CALCULO DIFERENCIAL

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE · Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que  f( x1 ) < f( x2 ). Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). · Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1  y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ). Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente. FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO · Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e). · Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e). La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >. Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto. Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos Resolución: · La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42  (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0. · Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente. Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo. Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo. Función estrictamente creciente f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple: La tasa de variación es positiva. Función creciente             f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple: La tasa de variación es positiva o igual a cero. Función creciente en un punto Si f es derivable en a: f es estrictamente creciente en a si: f'(a) > 0 Intervalos de crecimiento Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos: 1. Derivar la función. 2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0. 3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese) 4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Si f'(x) > 0 es creciente. Si f'(x) < 0 es decreciente. 5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ejemplo Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: