Geometría

 Artzt parábola en triángulo isósceles

Considere un triángulo isósceles ABC y su circunferencia circunscrita O (r). Dibujar una línea 'paralelo a su base una hacia el mismo lado con el punto A y a una distancia r desde una. Tome punto P que varía en función a y sea P 'ser el punto de intersección con un "de la línea ortogonal a una y que pasa por P.
[1] Draw OP "y el QQ acorde" a través de P y paralela a OP '. Q 'es un punto fijo en el círculo.
[2] OAP'P y OP'PQ 'son paralelogramos. OPQP cuadrilátero 'es un trapecio isósceles.
[3] El punto W de las diagonales del trapecio intersección describe una parábola c .
[4] Esta parábola es la parábola Artzt que pasa a través {B, C} y la tangente allí a los lados de la triángulo.

Las pruebas son fáciles.
[1] se deduce del hecho de que el dibujo OQ 'ortogonal a una, la OP'PQ resultante' es un paralelogramo.
[2] se deduce a partir de [1] y la igualdad OQ = OA = P'P = r .
[3] se desprende del hecho de que la línea medial t _W de OP 'pasa a través de W, que coincide con el punto de intersección de esta línea t _W y la línea P'W vertical a una 'en P'. Esta es una definición estándar de la parábola. W describe una parábola con foco en O y la directriz de la línea de una ".
[4] se desprende del hecho de que t _W obtiene las posiciones de {AB, AC} cuando OP 'es respectivamente ortogonal a estas dos líneas (ver Artzt.html para la definición de estas parábolas).

 2. Homografía mapeo círculo para Parábola

Como es bien conocido (ver Projectivity.html ) una proyectividad se define mediante la prescripción de los puntos de imagen {Y _i , i = 1, .. 4} de cuatro puntos {X _i , i = 1, ..., 4}, en general, posición. Por lo tanto hay una proyectividad F única con las propiedades:
(i) F corrige puntos {B, C, O} y
los mapas (ii) F A a W ₀ .
- Se deduce fácilmente (ejercicio) que F corrige todos los puntos de la línea BC y también deja invariante cada línea que pasa por O (mapas de dicha línea en sí mismo la fijación de O y su punto de intersección con BC).
- El uso de este y la invariancia de la línea AO se ve fácilmente que cada línea paralela a BC se asigna a una línea paralela también a BC. En particular, el paralelo a BC a través de A mapas hasta el paralelo a BC a través de W ₀ .
- Uso de relaciones cruzadas allong línea AO se ve fácilmente que la línea tangente t del círculo en mapas Q 'a través de F a la línea en el infinito .
- De el resultado anterior se deduce también de inmediato que las tangentes {t _B , t _C } al círculo, mapas a través de F a lados {BA, CA} respectivamente.
- A partir de estos hechos de la siguiente manera, que los puntos {A, B, C} y las tangentes al círculo en estos puntos mapa para {W ₀ , B, C} y los tangentes a la parábola en estos puntos correspondientemente. Por lo tanto, también los mapas del círculo a través de F al Artzt parábola c .

 3. Artzt parábola y circumcircle

Las propiedades anteriores indican una relación entre la parábola Artzt y la circunferencia circunscrita del triángulo. Esta relación no generaliza inmediatamente a los triángulos arbitrarios, sus circunferencias circunscritas y sus parábolas Artzt. No es sin embargo una generalización que implica la elipse exterior Steiner.

En parábolas Artzt de isosceli

Hay varias maneras de generar las parábolas Artzt (ver Artzt.html y las referencias allí). Aquí expongo un particular a las isósceles y la tangente a la parábola sus piernas iguales.
Empiece con la parábola c sí mismo y considero un punto P que varía en él. Tome también dos puntos arbitrarios {A, C} en el eje de simetría M de los isósceles. Dibuja dos líneas a través P: (i) AP línea y (ii) la M paralelo _P a M de P. Segunda línea cruza la base L del triángulo en un punto E. Definir punto Q para ser el punto de intersección de las líneas de AP y CE. Como P se mueve en el punto c Q describe una cónica c '. La prueba sigue como un caso especial de una generación cónica discutido en MaclaurinLike.html . Los supuestos de la propiedad resultaron no se aplican si uno complementa los dos puntos {A, C} en la línea M con su punto en el infinito B. Luego línea M _P definido anteriormente desempeña el papel de BP en la referencia antes mencionada. Por la discusión en ese referencia también sabemos que hay una proyectividad mapeo de la parábola a la c c ', que es un perspectivity con relación homología k = (A, O, B, C). Se obtiene Esta relación también para todos cuádruples de puntos como (A, P ', P, Q), donde P' es el punto de intersección de la AP con la línea L. En particular, cuando P tiende a infinito (= B), entonces P '= O y Q = C, por lo tanto k = (A, O, B, C) ​​= CO / CA. El uso de este podemos encontrar otro punto de intersección C'of c 'con la línea M y construir la cónica.

Problema
Encontrar todas las posiciones de {A, C} para el que el correspondiente cónica c 'es un círculo.
- Como se ve en ArtztIsosceles.html la circunferencia circunscrita es un caso tal, pero hay infinitos círculos que tienen esta propiedad.
- De hecho, cada círculo-miembro del haz a través de puntos {i, j} tiene esta propiedad.

Generación Parábola usando un círculo

Considere un IJ acorde de una parábola c, que es ortogonal a su eje. Que también c 'sea un círculo en el mismo IJ acorde. Considere un punto P se mueve en la parábola c y dibujar un paralelo a su línea de intersección del eje JI en E. Sea Q el segundo punto de intersección de la línea AE con el círculo, donde {A, H} son puntos diametrales del círculo en el eje de la parábola. Vamos también O sea el centro de la AC y O _P el punto de intersección de PQ con JI. Por último sea C el punto de intersección de PQ con el eje de la parábola. Los cálculos a continuación se realizan en el sistema de coordenadas con origen en O, línea de JI como eje X y la línea OH como y- eje. Las siguientes propiedades.
[1] C es un punto fijo en el eje.
[2] La cruz-relación de k = (C, O _P , P, Q) es constante.
[3] Los puntos de fijación proyectividad {I, J , C} y la cartografía de G a H es un perspectivity con coeficiente de homología k y mapas de la parábola al círculo.

Las propiedades se siguen de la primera, que es un cálculo fácil. De hecho, si D (0, d) el centro del círculo, E (x, 0), entonces P (x, y) es de la forma (parábola) y = sa * x ² , con s / a = DO ² R = ² - d ² .Entonces EQ * EA = EJ * EI = (DO-x) * (DO + x) = DO ² -x ² ... etc .. que conduce a AC = 2a (R ² -d ² ) y la constancia de C.
De esto se desprende la constancia de k y esto implica la tercera propiedad por la definición misma del perspectivity (ver Perspectivity.html ). Observación Esta es otra vista de los posibles perspectivities que asignan un círculo a una parábola.