lunes, 25 de mayo de 2015

Diccionario de Matemáticas



 matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A. El término matriz adjunta adj(A) suele crear confusión, ya que en muchos tratados clásicos sobre álgebra linealcorresponde a la matriz de cofactores traspuesta,1 2 3 sin embargo, en otros textos, se corresponde a la matriz de cofactores, puesto que llaman de la misma manera adjunto al cofactor y de ahí que sea adjunta.4 5 Aparte, también se utiliza el símbolo adj( ) indistintamente a cof( ) para el cálculo en los elementos de una matriz, haciendo, si cabe, la confusión más amplia.6
El interés principal de la matriz adjunta es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:
\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \; \mbox{adj}(\mathbf{A^T})
donde adj(A^T) corresponde a la matriz de cofactores traspuesta, o sea,
\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{cof}(\mathbf{A})^T= \mathbf{C}^T \,.
Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss.


Dada una matriz \scriptstyle \mathbf{A} su matriz de adjuntos es la única matriz \scriptstyle \mathbf{B} tal que:7
\mathbf{A} \mathbf{B}^T= \mathbf{B}^T \mathbf{A} = (\det \mathbf{A}) \mathbf{I}
Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjuntos (o cofactores) por lo que comúnmente se define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente fórmula explícita. Dadas las componentes explícitas de la matriz: (a_{ij}) = \mathbf{A} \in M_{n\times n} para cada iy j se define la matriz \tilde{\mathbf{A}}(i,j) como la matriz de orden \scriptstyle (n-1) obtenida a partir de \mathbf{A} eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima. Y se define la cantidad:
d_{ij} = (-1)^{i+j} \det \tilde{\mathbf{A}}(i,j)
Y se tiene que estas son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos (o cofactores), es decir, \mbox{cof}(\mathbf{A}) = (d_{ij})\,

Dada una matriz de 2 x 2:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}
Su matriz adjunta viene dada por:
\mbox{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T = \begin{pmatrix} A_{22} & -A_{21} \\ -A_{12} & A_{11} \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A_{22} & -A_{12} \\ -A_{21} & A_{11} \end{pmatrix}
donde C es la matriz de cofactores.





Amplificar y Simplificar fracciones


Amplificar
Es multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número. Este número permite que la fracción aumente de valor tantas veces como veces se amplifica.
Por ejemplo, si la fracción se amplifica por dos, significa que aumentará su valor al doble.
Siempre que se amplifique una fracción se obtendrán fracciones equivalentes; es decir, fracciones que representan la misma cantidad.
Ejemplos:
Fracciones amplificadas por 3.
fraccion_amplificar001

Ver: PSU: Matemática: Pregunta 15_2005
Simplificar
Simplificar una fracción significa dividir por un mismo número tanto el numerador como el denominador, para que la fracción (mostrada ahora con números distintos pero menores) mantenga su proporcionalidad  (que su valor se mantenga).
Sólo se podrán simplificar fracciones cuando el  numerador y denominador sean divisibles por un número común.
Cada vez que se simplifique una fracción se debe llegar hasta la fracción irreductible, es decir, aquella fracción que no se puede simplificar más (achicar más).
Ejemplos:
fraccion_qmpificar002
Esta operación, después de ejercitarla y dominarla, normalmente se hace en forma rápida, directa y hasta intuitivamente. Pero para empezar a dominarla debemos considerar los siguientes pasos previos:   
Primero
En la simplificación  de fracciones, hay que tener en cuenta las reglas de divisibilidad, para saber cuándo un número es divisible por otro.
Reglas básicas de divisibilidad
Regla del 2. Si un número termina en 0, 2, 4, 6, 8 el número es divisible por 2.
Ejemplos: 42, 58, 12 son todos divisibles por 2 ya que terminan en 2 y en 8
Regla del 3. Si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3, el número será divisible por 3.
Ejemplos:             21 = 2 + 1 = 3        ----->    3 x 7 = 21
                           27 = 2 + 7 = 9        ----->    3 x 9 = 27
                        102 = 1 + 0 + 2 = 3  ------>  3 x 34 = 102 
                       48  = 4 + 8 = 12       ------>  3 x 16 = 48
En estos casos,  21, 27, 102 y 48 son múltiplos de 3, así es que el número al que representan es divisible por 3.
Regla del 5. Si un número termina en 0 ó en 5 es divisible por 5.
Ejemplos:   45, 100 son divisibles por 5 ya que terminan en 5 y en 0.
Segundo
Dominadas las reglas de divisibilidad, debe aprenderse a realizar la factorización prima de un número para factorizar los componentes de la fracción, esto es factorizar tanto el numerador como el denominador de la fracción.
Factorización Prima
Un número es primo si es mayor que 1 y sus factores sólo son 1 y el mismo  número.
Ejemplos:  2, 5, 11  son números primos ya que los factores de cada uno son solo el 1 y el mismo número    (1 por 2 =2;    1 por 5 = 5;  1 por 11 = 11)
Entonces, tenemos que la factorización prima de un número  es el producto de todos los factores primos de un número.
Por ejemplo, hagamos la factorización prima de  12
12
2
El 12 (divisible por 2, pues termina en 2) lo dividimos por 2 y queda 6
  6
2
El 6  (divisible por 2, pues termina en 6) lo dividimos por 2 y queda 3
  3
3
El 3  (es número primo, pues es divisible solo por 1 y por 3) lo dividimos por 3
  1
  
Entonces, tenemos que los factores primos de 12 son  2 . 2 . 3
y vemos que 2 x 2 x 3 = 12
Ejemplo:
Simplificar la fracción:
fraccion_amplificar003
La factorización prima de 12 es 2· 2 · 3   y la de 36 es  2 · 2 · 3 · 3 
Eliminamos los factores comunes al numerador y al denominador y queda
fraccion_amplificar004
Ejercicio:
Simplificar fraccion_amplificar006

32
2
           .       
66
2
16
2
 
33
3
  8
2
 
11
11
  4
2
 
  1
 
  2
2
   
  1
    
Hacemos el cuadro como este y vemos que
los factores de 32 son  2 x 2 x 2 x 2 x 2
los factores de 66 son  2 x 3 x 11
Vemos que hay solo un factor 2 que es común,  lo eliminamos en ambos lados y queda
Para el numerador   2 x 2 x 2 x 2  = 16
Para el denominador  3 x 11  = 33
Por lo tanto, la fracción fraccion_amplificar006
Se convierte, simplificada, en   fraccion_ampificar007 
        
¿Queda más o menos claro cómo se simplifica una fracción?
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