Geometría

1. Artzt parábola y Steiner elipse exterior

Parábolas Artzt de un triángulo (de primera clase) están relacionados con la elipse Steiner exterior. La siguiente figura ilustra la conexión.
Comience con el centro de gravedad G de la ABC, la AG mediana, G 'el medio de AG y Q' el otro punto de la mediana con la elipse Steiner exterior intersección.
Tome un punto P sobre la base del triángulo AC ABC y dibujar un PP paralelo "a la AG mediana.
Definir P 'para ser el punto de este paralelo con la línea paralela a la base BC a G' intersección.
definir Finalmente Q ser el otro punto de intersección de la línea con Q'P la elipse exterior Steiner.
[1] Los triángulos AP'G y GPQ 'son iguales. GP'QP es un trapecio.
[2] El punto W intersección de las diagonales de este trapecio describe el Artzt parábola p _BC del triángulo ABC (ver Artzt.html ).

Una muy simple prueba de estos hechos resulta aplicando una afinidad a un caso trivial del teorema relativo a un triángulo equilátero. En ArtztIsosceles.html hay una discusión análoga para el caso de un triángulo isósceles. Los resultados Se aplican, en particular, para el caso de un triángulo equilátero. Luego, utilizando la afinidad que mapea el vértices + centroide del equilátero con vértices correspondientes + centroide del triángulo en general se obtienen las pruebas de las propiedades declararon.

 2. Homografía mapeo elipse a parábola

Como es bien conocido (ver Projectivity.html ) una proyectividad se define mediante la prescripción de los puntos de imagen {Y _i , i = 1, .. 4} de cuatro puntos {X _i , i = 1, ..., 4}, en general, posición. Por lo tanto hay una proyectividad F única con las propiedades:
(i) F corrige puntos {B, C, G} y
los mapas (ii) F A a W ₀ .
- Se deduce fácilmente (ejercicio) que F corrige todos los puntos de la línea BC y también deja invariante cada línea que pasa por G (mapas de dicha línea en sí mismo la fijación de G y su punto de intersección con BC).
- El uso de este y la invariancia de la línea medial AG se ve fácilmente que cada línea paralela a BC se asigna a una línea también paralela a BC. En particular, el paralelo a BC a través de A mapas hasta el paralelo a BC a través de W ₀ .
- Uso de relaciones cruzadas allong línea AG se ve fácilmente que la línea tangente t de la elipse en mapas Q 'a través de F a la línea en el infinito .
- De el resultado anterior se deduce también de inmediato que las tangentes {t _B , t _C } a la elipse en {B, C}, un mapa a través de F a lados {BA, CA} respectivamente.
- A partir de estos hechos sigue, que los puntos {A, B , C} y los tangentes a la elipse en estos puntos se asignan a {W ₀ , B, C} y los tangentes a la parábola en estos puntos correspondientemente. Por lo tanto, también los mapas de la elipse a través de F al Artzt parábola c .

 3. Generalización de cónica triángulo arbitrario

La elipse Steiner exterior es el distinguido modelo de las más generales cónicas triángulo (ver TriangleConics.html ) que circunscribe un triángulo dado y está determinado a través de un punto en particular no en las líneas laterales del triángulo, llamado perspector del triángulo cónica. Los diferentes cónicas triángulo se permutan por projectivities fijan los vértices del triángulo y Cartografía sus perspectors, uno para el otro. Por lo tanto, todas las propiedades proyectivas obtenidos para una cónica triángulo en particular (como Fe la elipse Steiner exterior) pueden ser transferidos por projectivities apropiadas para cualquier otra cónica triángulo.

 Tres cónicas asociadas a un circumconic

Considere un triángulo arbitrario ABC y un k circumconic de ella con perspector en el punto S. Sea s el trilineal polar de S con respecto al ABC. Puntos {A *, B *, C *} son, respectivamente, las intersecciones de {AS, BS, CS} con s, y los puntos {A ₀ , B ₀ , C ₀ } son los otros puntos de intersección de las mismas líneas con el circumconic k. Fijar un vértice, un decir y su lado opuesto antes de Cristo.Los siguientes resultados son válidos también para las construcciones relativas a los otros lados correspondiente.
[1] El k cónica _Una tangente a las líneas {AB, AC} en {B, C} y que pasa por A * es tangente allí a los s polares trilineales.
[2] Le punto P varían en la línea BC y P 'es la intersección de A * P con el s polar' de S con respecto a k _A . Que también Q el otro punto de intersección de la línea A ₀ P con el k cónica. Las diagonales de PCPS cuadrilátero 'se cortan en un punto W tirado en el k cónica _A . Tenga en cuenta que la s polar 'es también el conjugado armónico de los s polares trilineales con respecto al par de líneas de A'A y A'S.
[3] Considere el otro que un punto de intersección A * ₂ de la línea AS con el k cónica _A , entonces la relación transversal (A, A ₂ , S, A *) = 4.
[4] Sean A ₁ ser la intersección de la línea AS con el s polar 'de S con respecto a k _A . El proyectividad F _A se define por las condiciones (i) que fija puntos {B, C, S}, y (ii) se asigna a A A * ₁ . F _A es un perspectivity mapeo de la k circumconic ak _A .
[5] Los tres cónicas análogamente definidos {k _A , k _B , k _C } se permutó por el grupo diedro generado por las tres reflexiones proyectivas {R _A , R _B , R _C }. R _A se define como la fijación proyectividad {A, S} e intercambiando {B, C}. R _A coincide con el perspectivity armónica con centro en A 'y el eje de la línea AS, que es común polar de A' con respecto tanto a las cónicas kyk _A . Análogamente se definen los otros dos reflexiones.

Las pruebas de los estados siguen inmediatamente mediante la aplicación de una proyectividad apropiado a la configuración correspondiente resultante cuando S obtiene la posición del centroide de ABC. En ese caso, las tres cónicas {k _A , k _B , k _C } se convierten en las tres parábolas Artzt del triángulo a y el debate correspondiente se pueden encontrar en ArtztSteiner.html .

Artzt-Steiner intersección

Considere una parábola (c) y el triángulo formado por dos tangentes AB, AC y su acorde de contactos BC. Line FE de unirse a los middles de AB, AC es también tangente a (c) en su parte media K. Este es uno (de tres) Artzt parábola para ABC. Para encontrar los puntos de intersección de (c) con la elipse Steiner interior (tocando el triángulo en los centros que de los lados).
La respuesta es: en el paralelo a BC desde el centro de gravedad a la distancia BC / (2 * sqrt (3)) de eso.

La prueba se puede reducir a un canónica parábola. Es decir la parábola análoga cuando ABC es equilátero (abajo). En ese caso la elipse Steiner es la circunferencia inscrita del triángulo y la intersección con la parábola se calcula fácilmente a occure en estos puntos. La prueba es luego transferido al caso general a través de una afinidad que los mapas de los vértices de la equilátero con vértices del triángulo general correspondiente.