Electricidad

Circuitos acoplados

Inducción mutua Con frecuencia el flujo a través de un circuito varía con el tiempo como consecuencia de las corrientes variables que existen en circuitos cercanos. Se produce una fem inducida mediante un proceso que se denomina inducción mutua. Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos dos circuitos acoplados formados por una espira y un solenoide, tal como se muestra en la figura. Supongamos que el solenoide está formado N espiras, de longitud l y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i1. Denominaremos circuito primario al solenoide y secundario a la espira. 1.- El campo magnético creado por el solenoide (primario) suponemos que es uniforme y paralelo a su eje, y cuyo valor hemos obtenido aplicando la ley de Ampère 2.-Este campo atraviesa la sección de la espira (secundario), el flujo de dicho campo a través de la espira vale. S es la sección del solenoide, no de la espira, ya que hemos supuesto que fuera del solenoide no hay campo magnético. 3.-Se denomina coeficiente de inducción mutua M al cociente entre el flujo a través del secundario F2 y la intensidad en el primario i1. El coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría de los circuitos y de su posición relativa. La unidad de medida del coeficiente de inducción mutua se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry. f.e.m. inducida Cuando la intensidad de la corriente i1 en el primario cambia con el tiempo, se induce en el secundario una f.e.m. V2 que se opone a los cambios de flujo. Aplicamos la ley de Faraday. derivando el flujo que atraviesa el secundario F2=M·i1 respecto del tiempo La fem en el secundario V2 siempre actúa en el sentido que se opone a la variación del flujo producido por el primario. El transformador Hace algo más de un siglo que se inventó este dispositivo que ha hecho posible la distribución de energía eléctrica a todos los hogares, industrias, etc. Si no fuera por el transformador tendría que acortarse la distancia que separa a los generadores de electricidad de los consumidores. El transformador lo encontramos en muchos lugares, en las lámparas de bajo consumo, cargadores de pilas, en sótanos de edificios, en las centrales hidroeléctricas y otros generadores de electricidad. Su tamaño puede variar desde muy pequeños a enormes transformadores que pueden pesar más de 500 Tm. El primario y el secundario de un transformador tienen el mimo núcleo de hierro que asegura que el flujo a través de cada espira sea el mismo. Sea j el flujo del campo magnético a través de cada espira. Si la corriente en el primario i1 varía con el tiempo se produce en el secundario una fem inducida V2. Si cambiamos los papeles de modo que el secundario pase a ser primario y viceversa Dividiendo ambas expresiones, obtenemos la relación de transformación Por ejemplo si el secundario tiene N2=5N1 resulta que V2=5V1, y dicho transformador aumenta en el secundario la tensión del primario y se llama transformador elevador. Para que un transformador sea reductor deberá tener menos espiras en el secundario que en el primario. Si no hay pérdidas de energía en el proceso de transformación por corrientes de Foucault y otras pérdidas en el núcleo laminado de hierro, se cumplirá que la energía por unidad de tiempo (potencia) en el primario será la misma que en el secundario P=i1·V1=i2·V2Ejemplo Una radio funciona con corriente de 9V y 360 mA. Si el primario del transformador tiene 440 vueltas. ¿Cuántas hemos de ponerle al secundario? Transformamos una tensión en el primario de 220 voltios a 9 voltios en el secundario Si no hay pérdidas de energía. La potencia en el primario debe ser igual a la del secundario. 220·i1=9·360 por lo que i1=14.7 mA Al aumentar la tensión disminuye la intensidad, este hecho es empleado para transportar la electricidad a grandes distancias reduciendo las pérdidas por efecto Joule. En una central eléctrica, el generador está conectado al primario de un transformador de elevación de tensión, mientras que las líneas de transporte de electricidad están conectadas al secundario. En el primario hay una intensidad alta, con un valor moderado de la tensión. En el secundario, la tensión se eleva hasta cerca de 500 000 V y por consiguiente, la corriente en el secundario se reduce en la misma proporción. Como las pérdidas por efecto Joule son proporcionales al cuadrado de la intensidad, al disminuir la intensidad en el secundario se reducen las pérdidas por calentamiento. En el otro extremo de la línea, debe utilizarse un transformador reductor para disminuir la tensión, de forma que podamos usar la electricidad de forma más cómoda y segura, y podamos disponer de una corriente de mayor intensidad.

Consideremos dos circuitos acoplados formados por una bobina y una espira que tienen el mismo eje y están situadas en planos paralelos separados una distancia z. La bobina está formada por N espiras apretadas de radio a, y la espira tiene un radio b.

La bobina constituye el primario de nuestro circuito acoplado, por el que va a circular una corriente alterna de frecuencia angular w y intensidad I1.I1=I01·sen(w t). Queremos calcular la intensidad I2 que circulará por la espira (secundario) sabiendo que su resistencia es R.

Para calcular el coeficiente de inducción mutua M de dos circuitos acoplados, hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el campo magnético producido por el primario,
2. Hallar el flujo del campo magnético producido por el primario a través del secundario
3. Obtener la expresión del coeficiente de inducción mutua, dividiendo dicho flujo entre la intensidad que circula por el primario.

El primer paso requiere aplicar la ley de Biot-Savart para determinar el campo magnético producido por una espira .

Flujo del campo magnético a través del secundario

Sea I₁ la corriente que circula por el primario. Calculamos el flujo del campo magnético producido por el primario a través del área encerrada por la espira de radio b(secundario).


Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.
El elemento diferencial de área es el área de un anillo de radio y y de anchura dy, su área es dS=2p y·dy

Coeficiente de inducción mutua

Se define coeficiente de inducción mutua M como el cociente entre el flujo que atraviesa el secundario F₂ entre la intensidad que circula por el primario I₁.

Si la espira está alejada de la bobina, podemos obtener una expresión aproximada para M siempre que se cumpla que

La expresión del coeficiente de inducción mutua M es

Ya hemos visto como se puede calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos circuitos. Ahora emplearemos la fórmula alternativa.

donde dl₁ es un elemento del primer circuito, dl₂ es un elemento del segundo circuito y r es la distancia entre ambos elementos. (Véase Lorrain P., Corson D. R.. Campos y Ondas Electromagnéticas, Selecciones Científicas, págs 366-367).

Como vemos en la figura, el elemento de corriente es un arco infinitesimal de circunferencia (arco igual a radio por ángulo comprendido)  dl₁= r₁·dq₁ y dl₂= r₂·dq₂

Las componentes de los vectores dl₁ y dl₂ son

 dl₁= r₁·dq₁(-senq₁ i+cosq₁ j)
dl₂= r₂·dq₂(-senq₂ i+cosq₂ j)

El vector r que tiene por origen el punto A (r₁·cosq₁, r₁·senq₁, 0) y extremo el punto B (r₂·cosq₂, r₂·senq₂, z), 

r=(r₂·cosq₂-r₁·cosq₁)i+(r₂·senq₂-r₁·senq₁)j+zk

Su módulo, o la distancia r entre dichos elementos de corriente es

Tenemos que calcular la integral doble

Si el circuito primario consta de N₁ espiras iguales apretadas, y el circuito secundario consta de una sola espira, el coeficiente de inducción mutua es

El coeficiente de inducción mutua entre dos espiras de radios a y b, coaxiales y distantes z,  se puede expresar en términos de las integrales elípticas completas de primera K(m) y segunda especie E(m), mediante la fórmula que damos sin demostración.

Si en vez de espiras, son bobinas de espiras apretadas de N_a y N_b vueltas se multiplica el coeficiente de inducción mutua de dos espiras por el producto N_a·N_b.

Actividades

Se introduce

• El radio a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio a
• El radio b, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio b
• La distancia z entre las dos espiras, en el control de edición titulado Distancia

Se pulsa en el botón titulado Calcular

El programa interactivo calcula el coeficiente de inducción mutua M en unidades de μ₀=4π·10^-7 .

Ley de Faraday

La corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magnético que varía con el tiempo. El flujo F₂ de dicho campo a través del anillo es
F₂=M·I₁
donde M es el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I₁ es de la intensidad de la corriente en el solenoide que varía con el tiempo de la forma
I₁=I₀₁·sen(w t)
Donde I₀₁ es la amplitud y w frecuencia angular w =2p f. En Europa f=50 Hz y en Estado Unidos f=60 Hz.
Aplicando la ley de Faraday, se obtiene la fem inducida V_e en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo. Aplicando la ley de Lenz, se determina el sentido de la corriente inducida.

La corriente inducida I₂ en la espira de resistencia R es

Actividades

En la simulación tenemos dos circuitos acoplados

• El circuito primario es una bobina formada por N=100 espiras de radio a=3.5 cm de radio
• El circuito secundario es una espira de radio b que está situada a una altura z sobre la bobina.

Se introducen los siguientes datos relativos a la corriente que circula por el primario.

• La frecuencia f en Hz en el control de edición titulado Frecuencia. Recordar que la frecuencia angular vale w =2p f
• La amplitud de la intensidad I₀₁ en amperios en el control de edición titulado Intensidad.
• La resistencia de la espira se obtiene aplicando la fórmula

Para una espira de radio b, hecha de un cable de aluminio de resistividad r =2.8·10^-8 W ·m cuya sección es de 5 mm de radio
R=2.24·10^-3b W .
La resistencia se ha elegido, de modo que la intensidad de la corriente en la espira (secundario) sea del mismo orden de magnitud que la corriente en la bobina (primario).

A continuación, los datos relativos a la espira (secundario)

• Su radio b en cm en el control de edición titulado Radio.
• La distancia z en cm entre los planos de la espira y de la bobina en el control de edición titulado Distancia.

Se pulsa el botón titulado Empieza.

• Podemos ver la corriente en la bobina (primario) representada por el movimiento de puntos de color azul.
• La corriente inducida en la espira (secundario) representada por el movimiento de los puntos de color rojo.

Se representa las componentes del campo magnético B_y y B_z en los siguientes puntos (0, z), (b/2, z) y (-b/2, z), mediante flechas de color azul.
Se representa la corriente en la bobina (primario) y la corriente inducida en la espira (secundario) en función del tiempo en la parte derecha del applet.
En la parte superior del applet, se muestra el valor del coeficiente de inducción mutua M.
Se sugiere al lector que compruebe la ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida cada cuarto de periodo.
Ejemplo 1
Si el radio de la espira b=3.5 cm y la distancia z=5 cm el coeficiente de inducción mutua vale M=9.67·10^-7 H. La resistencia de la espira vale
R=2.24·10^-3·0.035=7.84·10^-5 W
Si por el primario circula una corriente de frecuencia f=50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I₀₁=10 A. La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

La amplitud de la intensidad inducida es I₀₂=38.7 A
Ejemplo 2:
La espira tiene un radio b pequeño y está alejada de la bobina
Por ejemplo b=1 cm y z=10 cm.
El coeficiente de inducción mutua podemos calcularlo por la fórmula aproximada

Mediante cálculo numérico, empleando integrales elípticas, el valor que obtenemos es de 2.01·10^-8 H
La resistencia de la espira es
R=2.24·10^-3·0.01=2.24·10^-5 W
Si por el primario circula una corriente de frecuencia f=50 Hz y la amplitud de la intensidad vale I₀₁=10 A.
La intensidad inducida que circula por la espira (secundario) es

La amplitud de la intensidad inducida es I₀₂=2.82 A