CALCULO DIFERENCIAL

FUNCIÓN INYECTIVA.

FUNCIÓN INYECTIVA Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva. (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4) Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. Otras formas de definirse: Una función  f: " Xà Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X"  tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen. O dicho de otra manera: Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. EJEMPLO 1 : Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2 Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:  x  -3  -2 -1  0 1  2  3  f(x) 5  2  -1  -2  -1  2  5 :Donde su gráfica será EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3. Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:  x  -3  -2 -1  0 1  2  3  f(x) 28  9  2  1  0  -7  -26 Donde su gráfica seráa:  Si hay duda sobre su entendimiento veamos otra forma de expresión matemática y sus ejemplos: Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino. Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3};    f: A.B:  f={(1,2), (2,1), (3,3)} Es decir, gráficamente queda: Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea. ENTONCES ES INYECTIVA.      Ejemplo 2.  Sea A={1,2,3} B={1,2,3};  f: A.B:  f={(1,2), (2,1), (3,2)} (solo se cambio el número indicado en rojo) Gráficamente: Hay un elemento de B (el número 2) que recibe dos flechas o líneas, por lo tanto NO ES INYECTIVA.   Ejemplo 3.  Para la siguiente función: f(x) = y = x-1.  A cada elemento del domino se le relaciona en la función con UN elemento de la imagen, Por lo tanto ES INYECTIVA. NOTA: El domino y la imagen son todos los reales: Ejemplo 4.  Si la función fuera parábola, f(x)=x2 como la que se muestra a continuación: Hay elementos en el domino que se le asigna el mismo valor de la imagen; por ejemplo la pareja de valores P1(2,4) tiene el mismo valor de la imagen 4; que el punto P2(-2,4). Por lo tanto la función NO ES INYECTIVA. NOTA: Ahora el domino y la imagen son diferentes: RESUELVA DE TAREA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Determinar si las siguientes funciones son o no inyectivas. 1) f(x) = 4x – 2 2) f(x) = x3 – x 3) f(x) = √x 4) f(x) = 2 5) f(x) = 1 – x2 – x