Lógica

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los cinco axiomas o postulados de Peano son los siguientes:

1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
3. El 1 no es el sucesor de algún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

1. El 0 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 0 no es el sucesor de algún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.- .............................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=5f350e6aa06a7328738ba7df297d4abb5e8ea51e&writer=rdf2latex&return_to=Axiomas+de+Peano

Los Axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX.

Contenido

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• 1 Descripción
• 2 Los cinco axiomas de Peano
• 3 Bibliografía
• 4 Enlaces externos

Descripción

Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la Teoría de números.

Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Los cinco axiomas de Peano

1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de Inducción matemática.

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

1. El 0 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

En lógica matemática, los axiomas de Peano, también conocidos como los axiomas Dedekind-Peano o los postulados de Peano, son un conjunto de axiomas de los números naturales que presenta el siglo 19 matemático italiano Giuseppe Peano. Estos axiomas se han utilizado casi sin cambios en un número de investigaciones metamatemáticos, incluyendo la investigación de cuestiones fundamentales de la coherencia y la integridad de la teoría de números.

La necesidad de que el formalismo de la aritmética no se aprecia bien hasta que el trabajo de Hermann Grassmann, quien demostró en 1860 que muchos hechos en aritmética podrían derivarse de los hechos más básicos sobre la operación sucesor y de inducción. En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó una axiomatización de la aritmética de números naturales. En 1888, Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números, y en 1889 Peano publicó una versión más precisamente formulado de ellos como un conjunto de axiomas en su libro, Los principios de la aritmética que presenta un nuevo método.

Los axiomas de Peano contienen tres tipos de declaraciones. El primer axioma afirma la existencia de al menos un miembro del conjunto de "número". Las cuatro siguientes son declaraciones generales sobre la igualdad, en los tratamientos modernos éstos a menudo se consideran axiomas de la "lógica subyacente". Los siguientes tres axiomas son afirmaciones de primer orden sobre los números naturales expresan las propiedades fundamentales de la operación sucesor. El noveno, axioma final es un segundo orden de la declaración de principio de inducción matemática sobre los números naturales. Un sistema de primer orden más débil llamada aritmética de Peano se obtiene añadiendo explícitamente la adición y símbolos de operaciones de multiplicación y reemplazar el axioma de inducción de segundo orden con un esquema del axioma de primer orden.

Los axiomas

Cuando Peano formuló sus axiomas, el lenguaje de la lógica matemática estaba en su infancia. El sistema de notación lógica que creó para presentar los axiomas no resultó ser popular, a pesar de que fue el origen de la notación moderna para ser miembro conjunto e implicación Peano mantiene una clara distinción entre los símbolos matemáticos y lógicos, que todavía no era común en las matemáticas ; tal separación primero había sido introducido en el Begriffsschrift por Gottlob Frege, publicado en 1879. Peano tenía conocimiento de la obra de Frege y recrea de forma independiente su aparato lógico basado en el trabajo de Boole y Schröder.

Los axiomas de Peano definen las propiedades aritméticas de números naturales, generalmente representados como un conjunto de N o la firma de los axiomas incluye una constante símbolo 0 y una función unaria símbolo S.

La constante 0 se supone que es un número natural:

0 es un número natural.

Los siguientes cuatro axiomas describen la relación de igualdad.

Para cada número natural x, x = x. Es decir, la igualdad es reflexivo.

Para todos los números naturales x e y, si x = y, entonces y = x. Es decir, la igualdad es simétrica.

Para todos los números naturales x, y y z, si x = y e y = z, entonces x = z. Es decir, la igualdad es transitiva.

Para todas las a y b, si a es un número natural y a = b, entonces b es también un número natural. Es decir, los números naturales son cerrados bajo la igualdad.

Los axiomas restantes definen las propiedades aritméticas de los números naturales. Los naturales se supone que cerrar bajo una función "sucesor" de un solo valor S.

Por cada número natural n, S es un número natural.

La formulación original de los axiomas de Peano usado 1 en lugar de 0 como el "primer" número natural. Esta elección es arbitraria, como axioma 1 no dotar a la constante 0 con propiedades adicionales. Sin embargo, puesto que 0 es la identidad aditiva en la aritmética, las formulaciones más modernas de los axiomas de Peano comienzan desde 0. Los axiomas 1 y 6 definen una representación unaria de los números naturales: el número 1 puede ser definida como S, 2 como S, y, en general, cualquier número natural n como Sn. Los siguientes dos axiomas definen las propiedades de esta representación.

Para cada número natural n, S = 0 es falso. Es decir, no existe un número natural cuyo sucesor es 0.

Para todos los números naturales m y n, si S = S, entonces m = n. Es decir, S es una inyección.

Los axiomas 1, 6, 7 y 8 implican que el conjunto de números naturales contiene los elementos distintos 0, S, s, y, además, que {0, S, S,}? N. Esto muestra que el conjunto de números naturales es infinito. Sin embargo, para demostrar que N = {0, S, S,}, se debe demostrar que N? {0, S, S,}, es decir, se debe demostrar que cada número natural está incluido en {0, S, S,}. Para ello, sin embargo, requiere un axioma adicional, que a veces se llama el axioma de inducción. Este axioma proporciona un método para razonar sobre el conjunto de todos los números naturales.

Si K es un conjunto de tal manera que:

• 0 es en K, y
• para cada número natural n, si n es en K, entonces S es en K,

 entonces K contiene todo número natural.

El axioma de inducción a veces se indica en la siguiente forma:

Si f es un predicado unario tal que:

• f es verdadera, y
• para cada número natural n, si f es verdadera, entonces f es verdadera,

 entonces f es cierto para todo número natural n.

En la formulación original de Peano, el axioma de inducción es un axioma de segundo orden. Ahora es común para reemplazar este principio de segundo orden con un esquema de inducción de primer orden más débil. Existen diferencias importantes entre las formulaciones de segundo orden y de primer orden, como se discute en los modelos de la sección de abajo.

Aritmética

Los axiomas de Peano se pueden aumentar con las operaciones de suma y multiplicación y la suma habitual al comprar en N. Las respectivas funciones y relaciones se construyen en la lógica de segundo orden, y se demuestra que son únicos usando los axiomas de Peano.

Adición

Además es la función : N N? N, definido de forma recursiva como:

Por ejemplo,

 a 1 = a S = S = S.

La estructura es un semigrupo conmutativo con elemento neutro 0. es también un magma cancellative, y por lo tanto integrable en un grupo. El pequeño grupo de incrustación N son los números enteros.

Multiplicación

Teniendo en cuenta además, la multiplicación es la función: NN? N define de forma recursiva como:

Es fácil ver que el ajuste de b igual a 0 los rendimientos de la identidad multiplicativa:

 a 1 = a S = a = a 0 = a

Por otra parte, la multiplicación se distribuye sobre la suma:

 a = .

Por lo tanto, es un semiring conmutativa.

Desigualdades

La relación total de la orden usual =: NN se puede definir de la siguiente manera, suponiendo 0 es un número natural:

 Para todo a, b? N, a = b si y sólo si existe un poco de c? N tal que a c = b.

Esta relación es estable bajo la adición y multiplicación: para, si a = b, entonces:

• c = a b c, y
• a c b = c.

Por lo tanto, la estructura es un semiring ordenado; porque no hay un número natural entre 0 y 1, que es un semiring ordenado discreta. El axioma de inducción a veces se indica en la siguiente forma fuerte, haciendo uso de la orden =:

 Para cualquier predicado f, si

• f es verdadera, y
• para cada n, k? N, si k = n implica f es verdadera, entonces f es verdadera,

 a continuación, para cada n? N, f es cierto.

Esta forma de la axioma de inducción es una simple consecuencia de la formulación estándar, pero a menudo es más adecuado para razonar acerca de la orden =. Por ejemplo, para demostrar que los productos naturales son bien ordenado, todo subconjunto no vacío de N tiene un elemento mínimo, uno puede razonar de la siguiente manera. Deja un conjunto no vacío X? N darse y asumir X no tiene elemento mínimo.

• Debido a 0 es el menos elemento de N, debe ser que 0? X.
• Para cualquier n? N, supongamos que para cada k = n, k? X. A continuación, s? X, de lo contrario, sería el menor elemento de X.

Por lo tanto, por el principio de inducción fuerte, para cada n? N, N? X. Por lo tanto, X n = N, lo que contradice X es un subconjunto no vacío de N. Por lo tanto X tiene un elemento mínimo.

La teoría de primer orden de la aritmética

Teorías de primer orden son a menudo mejores que las teorías segundo orden para el modelo o la prueba de análisis teórico. Todo el axioma de Peano, excepto el noveno axioma son declaraciones en la lógica de primer orden. Las operaciones aritméticas de adición y multiplicación y la relación de orden también se pueden definir usando los axiomas de primer orden. El axioma de segundo orden de la inducción se puede transformar en un esquema de inducción de primer orden más débiles.

Axiomatizaciones de primer orden de la aritmética de Peano tienen una limitación importante, sin embargo. En la lógica de segundo orden, es posible definir la adición y operaciones de multiplicación de la operación sucesor, pero esto no se puede hacer en el ambiente más restrictivo de la lógica de primer orden. Por lo tanto, las operaciones de adición y multiplicación se incluyen directamente en la firma de la aritmética de Peano, y axiomas se incluyen que se relacionan con las tres operaciones entre sí.

La siguiente lista de axiomas es suficiente para este propósito:

Además de esta lista de axiomas numéricos, la aritmética de Peano contiene el esquema de inducción, que consiste en un conjunto infinito numerable de axiomas. Para cada fórmula de f en el lenguaje de la aritmética de Peano, el axioma de inducción de primer orden para el f es la sentencia

donde es una abreviatura para y1, ..., yk. El esquema de inducción de primer orden incluye todos los casos del axioma de inducción de primer orden, es decir, se incluye el axioma de inducción para cada fórmula f.

Este esquema evita la cuantificación sobre conjuntos de números naturales, lo cual es imposible en la lógica de primer orden. Por ejemplo, no es posible en la lógica de primer orden a decir que cualquier conjunto de números naturales que contienen 0 y cerrado bajo el sucesor es todo el conjunto de números naturales. Lo que se puede expresar es que cualquier conjunto definible de los números naturales tiene esta propiedad. Debido a que no es posible cuantificar sobre subconjuntos definibles de manera explícita con un solo axioma, el esquema de inducción incluye una instancia del axioma de inducción para cada definición de un subconjunto de los naturales.

Axiomatizaciones equivalentes

Hay muchos diferentes, pero equivalentes, axiomatizaciones de la aritmética de Peano. Mientras que algunos axiomatizaciones, como el que se acaba de describir, utilizan una firma que sólo tiene símbolos para 0 y el sucesor, además, las operaciones y multiplicaciones, otros axiomatizaciones utilizan el lenguaje de semirings ordenados, incluyendo un símbolo adicional relación de orden. Uno de tales axiomatización comienza con los siguientes axiomas que describen un semiring ordenado discreta.

., Es decir, la adición es asociativa.

., Es decir, la adición es conmutativa.

., Es decir, la multiplicación es asociativa.

., Es decir, la multiplicación es conmutativa.

., Es decir, la ley distributiva.

., Es decir, el cero es el elemento neutro para la adición.

., Es decir, uno es el elemento neutro para la multiplicación.

. 

.

Modelos

Un modelo de los axiomas de Peano es un triple, donde N es un conjunto, 0? N y S: N? N satisface los axiomas más arriba. Dedekind demostró en su libro de 1888, ¿Cuáles son los números y qué debe que ser que los dos modelos de los axiomas de Peano son isomorfos. En particular, dados dos modelos y de los axiomas de Peano, existe un único homomorfismo f: NA? NB satisfacer
y es una biyección. Los axiomas de Peano de segundo orden son por lo tanto categórica; este no es el caso con cualquier reformulación de primer orden de los axiomas de Peano, sin embargo.

Modelos no estándar

Aunque los números naturales habituales satisfacen los axiomas de la PA, hay otros modelos no estándar, así, el teorema de compacidad que implica la existencia de elementos no estándar no se puede excluir en la lógica de primer orden. El alza teorema Lwenheim-Skolem muestra que hay modelos no estándar de PA de todas las cardinalidades infinitas. Este no es el caso para los axiomas de Peano originales, que tienen sólo un modelo, hasta el isomorfismo. Esto ilustra una forma en que el sistema de primer orden PA es más débil que los axiomas de Peano de segundo orden.
Cuando interpretado como una prueba dentro de una teoría de conjuntos de primer orden, tales como ZFC, prueba categoricidad de Dedekind para PA muestra que cada modelo de la teoría de conjuntos tiene un modelo único de los axiomas de Peano, hasta el isomorfismo, que incrusta como un segmento inicial de todos los otros modelos de PA contenidas dentro de ese modelo de la teoría de conjuntos. En el modelo estándar de la teoría de conjuntos, el modelo más pequeño de la PA es el modelo estándar de la PA, sin embargo, en un modelo no estándar de la teoría de conjuntos, puede ser un modelo no estándar de la PA. Esta situación no se puede evitar con cualquier formalización primer orden de la teoría de conjuntos.
Es natural preguntarse si un modelo no estándar contable se puede construir de forma explícita. El teorema de Tennenbaum, demostrado en 1959, muestra que no existe un modelo no estándar contable de PA en el que ya sea la operación de suma o multiplicación es computable. Este resultado muestra que es difícil de ser completamente explícita en la descripción de la adición y operaciones de multiplicación de un modelo no estándar contable de PA. Sin embargo, sólo hay un posible tipo de orden de un modelo no estándar contable. Dejar que? ser el tipo de orden de los números naturales? ser el tipo de orden de los números enteros, y? ser el tipo de orden de los números racionales, el tipo de orden de cualquier modelo no estándar contable del PA es? , Que se puede visualizar como una copia de los números naturales seguidos por un ordenamiento lineal densa de copias de los números enteros.

Modelos de teoría de conjuntos

Los axiomas de Peano se pueden derivar de conjunto de construcciones teóricas de los números naturales y los axiomas de la teoría de conjuntos tales como el ZF. La ejecución estándar de los productos naturales, debido a John von Neumann, parte de una definición de 0 como el conjunto vacío, y un operador s en conjuntos definidos como:
 s = a? {A}.
El conjunto de números naturales N se define como la intersección de todos los conjuntos cerrados bajo s que contienen el conjunto vacío. Cada número natural es igual al conjunto de números naturales a menos de que:
y así sucesivamente. El conjunto N con 0 y la función sucesor s: N? N satisface los axiomas de Peano.
La aritmética de Peano es equiconsistent con varios sistemas débiles de la teoría de conjuntos. Uno de estos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. Otro sistema de este tipo consiste en la teoría de conjuntos en general, aumentado por un esquema de axioma que indica que una propiedad que tiene para el conjunto vacío y tiene de la contigüidad cada vez que tiene el complemento debe tener para todos los conjuntos.

La interpretación de la teoría de categorías

Los axiomas de Peano también pueden entenderse mediante la teoría de categorías. Sea C una categoría con 1C objeto terminal, y definir la categoría de sistemas unitarios puntiagudas, US1 de la siguiente manera:

• Los objetos de US1 son triples, donde X es un objeto de C, y 0X: 1C? X y SX: X? X son C-morfismos.
• Un morfismo f:? es un C-morfismo f: X? Y con f = 0X 0Y yf SX = SY f.

Entonces C se dice para satisfacer los axiomas Dedekind-Peano si US1 tiene un objeto inicial; este objeto inicial se conoce como un objeto de número natural en C. Si es este objeto inicial, y es cualquier otro objeto, a continuación, el único mapa u:? es tal que
Esta es precisamente la definición recursiva de 0X y SX.

Consistencia

Cuando se propuso por primera vez los axiomas de Peano, Bertrand Russell y otros coincidieron en que estos axiomas definen implícitamente lo que entendemos por un " número="" natural".="" henri="" poincaré="" fue="" más="" cauteloso,="" diciendo="" que="" sólo="" definen="" los="" números="" naturales="" si="" fueran="" coherentes,="" y="" hay="" una="" prueba="" de="" comienza="" a="" partir="" tan="" estos="" axiomas="" deriva="" contradicción="" como="" 0="1," entonces="" son="" inconsistentes,="" no="" define="" nada="" .="" en="" 1900,="" david="" hilbert="" planteó="" el="" problema="" probar="" su="" consistencia="" utilizando="" métodos="" finitistas="" segundo="" sus="" veintitrés="" problemas.="" 1931,="" kurt="" gödel="" demostró="" teorema="" incompletitud,="" lo="" demuestra="" tal="" la="" puede="" formalizarse="" dentro="" sí="" mismo="" aritmética="" peano.<="" p="" style="border: 1px solid rgb(255, 255, 255); margin: 0px; padding: 0px;">

Aunque en general se afirma que las normas teorema de Gödel descarta la posibilidad de una prueba de consistencia finitistic para la aritmética de Peano, esto depende de exactamente lo que se entiende por una prueba finitistic. Gödel mismo señaló la posibilidad de dar una prueba de consistencia finitistic de la aritmética de Peano o sistemas más sólidos utilizando métodos finitistas que no son formalizable en la aritmética de Peano, y en 1958 Gödel publicó un método para probar la consistencia de la aritmética utilizando la teoría de tipo. En 1936, Gerhard Gentzen dio una prueba de la consistencia de los axiomas de Peano, usando inducción transfinito hasta un ordinal llamada e0. Gentzen explicó: "El objetivo de este trabajo es demostrar la consistencia de la teoría elemental de números o, más bien, para reducir el problema de la compatibilidad con ciertos principios fundamentales". Prueba de Gentzen es posiblemente finitistic, ya que el e0 ordinal transfinito se puede codificar en términos de objetos finitos. Sea o no una prueba de Gentzen cumple con los requisitos de Hilbert previó es clara: no existe una definición generalmente aceptada de exactamente lo que se entiende por una prueba finitistic, y el propio Hilbert nunca dio una definición precisa.

La gran mayoría de los matemáticos contemporáneos creen que los axiomas de Peano son consistentes, ya sea basándose en la intuición o la aceptación de una prueba de consistencia como prueba de Gentzen. El pequeño número de matemáticos que abogan ultrafinitism rechazar axiomas de Peano porque los axiomas requieren un conjunto infinito de los números naturales.