CALCULO DIFERENCIAL

Definición funciones crecientes y decrecientes

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo..
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo, .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]. 

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una función continua en el intervalo cerrado  y derivable en el intervalo abierto .

1. Si  es creciente en 
2. Si  es decreciente en 
3. Si  es constante en 

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x² − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación f(x) = (x + 1) / (x − 1), con x ≠ 1.

La derivada de f es f'(x) = − 2 / (x − 1)².

Como (x − 1)²es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además − 2 < 0entonces f'(x) < 0para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

Ejemplo 3

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x² + (1 / x²) con x ≠ 0.

La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x³) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)(x² + 1)] / x³

Como 2(x² − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x³ > 0 y

f'(x) < 0 

←→ [(x − 1)(x + 1)] / x³ < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .

Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − ∞, − 1)U(0,1) .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Ejemplo 4

Trace la gráfica de la funcion definida por

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1

Determine a partir de la gráfica los extremos relativos de f, los valores de x en los que ocurren los extremos relativos, los intervalos en los que f es creciente, y en los que f decrece. Confirme analíticamente la información obtenida gráficamente. Solucion La siguiente grafica muestra a f trazada en el rectángulo de inspección de [ − 3,5] por [ − 2,6]. A partir de esta gráfica, se determina que f tiene un valor máximo relativo de 5 en x = 1, y un valor mínimo relativo de 1 en x = 3. También, a partir de la gráfica se determina que f es creciente en los intervalos ( − inf,1] y [3,inf), y es decreciente en el intervalo [1,3]. 

Ahora se confirmará esta información mediante el criterio de la primera derivada calculando primero la derivada de f:

F(x) = 3x² − 12x + 9

Los únicos números críticos son aquellos para los que F(x) = 0:

3x² − 12x + 9 = 0

3(x − 3)(x − 1) = 0

x = 3x = 1

Por tanto, los números críticos de f son 1 y 3. Para determinar si f tiene un extremo relativo en estos números, se aplica el criterio de la primera derivada y los resultados se presentan en la tabla:

Las conclusiones de la tabla confirman la información determinada gráficamente.

Ejemplo 5

Sea

Determine los extremos relativos de f y los valores de x en donde ellos ocurren. También determine los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente. A poye las respuestas gráficamente.

Solucion Al diferenciar f se tiene

Como F(x) no existe cuando x = 0 , y F(x) = 0 cuando x = − 1, entonces los números críticos de f son -1 y 0. Se aplica el criterio de la primera derivada y se resumen los resultados en la giguiente tabla:

La informacion de la tabla se apoya a trazar la gráfica de f en el recángulo de inspeccion de [ − 7.5]por[ − 5,5], como se muestra en la siguiente gráfica 

Demostración

Creciente

Supongamos que  y sean x₁ < x₂ dos puntos arbitrarios del intervalo. Por el teorema del valor medio, sabemos que existe algún c tal que x₁ < c < x₂, y

f′(c)=f(x2)−f(x1)x2−x1

Como f'(c) > 0 y

x₂ − x₁ > 0, sabemos que

f(x2)−f(x1)>0

de donde se deduce que f(x₁) < f(x₂). Así pues, f es creciente en el intervalo.

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