D-branas ( espacio-tiempo- relleno) a las que se unen los puntos extremos. Los factores Chan-Paton se han convertido en un caso especial de un concepto más general.

formas de Chern-Simons son ciertas clases de características secundarias . Se ha encontrado que son de interés en la teoría de la galga , y (especialmente la forma 3) definen la acción de la teoría de Chern-Simons . La teoría lleva el nombre de Shiing-Shen Chern y James Harris Simons , coautores de un artículo de 1974 titulado "Formas características e invariantes geométricos", del cual surgió la teoría. Ver Chern y Simons ( 1974 )

Definición [ editar ]

Dada una variedad y una álgebra de Lie valorada en 1 forma ,$${\ displaystyle \ mathbf {A}}Sobre ella, podemos definir una familia de p-formas :

En una dimensión, la forma 1 de Chern-Simons está dada por

$${\ displaystyle {\ rm {Tr}} [\ mathbf {A}].}

En tres dimensiones, la forma de Chern-Simons 3 está dada por

$${\ displaystyle {\ rm {Tr}} \ left [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {A} - {\ frac {1} {3}} \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ right].}

En cinco dimensiones, la forma 5 de Chern-Simons está dada por

$${\ displaystyle {\ rm {Tr}} \ left [\ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {A} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {F} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} + {\ frac {1} {10}} \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A} \ right]}

donde la curvatura F se define como

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}.}

La forma general de Chern-Simons. $${\ displaystyle \ omega _ {2k-1}} Se define de tal manera que

$${\ displaystyle d \ omega _ {2k-1} = {\ rm {Tr}} \ left (F ^ {k} \ right),}

donde el producto de cuña se utiliza para definir F ^k . El lado derecho de esta ecuación es proporcional al k-ésimo carácter de Chern de la conexión.$${\ displaystyle \ mathbf {A}}.

En general, la forma p de Chern-Simons se define para cualquier p impar . Véase también la teoría de los indicadores para las definiciones. Su integral sobre una variedad p- dimensional es un invariante geométrico global, y generalmente es un módulo invariante de calibre además de un entero.

Victor Batyrev sugirió un enfoque puramente combinatorio para reflejar la simetría utilizando la dualidad polar para$${\ displaystyle d}Poliedros convexos tridimensionales. ^[1] Los ejemplos más famosos de la dualidad polar proporcionan sólidos platónicos : por ejemplo, el cubo es dual al octaedro , el dodecaedro es dual al icosaedro . Hay una bijección natural entre el$${\ displaystyle k}caras tridimensionales de un $${\ displaystyle d}poliedro convexo tridimensional $${\ displaystyle P} y $${\ displaystyle (dk-1)}Caras tridimensionales del poliedro dual. $${\ displaystyle P ^ {*}} y uno tiene $${\ displaystyle (P ^ {*}) ^ {*} = P}. En el enfoque combinatorio de Batyrev para reflejar la simetría, la dualidad polar se aplica a lo especial$${\ displaystyle d}-dimensional politopos de celosía convexas que se llaman politopos reflexivos . ^[2]

Victor Batyrev y Duco van Straten ^[3] observaron que el método de Philip Candelas et al. ^[4] para calcular el número de curvas racionales en Calabi-Yau, se pueden aplicar 3 pliegues a intersecciones completas arbitrarias de Calabi-Yau utilizando el código generalizado.$${\ displaystyle A}Las funciones hipergeométricas introducidas por Israel Gelfand, Michail Kapranov y Andrei Zelevinsky ^[5] (ver también la charla de Alexander Varchenko ^[6] ), donde$${\ displaystyle A} Es el conjunto de puntos de celosía en un politopo reflexivo. $${\ displaystyle P}.

Lev Borisov ^[7] ha generalizado la dualidad combinatoria de espejo para las hipersuperficies de Calabi-Yau en las variedades tóricas en el caso de las intersecciones completas de Calabi-Yau en las variedades Fano deGorenstein . Usando las nociones de cono doble y cono polar, se puede considerar la dualidad polar para los polítopos reflexivos como un caso especial de la dualidad para los conos de Gorenstein convexos ^[8] y de la dualidad para los politopos de Gorenstein. ^[9] [10]

Para cualquier número natural fijo $${\ displaystyle d} solo existe un número finito $${\ displaystyle N (d)} de $${\ displaystyle d}Politopos reflexivos tridimensionales hasta un $${\ displaystyle GL (d, \ mathbb {Z})}-isomorfismo. El número $${\ displaystyle N (d)} es conocido solo por $${\ displaystyle d \ leq 4}: $${\ displaystyle N (1) = 1}, $${\ displaystyle N (2) = 16}, $${\ displaystyle N (3) = 4319}, $${\ displaystyle N (4) = 473800776.} La clasificación combinatoria de $${\ displaystyle d}Simples reflexivos tridimensionales hasta un $${\ displaystyle GL (d, \ mathbb {Z})}-isomorfismo está estrechamente relacionado con la enumeración de todas las soluciones $${\ displaystyle (k_ {0}, k_ {1}, \ ldots, k_ {d}) \ in \ mathbb {N} ^ {d + 1}} de la ecuación diofantina $${\ displaystyle {\ frac {1} {k_ {0}}} + \ cdots + {\ frac {1} {k_ {d}}} = 1}. La clasificación de politopos reflexivos de 4 dimensiones hasta un$${\ displaystyle GL (4, \ mathbb {Z})}El isomorfismo es importante para la construcción de muchos colectores Calabi-Yau tridimensionales topológicamente diferentes utilizando hipersuperficies en variedades tóricas tridimensionales que son variedades de Gorenstein Fano . La lista completa de politopos reflexivos tridimensionales y tridimensionales ha sido obtenida por los físicos Maximilian Kreuzer y Harald Skarke utilizando un software especial en Polymake . ^{[11] [12] [13] [14]}

Lev Borisov ha obtenido una explicación matemática de la simetría del espejo combinatorio a través de álgebras de operadores de vértices que son contrapartes algebraicas de las teorías de campos conformes . 

dimensión compacta se enrosca en sí misma y es muy pequeña (generalmente de longitud de Planck ). Cualquier cosa que se mueva a lo largo de la dirección de esta dimensión volverá a su punto de inicio casi instantáneamente, y el hecho de que la dimensión sea más pequeña que la partícula más pequeña significa que no se puede observar por medios convencionales.

compactación significa cambiar una teoría con respecto a una de sus dimensiones espacio-temporales . En lugar de tener una teoría con esta dimensión siendo infinita, se cambia la teoría para que esta dimensión tenga una longitud finita, y también puede ser periódica.

La compactación juega un papel importante en la teoría del campo térmico, donde uno compacta el tiempo, en la teoría de cuerdas donde se compactan las dimensiones adicionales de la teoría, y en la física de estado sólido dedos o unidimensionales , donde se considera un sistema que está limitado en uno de Las tres dimensiones espaciales habituales.

En el límite donde el tamaño de la dimensión compacta se reduce a cero, ningún campo depende de esta dimensión adicional y la teoría se reduce dimensionalmente .

Compactación en la teoría de cuerdas [ editar ]

En la teoría de cuerdas, la compactación es una generalización de la teoría de Kaluza-Klein . ^[1] Intenta reconciliar la brecha entre la concepción de nuestro universo basada en sus cuatro dimensiones observables con las diez, once o veintiséis dimensiones con las que las ecuaciones teóricas nos llevan a suponer que el universo está hecho.

Para este propósito, se asume que las dimensiones adicionales se "envuelven" en sí mismas, o se "enrollan" en los espacios de Calabi-Yau , o en orbifolds . Los modelos en los que las direcciones compactas admiten flujos se conocen como compactaciones de flujo . La constante de acoplamiento de la teoría de cuerdas , que determina la probabilidad de que las cadenas se dividan y se vuelvan a conectar, puede describirse mediante un campollamado dilaton . A su vez, esto se puede describir como el tamaño de una dimensión adicional (undécima) que es compacta. De esta manera, la teoría de cuerdas de tipo IIA de diez dimensiones puede describirse como la compactación deTeoría M en once dimensiones . Además, las diferentes versiones de la teoría de cuerdas están relacionadas por diferentes compactaciones en un procedimiento conocido como T-dualidad .

La formulación de versiones más precisas del significado de compactación en este contexto ha sido promovida por descubrimientos como la misteriosa dualidad .

Compactación de flujo [ editar ]

Una compactación de flujo es una forma particular de lidiar con dimensiones adicionales requeridas por la teoría de cuerdas.

Se supone que la forma de la interna del colector es un colector de Calabi-Yau o generalizada colector Calabi-Yau que está equipado con valores distintos de cero de los flujos, es decir, formas diferenciales , que generalizan el concepto de un campo electromagnético (ver p de forma electrodinámica ).

El concepto hipotético del paisaje antrópico en la teoría de cuerdas se deriva de un gran número de posibilidades en las que los enteros que caracterizan los flujos pueden elegirse sin violar las reglas de la teoría de cuerdas. Las compactaciones de flujo pueden describirse como vacua de teoría F o vacua de teoría de cuerdas tipo IIBcon o sin D-branas .

El espacio $${\ displaystyle M \ times C} Se compacta sobre el compacto. $${\ displaystyle C}y después de la descomposición de Kaluza-Klein, tenemos una teoría de campo efectiva sobre M.