sábado, 23 de mayo de 2015

CALCULO DIFERENCIAL

f \colon X \to Y

es inyectiva si a elementos distintos del conjunto

X

(dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto

Y

(codominio) de

f

. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

, dada por

f(x)=x^2

no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como

f(2)

f(-2)

. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función

g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

entonces sí se obtiene una función inyectiva.- ..............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=4f2fab4c9c59984998a4e4fdb9e9393a1f8ff334&writer=rdf2latex&return_to=Funci%C3%B3n+inyectiva

FUNCIONES INYECTIVAS (UNO A UNO)

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

EJEMPLO A: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x² – 2

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
f(x)	2	–1	–2	–1	2

EJEMPLO B: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x³.

Primero elaboramos una tabla de pares ordenados y luego graficamos.

x	–2	–1	0	1	2
g(x)	9	2	1	0	–7

Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

Funciones general, inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectivo

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x² del conjunto de los números naturales

es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros

(esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y
f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales

al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales

no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de

va al 3 por esta función.

Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y
f(-2)=4)

Funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Son comportamientos de una función.

"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

SOBREYECTIVA