sábado, 16 de mayo de 2015

Geometría


Afinidades

Estos son invertibles transformaciones del plano sobre sí mismo, que, la fijación de un sistema de coordenadas (no necesariamente ortogonal o tener unidad de longitudes iguales sobre los ejes), se definen por:

[0_0]

la matriz que tiene determinante distinto de cero

[0_0]

Las afinidades se definen mediante la prescripción de sus valores {Q 1 , Q 2 , Q 3 } en tres puntos del plano {P 1 , P 2 , P 3 }, ambos Triples de puntos que están en posición general.

[0_0][0_1][0_2]

[Alogo] 2. Propiedades básicas

El conjunto de todas las afinidades del plano es un grupo G, que contiene las rotaciones, reflexiones, traducciones y similitudes. Las principales propiedades de afinidades son: [1] Se conservan las líneas y proporciones en ellos.
[2] Conservan paralelismo.
[3] Conservan la congruencia de traducciones (triángulos amarillos).
[4] Se multiplican las zonas con D.  

[0_0][0_1][0_2]

[Alogo] 3. Propiedades adicionales

Afinidades transforman las cónicas a las cónicas de la misma clase. Además de que preservar la conjugación de diámetros. En particular se asignan diámetros ortogonales de círculos conjugar diámetros de elipses. Llame a dos curvas equivalente afín si uno es una transformación de la otra a través de una afinidad.
[1] Todas las elipses son equivalentes afín al círculo x 2 + y 2 = 1.
[2] Todas las hipérbolas son equivalentes afín a la hipérbola xy = 1 .
[3] Todas las parábolas son equivalentes afín a la parábola y = x 2 .

[0_0][0_1]

[Alogo] 4. Clasificación de equivalencia afín módulo

[1] La clasificación de las curvas algebraicas reales de grado tres ( Cubics ), con respecto a la equivalencia afín, tiene sus orígenes en Newton y Plücker y fue completado por M. Nadjafikah (arXiv.math. DG / 0507383 v1. 19 de julio 2005). Las curvas se dividen en siete clases.
[2] Para los grados más altos de la clasificación aún no se ha hecho.
[3] Un problema particular en el marco de la clasificación es la determinación de los subgrupos isotropía H J , de G, para las diversas clases J de curvas equivalentes. H J se compone de todos afinidades dejando invariante algún miembro típico de la clase J.
[4] En el caso de las cónicas no degeneradas todos H J son isomorfo al grupo de rotaciones y reflexiones {W x }, dejando fijado un punto x de el avión. Esto se ve directamente para elipses, ya que todos ellos son affinely equivalente al círculo. Los otros casos pueden ser manejados por projectivities que llevan la cónica dada al círculo.

[0_0][0_1]

[Alogo] 5. Affine equivalencia de una elipse a sí mismo

. En el caso de una elipse (c), las afinidades preservarla son las conjugaciones bien conocidos a lo largo de algunos de diámetro, y las conjugaciones a lo largo de tangentes de elipses homotéticas
La figura anterior ilustra una afinidad del segundo tipo F (A -> B ) dejando invariante una elipse. La afinidad se define por acordes AB tangente (en su punto medio) a una elipse b ', que es homotética a un' con respecto a su centro. Tanto a ', b' son imágenes de círculos concéntricos a través de otra afinidad G. F corresponde, a través de esa afinidad G (conjugación de G: F = G * R * G -1 ), a las rotaciones habituales (R) del círculo sobre su centro.
Una consecuencia de esto es que el área de los dos sectores de la elipse, determinados por AB permanece constante como AB toma las diversas posiciones de las tangentes a (b ').
Ver la cifra correspondiente para parábolas en ParabolaSymmetries.html .

[Alogo] 6. Problema

¿Qué tipo de resultados de la transformación si INSEAD de la elipse homotética anterior tomamos una elipse arbitraria b 'situada totalmente dentro de la elipse un'?

[0_0]

La aplicación resultante por tal correspondencia no es una homografía. La imagen de arriba indica por qué.
No se definió los puntos de mapeo homografía F {A, B, C} del círculo un 'correspondiente a {A', B ', C'} del mismo círculo de manera que las líneas {AA ', BB ', CC'} son todos tangente al círculo íntimo b '.Este homografía asocia a cada punto X en un 'punto X' = F (X) en una ', de manera que XX' es tangente a una cónica (elipse roja).
Este cónica, en general, no coincide con el círculo interior b '. Incluso los puntos de contacto (blanco) de las tres líneas {AA ', BB', CC '} con la cónica no coinciden con los puntos de contacto (verde) de la misma línea con el círculo interno b'.

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