Geometría

Affine reflexión

Reflexiones afines representan el tipo más simple de las afinidades y también casos especiales de homologías axiales afines (véase Affinity.html y Affinity_Fixed_Point.html ). Se generalizan las reflexiones euclidianas y se definen dando dos líneas {L, L '}. L se llama el eje y L 'es la dirección conjugado . La transformación correspondiente menudo denota por f = (L, L ') asociados a cada punto P del plano de un punto P', de manera que el PP 'es paralela a L' y su medio M está en la línea L.

La diferencia a la habitual reflexión euclidiana es que el "espejo" L ahora es no necesariamente ortogonal a la dirección conjugado L '.
propiedades siguientes son consecuencias inmediatas de la definición:
1) reflexiones afines dejan todos los puntos del "espejo" L fijo.
2) Dejan también invariantes todas las líneas L '' paralela a L '.
3) Se mapa cada línea paralela al espejo L para su paralelo simétrico con respecto a L.
4) Son mapas involutivos es decir, su inversa es igual a el propio mapa o f ² = Id (dos veces aplicando el mapa da la identidad).

 2. afinidades involutivos

Siguiente proposición es una caracterización general de la afín reflexión relacionados con su propiedad (4) anterior.
Una diferente de la identidad afinidad involutivo F (F es decir, satisfaciendo ² = Id) es o bien una simetría en un punto (llamado a menudo un medio giro ) o una reflexión afín . La clave aquí es la consideración de un punto arbitrario X, su imagen X 'y la línea N de estos dos puntos. Obviamente N es invariante por F y hay dos casos. 1) Todas las líneas N = XX 'para todos los puntos posibles son paralelas o idénticos. 2) Hay dos puntos {X, Y} para los cuales XX 'e YY' se cortan en un punto O. En ambos casos el medio de M XX 'se asigna a sí mismo, ya que M' = F (M) es también un punto de la línea XX 'y por la preservación de las relaciones de afinidades por M'X' / M'X = MX / MX '= -1. Por lo tanto, en el primer caso la definición de la reflexión afín es satisfecho. La línea L 'está determinada por la dirección común de XX' y la línea L se determina por dos puntos {X, Y} y sus imágenes {x ', y'} tomando los centros que {O, O '} de los segmentos {XX 'YY'} respectivamente. En el segundo caso O es, obviamente, un punto fijo de F y es el medio común de XX 'e YY' por la misma razón que antes.

Por lo tanto, XYX'Y 'es un paralelogramo y por una relación de argumento nuevo que ver con facilidad que cada punto P de XY se asigna al-O simétrica punto P' de X'Y '. La prueba se ha completado, mostrando (usando de nuevo la preservación de las relaciones) que cada punto de OP se asigna a su O-simétrica en OP '.

 3. Traducciones

El producto f ₂ f * ₁ de dos reflexiones f ₁ = (L ₁ , V) y f ₂ = (L ₂ , V) con ejes paralelos L ₁ , L ₂ y dirección conjugada común es una traducción es decir, un mapa definido por una vector fijo v que a cada punto P corresponde P '= P + v .

La prueba se deduce de la imagen. F ₁ (A) = B, F ₂ (B) = C implica que AC es el doble de la DE es decir, la distancia de L ₁ , L ₂ en la dirección V . Esto define un vector de constantdirection (el de V) y la longitud ( v = AC es un vector libre de longitud fija y dirección), por lo tanto, muestra la reclamación. Observación-1 Aviso de que el ingrediente relevante en la representación de la traducción como un producto de reflexiones es la dirección conjugado . De hecho podemos "pasar" los dos paralelos {L ₁ , L ₂ } a una nueva posición cuidando únicamente que su distancia en la dirección V sigue siendo el mismo e igual a la mitad de la medida del v . A continuación, la traducción puede ser representado de nuevo como un producto de thetwo reflexiones con respecto a las dos líneas paralelas en su nueva posición. Observación-2 Traducciones construir un subgrupo del grupo de todas las afinidades del plano. La composición f ₂ f * ₁ de dos traducciones de los vectores v ₁ , v ₂ es la traducción por el vector v ₁+ v ₂ .Esta no es así para el conjunto de reflexiones. El producto de dos reflexiones no es una reflexión. La representación anterior de una traducción como un producto de dos reflexiones da un contraejemplo.

 4. Tijeras

Tijeras son productos s = g * f de dos reflexiones afines {f, g} cuya "espejos" son idénticos. La siguiente figura muestra la imagen s (P) = g (f (P)) de un punto típico P bajo una composición de transformaciones tales. Línea L es el espejo común de las dos reflexiones, el segmento AB define la dirección conjugado de f y el segmento BC define que de g.

La observación básica es que triángulo PP'P "con vértices {P, P '= f (P), P' '= g (P')} ha ángulos fijos, es decir, los triángulos resultantes para diversas posiciones de P son todas similares a cada .. otra Por lo tanto, también la dirección de la MP mediana '' es fijo y todos los triángulos PMP '', también son similares entre sí Esto permite una construcción rápida de P '' una vez que la dirección de la MP mediana '' se ha determinado:
1) Proyecto de P en el primer espejo L a lo largo de la dirección de conjugado L 'de f al punto M.
2) Dibuje de M paralela a la dirección de la mediana y encontrar su intersección P '' con el paralelo de P a L el espejo .
Los puntos de la espejo L se dejan fijados por el cizallamiento. Además cada paralela a L se deja invariante por la cizalla que, restringido allí, coincide con una traducción. Por lo tanto, P en movimiento en la paralela a L a través de ese punto da un punto P '' = s (P) de forma que el PP '' es paralela a L y tiene una medida constante (el doble que en MN). Observación El producto representa el esfuerzo cortante s = g * f es no conmutativa g * f es en cambio la inversa de f * g. Así se desprende de las propiedades elementales del paralelogramo:

 5. Las cepas

Si una afinidad f fija una línea L, entonces es o bien una cizalla o una cepa . Más tarde es la transformación algo más general que una reflexión afín. Se define por lo cual la línea L y dos puntos de {P, F (p)}.

Suponga que el PP 'no es paralela a L y considerar el punto de intersección Q de la línea PP' con el eje. Aviso primera que la línea PP 'es decir, mapas invariantes a sí mismo bajo f. Entonces, para cualquier punto X y su imagen X '= f (X) dibujan el XY paralelo al PP' L cortan en Y. Por la preservación de los paralelos por afinidades y la constancia de Y sigue esa línea XY se deja invariante por f, por lo tanto, X 'es el XY. Es entonces fácil ver que PX y P'X 'se cruzan en un punto Z de L y X'Y / XY = QP' / QP es constante. Así, la imagen X 'se encuentra en este caso por una receta simple:
1) Dibuje de X paralelo a un PP '.
2) Tomar X 'en este paralelo de modo que YX' / YX = QP '/ QP, donde Y es el punto de intersección de XX 'con L.
L se llama de nuevo el eje de la cepa y la dirección del PP '(o cualquier otro XX') se denomina la dirección conjugado de la cepa. La relación constante k = YX '/ YX se llama la proporción de la cepa.Observación-1 Una reflexión afín es una cepa especial para el que la relación k = -1. Observación-2 El caso excluidos en la que PP 'es paralela a L Es el caso de una cizalla (ver sección 5 deAffinity_Fixed_Point.html ). De ello se desprende que las únicas transformaciones afines que dejan una sola línea L fijo son cizallas y cepas que tienen L para el eje .

 6. Conjugación de traducciones

Sea f = (L, V) sea una reflexión y traducción ta definido por el vector v . Entonces la transformación conjugado f '= t * f * t ^-1 es la reflexión
f '= (t (L), V).

Demostración por imagen. Y = t (X), y '= t (X') y la correspondencia de Y 'a Y coincide con la reflexión afín en t (L). Las direcciones conjugadas de f y f 'son los mismos.

 7. La conjugación de reflexiones

La siguiente figura muestra la prueba del hecho más fundamental que el conjugado f '= g * f * g ^-1 = g * f * g de una reflexión por otro es de nuevo una reflexión. Reflexion f se describe
como f = (L ', V'), g = (L, V) y f '= (L' ', V' ').

La prueba sigue mediante la observación de que para un punto de X arbitraria su imagen C = f (X) de la intersección de XC con L y la proyección B de C en L a lo largo de la dirección de la V se define un triángulo ABC. Este triángulo tiene un tipo de similitud invariante para todas las posiciones de X, de ahí el CAD triángulo resultante mediante la ampliación de su doble base CB tiene también un tipo similitud constante. Tome entonces D = g (C), X '= g (X) y {M, N}, respectivamente, los centros que de {XC, DX'}. Triángulos HOMBRE resultante para las diversas posiciones de X son todas similares entre sí y sus vértices {A, M} movimiento en las dos líneas fijas {L, L '}, de ahí su otro vértice N variará también en una línea fija L' '. Obviamente la correspondencia de X 'a D define la reflexión afín f' = (L '', V '') = g * f * g = g * f * g ^-1 . Observación-1 Desde traducciones son producto de dos reflexiones sobre este resultado implica el resultado de la sección anterior. Observación-2 El conjugado dirección V '' de f 'es el conjugado armónico de AC con respecto al par (AB, AW), donde AW es la paralela a la dirección V de A. Del mismo modo el eje L '' de f 'es el conjugado armónico de L' con respecto a la par de líneas (L, OU) siendo más tarde la paralela a V de O.

 8. Reflexión y la traducción (reflexiones de deslizamiento)

El producto s = t * f de una reflexión y una traducción puede ser analizado más. El análisis depende de la posición relativa de los tres elementos que determinan los dos factores f = (L, V) y el vector de traslación (t). El caso general es que para que estas direcciones son independientes (paralelo a los lados de un triángulo).

Entonces, de acuerdo a la sección 3 podemos escribir la traducción en t = f '' * f 'como un producto de dos reflexiones, donde los ejes de {f', f ''} son paralelos L. Incluso podemos traducir {L ₁ , L ₂ } de modo que la L ₁ coincide con L. Así, en este caso la transformación original, s = t * f pueden escribirse también en la forma f ₂ * f ₁ * f, donde f { ₁ , f ₂ } tienen el misma dirección conjugado con el de {f ', f' '} y el eje de f ₁ coincide con la de f.

La figura anterior muestra la configuración resultante para la representación de s = f ₂ * f ₁ * f y las imágenes de un punto X en virtud de las diversas transformaciones.
                                                            X ₀ = f (X), X '= f ₁ (X ₀ ) = f ₁ (f (X)), X '' = f ₂ (X ') = f ₂ (F ₁ (f (X))) = s (x).
Se comprueba fácilmente que en este caso la transformación puede ser escrito como una composición de la reflexión afín f ₃ = (L ₂ , V), el mapeo de X a X ₁ y la traducción X ₁ a X ''. Este ser paralela a L ₂ y la longitud X ₁ X '' ser constante, ya triángulo X ₀ X ₁ X '' es siempre similar a sí misma y X ₀ X '' tiene la longitud del vector de traducción original. Tales composiciones de una reflexión más uno traducción en dirección paralela al eje de reflexión se llaman reflexiones de deslizamiento afines . Estas son sus propiedades
1) Línea L ₂ mapas a sí mismo. S restringidas a L ₂ coincide con una traducción (por lo tanto no tiene puntos fijos en L ₂ ).
2) Cada línea N paralela a L ₂ (o / y L) los mapas a la línea N ", que es simétrica a N con respecto a L ₂ .
3) La transformación s no tiene puntos fijos en absoluto si el vector de traslación no es cero.
Dos casos especiales para s = t * t surgir cuando (a) t es paralela a V y (b) t es paralela a L . (a) En el primer caso la descomposición previa de la traducción puede hacerse utilizando f sí mismo: t = f ₂ * f y el producto final s = f ₂ * f * f = f ₂ es la reflexión sobre L ₂ en el dirección de (t). (B) En el segundo caso tenemos de nuevo una reflexión de planeo afín .