ÓPTICA

 imagen erecta , en óptica , es una que aparece en el lado derecho hacia arriba. Se forma una imagen erecta cuando ambos rayos se intersecan entre sí en un punto determinado. Es una imagen en la que las direcciones son las mismas que las del objeto, en contraste con una imagen invertida. Algunos telescopios y otros dispositivos como la cámara oscura presentan una imagen invertida en la superficie de visualización. Se ^utilizan varios medios ^{[ aclaración necesaria ]} como espejos y elementos de prisma compuesto para lograr una imagen erecta. Un ejemplo común de una imagen erecta es la imagen de una persona en un espejo plano estándar.

Étendue o étendue ( / ˌ eɪ t ɒ n d U / ; pronunciación francesa: [etɑdy] ) es una propiedad de la luz en un sistema óptico , que caracteriza la forma en "hacia fuera" la luz está en el área y el ángulo. Corresponde al producto de parámetros de haz (BPP) en la óptica gaussiana.

Desde el punto de vista de la fuente, es el producto de la zona de la fuente y el ángulo sólido que subtitula la pupila de entrada del sistema como se ve desde la fuente. De manera equivalente, desde el punto de vista del sistema, el etendue es igual al área de la pupila de entrada multiplicada por el ángulo sólido que la fuente subtiende como se ve desde la pupila. Estas definiciones deben aplicarse para "elementos" infinitamente pequeños de área y ángulo sólido, que luego deben sumarse sobre la fuente y el diafragma como se muestra a continuación. Etendue puede considerarse como un volumen en el espacio de fase .

Etendue es importante porque nunca disminuye en ningún sistema óptico donde se conserva la potencia óptica. ^[1] Un sistema óptico perfecto produce una imagen con la misma fecha que la fuente. El etendo está relacionado con el invariante de Lagrange y el invariante óptico , que comparten la propiedad de ser constantes en un sistema óptico ideal. La luminosidad de un sistema óptico es igual a la derivada del flujo radiante con respecto al final.

El término étendue proviene del francés étendue géométrique , que significa "extensión geométrica". Otros nombres para esta propiedad son la aceptación , el rendimiento , captar la luz , de recolección de luz o energía -collecting , medida óptica , medida geométrica , y el producto AΩ . El rendimiento y el producto AΩse utilizan especialmente en radiometría y transferencia radiativa cuando está relacionado con el factor de vista(o factor de forma). Es un concepto central en la óptica sin imagen . 

Definición [ editar ]

Etenda de un elemento de superficie diferencial en 2D (izquierda) y 3D (derecha).

Un elemento de superficie infinitesimal, dS, con n _s normal se sumerge en un medio de índice de refracción n . La superficie es atravesada por (o emite) luz confinada a un ángulo sólido, d Ω , en un ángulo θ con la n _S normal . El área de d S proyectada en la dirección de propagación de la luz es d S cos θ . La duración de este cruce de luz dS se define como

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega.}

Debido a que los ángulos, los ángulos sólidos y los índices de refracción son cantidades adimensionales , etendue tiene unidades de área (dadas por dS).

Conservación de la eficacia óptica [ editar ]

Como se muestra a continuación, el etendo se conserva cuando la luz viaja a través del espacio libre y en las refracciones o reflexiones. Entonces, también se conserva cuando la luz viaja a través de sistemas ópticos donde experimenta reflejos o refracciones perfectos. Sin embargo, si la luz golpeara, por ejemplo, un difusor , su ángulo sólido aumentaría, aumentando la duración. Etendue puede permanecer constante o puede aumentar a medida que la luz se propaga a través de una óptica, pero no puede disminuir. Este es un resultado directo del aumento de la entropía , que solo se puede revertir si se utiliza un conocimiento a priori para reconstruir un frente de onda de coincidencia de fase, como con los espejos conjugados de fase .

La conservación del etendue se puede derivar en diferentes contextos, como a partir de los primeros principios ópticos, de la óptica hamiltoniana o de la segunda ley de la termodinámica . ^[2]

En espacio libre [ editar ]

Etendue en el espacio libre.

Considere una fuente de luz Σ y un detector de luz S , los cuales son superficies extendidas (en lugar de elementos diferenciales), y están separados por un medio de índice de refracción n que es perfectamente transparente (mostrado). Para calcular la duración del sistema, se debe considerar la contribución de cada punto en la superficie de la fuente de luz, ya que emiten rayos a cada punto en el receptor. ^[5]

De acuerdo con la definición anterior, la duración del cruce de luz d Σ hacia d S viene dada por:

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = n ^ {2} \, \ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma } = n ^ {2} \, \ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma} {\ frac {\ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S}} {d ^ {2} }}}

donde d Ω _Σ es el ángulo sólido definido por el área d S en el área d Σ . Del mismo modo, la eficacia óptica de la travesía luz d S procedente de d Σ está dada por:

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G_ {S} = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S} = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} {\ frac {\ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma}} {d ^ {2}}},}

donde d Ω _S es el ángulo sólido definido por el área dΣ. Estas expresiones dan como resultado

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = \ mathrm {d} G_ {S},}

mostrando que el etendue se conserva a medida que la luz se propaga en el espacio libre.

El calendario de todo el sistema es entonces:

$${\ displaystyle G = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d} G.}

Si ambas superficies d Σ y d S están sumergidas en aire (o en vacío), n = 1 y la expresión anterior para el etendue se puede escribir como

${\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S},}$

donde F _{d Σ → d S} es el factor de vista entre diferencial superficies d Σ y d S . La integración en d Σ y d S da como resultado G = π Σ F _{Σ → S, lo} que permite obtener la duración entre dos superficies a partir de los factores de vista entre esas superficies, tal como se proporciona en una lista de factores de vista para casos de geometría específicos o en varios libros de texto de transferencia de calor .

La conservación de la duración en el espacio libre está relacionada con el teorema de reciprocidad para los factores de vista .

En refracciones y reflexiones [ editar ]

Etendue en la refracción.

La conservación del término discutido anteriormente se aplica al caso de la propagación de la luz en el espacio libre, o más generalmente, en un medio en el que el índice de refracción es constante. Sin embargo, la etendue también se conserva en refracciones y reflexiones. ^[2] La figura "eficacia óptica en la refracción" muestra un infinitesimal superficie d S en el xy plano de separación de dos medios de índices de refracción n _Σ y n _S .

Lo normal a d S apunta en la dirección del eje z . La luz entrante se limita a un sólido ángulo d Ohmio _sigma y llega d S en un ángulo theta _sigma a su normal. La luz refractada se limita a un ángulo sólido d Ω _S y deja d S en un ángulo θ _S a su normal. Las direcciones de la luz entrante y refractada están contenidos en un plano que forma un ángulo φ al xeje, definiendo estas direcciones en un sistema de coordenadas esféricas . Con estas definiciones, la ley de la refracción de Snell se puede escribir como

$${\ displaystyle n _ {\ Sigma} \ sin \ theta _ {\ Sigma} = n_ {S} \ sin \ theta _ {S},}

y su derivado relativo a θ

$${\ displaystyle n _ {\ Sigma} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ theta _ {\ Sigma} = n_ {S} \ cos \ theta _ {S} \ mathrm {d} \ theta _ {S},}

multiplicado por cada otro resultado en

$${\ displaystyle n _ {\ Sigma} ^ {2} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \! \ left (\ sin \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ theta _ {\ Sigma} \ , \ mathrm {d} \ varphi \ right) = n_ {S} ^ {2} \ cos \ theta _ {S} \! \ left (\ sin \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ varphi \ right),}

donde ambos lados de la ecuación también se multiplicaron por d φ que no cambia en la refracción. Esta expresión ahora se puede escribir como

$${\ displaystyle n _ {\ Sigma} ^ {2} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = n_ {S} ^ {2} \ cos \ theta _ { S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S},}

y multiplicando ambos lados por d S obtenemos

$${\ displaystyle n _ {\ Sigma} ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = n_ {S} ^ { 2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S}}

es decir

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = \ mathrm {d} G_ {S},}

demostrando que la duración de la luz refractada en d S se conserva. El mismo resultado es también válido para el caso de una reflexión en una superficie d S , en cuyo caso n _Σ = n _S y θ _Σ = θ _S .

Conservación de la luminosidad básica [ editar ]

El resplandor de una superficie se relaciona con la étendue por:

$${\ displaystyle L _ {\ mathrm {e}, \ Omega} = n ^ {2} {\ frac {\ partial \ Phi _ {\ mathrm {e}}} {\ partial G}},}

dónde

• n es el índice de refracción en el que se sumerge esa superficie;
• G es la esencia del haz de luz.

A medida que la luz viaja a través de un sistema óptico ideal, se conservan tanto la luz como el flujo radiante. Por lo tanto, el resplandor básico se define como: ^[6]

$${\ displaystyle L _ {\ mathrm {e}, \ Omega} ^ {*} = {\ frac {L _ {\ mathrm {e}, \ Omega}} {n ^ {2}}}}

También se conserva. En sistemas reales, la tendencia puede aumentar (por ejemplo, debido a la dispersión) o puede disminuir el flujo radiante (por ejemplo, debido a la absorción) y, por lo tanto, puede disminuir la luminosidad básica. Sin embargo, la tendencia no puede disminuir y el flujo radiante no puede aumentar y, por lo tanto, la radiancia básica puede no aumentar.

Etendue como un volumen en el espacio de fase [ editar ]

Momento óptico.

En el contexto de la óptica de Hamilton , en un punto en el espacio, un rayo de luz puede estar completamente definida por un punto r = ( x , y , z ) , una unidad euclidiana vector v = (cos α _X , cos alpha _Y , cos α _Z ) que indica su dirección y el índice de refracción n en el punto r . El momento óptico del rayo en ese punto se define por

$${\ Displaystyle \ mathbf {p} = n (\ cos \ alpha _ {X}, \ cos \ alpha _ {Y}, \ cos \ alpha _ {Z}) = (p, q, r),}

donde || p || = n . La geometría del vector de momento óptico se ilustra en la figura "momento óptico".

En un sistema de coordenadas esféricas p puede escribirse como

$${\ displaystyle \ mathbf {p} = n \! \ left (\ sin \ theta \ cos \ varphi, \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ cos \ theta \ right),}

a partir del cual

$${\ displaystyle \ mathrm {d} p \, \ mathrm {d} q = {\ frac {\ partial (p, q)} {\ partial (\ theta, \ varphi)}} \ mathrm {d} \ theta \ , \ mathrm {d} \ varphi = \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial \ theta}} {\ frac {\ partial q} {\ partial \ varphi}} - {\ frac {\ partial p } {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial q} {\ partial \ theta}} \ right) \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = n ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = n ^ {2} \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega,}

y, por lo tanto, para un área infinitesimal d S = d x d y en el plano xy inmerso en un medio de índice de refracción n , el etendue viene dado por

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} p \, \ mathrm {d} q,}

que es un volumen infinitesimal en el espacio de fase x , y , p , q . La conservación del etendo en el espacio de fases es el equivalente en óptica al teorema de Liouville en la mecánica clásica. ^[2] Etendue como volumen en el espacio de fase se usa comúnmente en la óptica sin imagen .

Concentración máxima [ editar ]

Etendue para un gran ángulo sólido.

Considere una superficie infinitesimal d S , inmersa en un medio de índice de refracción n atravesada por (o emitiendo) luz dentro de un cono de ángulo α . El final de esta luz está dado por

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ int \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega = n ^ {2} dS \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} \! \ Int _ {0} ^ {\ alpha} \ cos \ theta \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = \ pi n ^ {2} \ mathrm {d} S \ sin ^ {2} \ alpha.}

Teniendo en cuenta que n sen α es la apertura numérica NA , del haz de luz, esto también puede expresarse como

$${\ displaystyle \ mathrm {d} G = \ pi \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {NA} ^ {2}.}

Tenga en cuenta que d Ω se expresa en un sistema de coordenadas esféricas . Ahora, si una gran superficie Ses atravesada por (o emite) luz también limitada a un cono de ángulo α , el final de la luz que cruza S es

$${\ Displaystyle G = \ pi n ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha \ int \ mathrm {d} S = \ pi n ^ {2} S \ sin ^ {2} \ alpha = \ pi S \ , \ mathrm {NA} ^ {2}.}

Etendue y concentración ideal.

El límite de concentración máxima (que se muestra) es una óptica con una abertura de entrada S , en el aire ( n _i = 1 ) que recoge la luz dentro de un ángulo sólido de ángulo 2 α (su ángulo de aceptación ) y la envía a un receptor de área más pequeña Σinmersa en un medio de índice de refracción n , cuyos puntos se iluminan dentro de un ángulo sólido de ángulo 2 β . De la expresión anterior, el etendue de la luz entrante es

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {i}} = \ pi S \ sin ^ {2} \ alpha}

y el final de la luz que llega al receptor es

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {r}} = \ pi n ^ {2} \ Sigma \ sin ^ {2} \ beta.}

La conservación del etendue G _i = G _r luego da

$${\ displaystyle C = {\ frac {S} {\ Sigma}} = n ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} \ beta} {\ sin ^ {2} \ alpha}},}

donde C es la concentración de la óptica. Para una apertura angular α determinada , de la luz entrante, esta concentración será máxima para el valor máximo de sen β , que es β = π / 2. La concentración máxima posible es entonces ^[2] [3]

$${\ displaystyle C _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {n ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ alpha}}.

En el caso de que el índice de incidentes no sea unidad, tenemos

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {i}} = \ pi n _ {\ mathrm {i}} S \ sin ^ {2} \ alpha = G _ {\ mathrm {r}} = \ pi n _ {\ mathrm {r} } \ Sigma \ sin ^ {2} \ beta,}

y entonces

$${\ displaystyle C = \ left ({\ frac {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {r}}} {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {i}}}} \ right) ^ {2}, }

y en el límite de mejor caso de β = π / 2, esto se convierte en

$${\ displaystyle C _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {n _ {\ mathrm {r}} ^ {2}} {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {i}} ^ {2}}}. }

Si la óptica fuera un colimador en lugar de un concentrador, la dirección de la luz se invierte y la conservación del etendue nos da la apertura mínima, S , para una salida dada de ángulo total 2 α .