miércoles, 27 de mayo de 2015

Lógica


El condicional material, también conocido como implicación material, condicional funcional de verdad o simplemente condicional, es una constante lógica que conecta dos proposiciones. El condicional material intenta ser la versión formal del condicional en ellenguaje natural, el cual se expresa por medio de palabras como las siguientes:
  • Si llueve, entonces voy al cine.
  • Voy al cine si llueve.
  • Cuando llueve, voy al cine.
Simbólicamente, el condicional material se suele denotar de las siguientes maneras:
A \to B \,
A \supset B, y en ocasiones:
A \Rightarrow B \,
Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.
En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando A es verdadera y B es falsa, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógicEl condicional material es una función de verdad que toma dos valores de verdad (por lo general los valores de proposiciones) y devuelve falso cuando el primer valor es verdadero y el segundo falso, y verdadero en cualquier otro caso.
En otras palabras, la tabla de verdad del condicional material es la siguiente:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A \Rightarrow B \\ \hline v & v & v \\ v & f & f \\ f & v & v \\ f & f & v \\ \hline \end{array}
Como se ve, el condicional material devuelve 0 (falso) sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En todos los demás casos, devuelve 1 (verdadero).dos (posiblemente complejos).
Algunas de las propiedades formales del condicional material son:
  • Preservación de la verdad: La interpretación en virtud del cual todas las variables se les asigna un valor de verdad de «verdadero» produce un valor de verdad de «verdadero» como resultado de la implicación material.
  • El condicional material no debe confundirse con la relación de implicación lógica. Sin embargo, existe una estrecha relación entre ambos en la mayoría de los sistemas lógicos, incluyendo la lógica clásica. Por ejemplo, los siguientes principios se sostienen:
    • Si \Gamma \vdash A, entonces \vdash \Gamma \to A, donde A es una fórmula cualquiera y \Gamma es un conjunto de fórmulas cualquiera. Este es un caso particular del teorema de la deducción.
    • Si \vdash \Gamma \to A, entonces \Gamma \vdash A. Esto es un caso particular del inverso del teorema de la deducción.
    • Tanto el condicional material como la consecuencia lógica son monótonas. Es decir, si \Gamma \vdash A, entonces \Delta \cup \Gamma \vdash A y si A \to B \,, entonces (A \land C) \to B.
    Estos principios, sin embargo, no valen en todos los sistemas lógicos. Por ejemplo, no se sostienen en las lógicas no monotónicas.
    La diferencia entre el condicional material y la implicación lógica es análoga la diferencia entre la operación A^c \cup B y la operación A \subseteq B en la teoría de conjuntos.

Diagrama de Venn del condicional material.
Diagrama de Venn de la implicación lógica.




















El Condicional y el Bicondicional

El Condicional

Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo." Esta parece ser compuesta en dos oraciones más simplemente:
    p: "Obtienes una A en lógica," y
    q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es verdad, entonces q es verdad, o, más simple, si p, entonces q. También podemos escribir la frase como p implica q, y escribimos p→q.
Ahora supongamos por el bien de la discución de que la proposición original: "Si obtiene una A en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es verdad. Esto no significa que tu obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es que si tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo. Si Pensamos en esto como una promesa, la única manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas una A pero no te compro un Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para definir la proposición p→q.
CondicionalLa condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se define con la siguiente tabla de verdad.

p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
La flecha "→" es el operador condicional, y en p→q la proposición p es llamada en el antecedente, o hipótesis, y q es llamada la consecuente, o conclusión.
Observa que el condicional en un nuevo ejemplo de un operador lógico binario -- asigna a cada par de proposiciones p y q la nueva proposición p→q.
    Nota1. La única manera que puede ser falsa p→q es si p es verdadera y q es falsa—esto es el caso de la "la promesa rota."
    2. Si estudias la tabla de verdad una vez más, puedes ver que decimos que "p→q" es verdadera cuando p es falsa, sin importa el valor de verdad de q. Esto tiene más sentido en el contexto de la promesa — si no obtienes una A, entonces si o no te compro un Mustang, no estoy rompiendo mi promesa. Sin embargo, va en contra del grano si piensas que "si p entonces q" es lo mismo que decir que p causa q. El problema es que hay realmente muchas maneras que las frases en español "si ... entonces ..." se utilizan. Lógicos están de acuerdo que el significado que se da en la tabla de verdad más arriba es lo más útil para las matemáticas y por lo tanto, eso es el significado que siempre usaremos. Dentro de poco discutiremos otras frases en español que interpretamos con el mismo significado.
A continuación, algunos ejemplos que nos ayudaran a explicar cada línea de la tabla de verdad.

Ejemplo 1 (Verdadera implica Verdadera) es Verdadera

    Si p y q son verdaderas, entonces p→q es verdadera. Por ejemplo:
      Si 1+1 = 2 entonces el sol sale por el este.
    Aquí p: "1+1 = 2" y q: "El sol sale por el este."

Antes de seguir...

    Observa que las proposiciones p y q no tiene nada que ver una con otra. No estamos diciendo que el sol sale por el este porque 1+1 = 2, simplemente que la proposición entera es lógicamente verdadera.

Ejemplo 2 Verdadera no Puede Implicar Falsa

    Si p es verdadera y q es falsa, entonces p→q es falsa. Por ejemplo considera:
      Cuando llueve, llevo un paraguas.
    Aquí p: "Esta lloviendo," y q: "Llevo un paraguas." En otras palabras, podemos reformular la frase o oración como: "Si llueve entonces llevo un paraguas." De hecho, es frecuentemente el caso que llueve (p es verdadera) y se me olvido traer mi paraguas (q es falsa). En tal momento la proposición p→q es claramente falsa.

Antes de seguir...

    Observa que interpretamos "Cuándo p, q" como "Si p entonces q."
El siguiente ejemplo explica las dos últimas líneas de la tabla de verdad para la condicional.

Ejemplo 3 Falso implica cualquier cosa

    Si p es falso, entonces p→q es verdadera, no inporta si q es verdadera o no. Por ejemplo:
      Si la luna es hecha de queso verde, entonces soy el rey de Inglaterra.
    Aquí p: "La luna es hecha de queso verde," que es falsa, y q: "Soy el rey de Inglaterra." La proposición p→q es verdadera, si o no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o si, lo que es más, aún hay un rey de Inglaterra).

Antes de seguir...

    "Si tuviera 1 millón de dólares estaría en Easy Street." "Sí claro, y si mi abuela tuviera ruedas ella sería un autobús." El punto de la réplica es que si la hipótesis es falsa, la implicación entera es verdadera.

Ejemplo 3P Practica con el condicional

    Contesta lo siguiente. En caso de duda, usa una tabla de verdad o consulta los tres ejemplos anteriores.
      "Si 1+1 = 3, entonces 1+2 = 3."   es verdadera
       falsa      		.
       
      "Si la tierra es redonda entonces marte es plano."   es verdadera
       falsa      		.
       
      "Si la tierra es plana marte es plano."   es verdadera
       falsa      		.
       
      "Si la tierra es redonda, marte es redondo."   es verdadera
       falsa      		.
       
      "Si marte es redondo, yo soy el hombre de la luna."   es verdadera
       falsa      		.
       
Ve la tabla de verdad una vez más, y observa que p→q es verdadera presisamente cuando p es falsa o q es verdadera (o ambos). En otras palabras, p→q es lógicamente equivalente a (~p)q. Los siguientes ejemplos demuestran este hecho.

Ejemplo 4 Cogito; Ergo Sum

    Hechemos un vistazo a la reclamación famosa de Descartes:
      Cogito; ergo sum: "Pienso; por lo tanto yo soy."
    Para concluir que "yo soy" por "pienso," Descartes hace la siguiente preposición implícita: "Si pienso, entonces soy." Si Descartes no piensa, entonces no importa si el existe o no. Si él existe, entonces no importa si él piensa o no. El único caso que podría contradecir su proposición es si rompe la promesa: Él piensa, pero no existe.

Ejemplo 5 Switcheroo

    Muestra que p→q(~p)q.

Solución

    Construimos una tabla de verdad para comprobarlo:
Mismos valores
p
q
p→q
~p
(~p)q
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V

Ates de seguir...

    En otras palabras, p→q es verdadera si p es falsa o q es verdadera. Por la ley DeMorgan estas proposiciones tambíen son equivalentes a ~(p(~q)). La única forma que el condicional puede ser falsa en el caso de la promesa rompas: cuando p es verdadera y q es falsa.Debería sorprender el hecho de que podemos convertir la implicación en una disyunción. De hecho, detrás de todo esto es una técnica muy poderosa. No es muy difícil (usando la tabla de verdad) para convertir cualquier proposición lógica en una disyuncción de conjunciones de átomos o sus negaciones. A esto se le llama la forma normal disyuntiva, y es esencial en el diseño de los circuitos lógicos que componen las computadoras digitales.
    Por falta de un nombre mejor, llamaremos a la equivalencia p→q(~p)q la ley de "Switcheroo".  
Ley de SwitcherooLa ley de Switcheroo es la equivalencia lógica

    p→q(~p)q.
En palabras, esto expresa la equivalencia entre decir "si p es verdad, entonces q debe ser verdad" y decir "p no es verdad, o bien q debe ser verdad."

Ejemplo 5P Practica con Switcheroo

    (a)p: "Hay vida en Marte, entonces debemos financiar la NASA."
      
     
    (b)p: "Si tu eres alto entraras al equipo de lacrosse."
      
     
    (c)p: "Financiaremos la NASA solo si hay vida en Marte."
      
Hemos visto cómo puede ser tan colorido el lenguaje. No es sorprendente que haya una gran variedad de maneras de decir que p implica a q. Áqui hay algunos de los más comunes:
Algunas frases de el CondicionalCada una de las siguientes es equivalente a el Condicional p→q.

Si p, entonces q.p implica q.
q se desprende de p.No p a menos que q.
q si p.p sólo si q.
Cuando p, q.q siempre que p.
p es suficiente para q.q es necesaria para p.
p es una condición suficiente para q.q es una condición necesaria para p.
Observa la diferencia entre "si" y "sólo si." Decimos que "p sólo si q" significa p→q ya que, solo cuando p→q es verdadera, p puede ser verdadera sólo si q es también verdadera. En otras palabras, la única línea de la tabla de verdad en la que p→q es verdadera y p es verdadera tiene también q como verdadera. La frase "p es una condición suficiente para q" dice que es suficiente saber que p es verdadera para concluir que q es verdadera. Por ejemplo, es sufieciente que obtengas una A en lógica, para que te compre Mustang amarillo. Otras cosas me podrían inducir a comprarte un coche, pero una A en lógica sería suficiente. La frase "q es necesario para p" esto lo veremos más tarde (Ver el Ejemplo 9).

Ejemplo 6 Reformulación con el condicional

    Reformula la frase "Si es martes, debe ser Bélgica."

Solución

    Aquí hay varias maneras de reformular la oración:
    "Siendo martes implica que es Bélgica."
    "Es Bélgica si es martes."
    "Es martes solo si es Bélgica."
    "No es martes a menos que sea Bélgica."
    "Siendo martes es suficiente para que sea Bélgica."
    "Sea Bélgica es una condición necesaria para que sea martes."
En los ejercicios de la sección 2, vimos que la ley conmutativa se aplica a la conjunción y tambíen la disyunción: pqqp, y pqqp.
P ¿Aplica la ley conmutativa al condicional?. En otras palabras, ¿Es p→q lo mismo que q→p?
R No. Podemos ver esto con la siguiente tabla de verdad:
Diferente
p
q
p→q
q→p
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
Las columnas correspondientes con p→q y q→p son diferentes, y por lo tanto las dos proposiciones no son equivalentes. A la proposición q→p llamamos la conversa de p→q. (A la conversa tambíen se le llama recíproca).
ConversaA la proposición q→p se llamada la conversa de la proposición p→q. Un condicional y su conversa no son equivalentes.
El hecho de que un condicional facilmente se puede confundir con su conversa a menudo se utiliza en la publicidad. Por ejemplo, el eslogan "Bebe Boors, la bebida designada al equipo olípico de los EUA" sugiere que todos los atletas Olímpicos de EUA beben Boors (es decir, si eres atleta Olímpico de los EUA, debes beber Boors). Lo que esta tratando de decir al mismo tiempo puede ser la conversa: Todos los que beben Boors pueden ser atletas olípicos de los EUA (si tu bebes Boors entonces serás un atleta Olímpico de los EUA, o: Es suficiente beber Boors para convertirte en atleta olímpico de los EUA).
Auque la conditional p→q es lo mismo que su conversa, sí es lo mismo que su llamado contrapositivo, (~q)→(~p). Mientras que puede demostrar muy facílmente con una tablas de verdad (que se le pedirá hacer en un ejercicio) podemos demostrar esta equivalencia utilizando la equivalencias que ya sabemos:
    p→q(~p)qSwitcheroo
    q(~p)Conmutativa de 
     ~(~q)(~p)Doble Negación
     (~q)→(~p)Switcheroo  
ContrapositivaA la proposición (~q) → (~p) se llamada la contrapositiva de la proposición p→q. Una condicional es equivalente a su contrapositiva.

Ejemplo 7 Contrapositiva

    Reescribe la proposición "Este animal grotesco es una vaca Jersey, entonces debe ser pinta," como su contrapositiva.

Solución

    La proposición dada tiene la forma p→q, dónde p: "Este grotesco animal es una vaca Jersey," y q: "Este grotesco animal es pinto." La contrapositiva es la proposición (~q)→(~p), y se escribe de la siguiente manera: "Si este animal grotesco no es pinto, entonces no puede ser una vaca de Jersey."

Ejemplo 8 Conversa

    A continuación da la conversa de la proposición del ejemplo anterior.

Solución

    La conversa de p→q es q→p, y puede expresarse como: "Si este grotesco animal es pinto, entonces es una vaca de Jersey."

Ejemplo 9 Contrapositiva

    Obtén la contrapositiva de la proposición: "Si no pagas el rescate, nunca volverás a ver a tu mascota Chia."

Solución

    Esto es (~q)→(~p) dónde p: "Veras nuevamente a tu mascota Chia" y q: "Pagas el rescate." La contrapositiva es p→q, o "si veras nuevamente a tu mascota Chia, entonces significa que pagaste el rescate." una contrucción mas elegante es "Es necesario pagar el rescate para que puedas ver a tu mascota Chia."

Ante de seguir...

    Cuando decimos p→q es verdad no suponemos que p debe venir antes q o que p causa q. De hecho, a menudo queremos decir que q es la única causa de p, y por lo tanto p es prueba de que ha ocurrido q. Las frases "q es necesaria para p" y "p sólo si q" son más naturales en este contexto (prueba "p sólo si q" en este ejemplo).

Example 9P Practica con Conversa y Contrapositiva

    Para cada una de las proposiciones dadas, introdusca el conversa o contrapositiva, según sea necesario. Para entrar en ellos, use "Y" para , "O" para ., y "IMPLICA" PARA →. Por ejemplo, puedes introducir
    (pq) → (~r)     como     (p O q) IMPLICA ~r
      (a)Lo conversa de p→(~q) es     
      (b)La contrapositiva de p→(~q) es     
      (c)La contrapositiva de (~p)→(~q) es     
      (d)La conversa de "Si bebes Retrograde, eres cool." es
       
      (e)La contrapositiva de "Si bebes Retrograde, eres cool." es
       
      (f)Lo conversa de la contrapositiva de "Si bebes Retrograde, eres cool." es

El Bicondicional

Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede ocurrir, sin embargó, que ambos p→q y q→p son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2," entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas. La proposición p↔q se define como la proposición (p→q)(q→p). Por esta razón, la flecha de doble cabeza ↔ se llama el bicondicional. Obtenemos la tabla de verdad para p↔q construyendo la tabla para (p→q)(q→p), que nos da lo siguiente.
BicondicionalEl bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a q," se define por la siguiente tabla de verdad.
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
La flecha "↔" es el operador bicondicional.
Ten en cuenta que, en la tabla de verdad, vemos que, para p↔q ser verdadera, ambas p y q deben tener los mismos valores de verdad; sí no, es falsa la conversa.
Algunas frases del BionditionalCada uno de los siguientes es equivalente al bicondicional p↔q.

    p si y solo si q.p es necesario y suficiente para q.
    p es equivalente a q.
Ten en cuenta que p↔q es lógicamente equivalente a q↔p (se le pedirá mostrar esto como un ejercicio), así que podemos invertir p y q en las frases de arriba.
Para la frase "p si y solo si q," recuerde que "p si q" significa q→p mientras "p solo si q" significa p→q. Para la frase "p es equivalente a q," las proposiciones A y B son lógicamente equivalentes si y solo si la proposición A↔B es una tautológia (¿por qué?). Regresaremos a ese tema en la siguiente sección.

Ejemplo 10 Bicondicional

    (a) Verdad o falsa? "1+1 = 3 si y solo si Marte es un agujero negro."
    (b) Reformula la oración: "Enseño matemáticas si y solo si me pagan una gran suma de dinero."

Solución

    (a) Verdadera. La proposición dada tiene la forma p↔q, dónde p: "1+1=3" y q: "Marte es un agujero negro." Ya que ambas proposiciones son falsas, el bicondicional p↔q es verdadera.(b) Aquí están algunas maneras equivalentes de expresar esta oración:

      "Enseñar matemática es necesario y suficiente para que me paguen una gran suma de dinero.""Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño matemáticas."
    Lamentablemente para nuestras finanzas, ninguna de las dos oraciones es verdad.
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