Mecánica cuántica

átomo de hidrógeno es el átomo más simple que existe y el único que admite una solución analítica exacta desde el punto de vista de la mecánica cuántica. El átomo de hidrógeno, es conocido también como átomo monoelectrónico, debido a que está formado por un protón que se encuentra en el núcleo del átomo y que contiene más del 99,945 % de la masa del átomo, y un sólo electrón -unas 1836 veces menos masivo que el protón- que "orbita" alrededor de dicho núcleo (aunque también pueden existir átomos de hidrógeno con núcleos formados por un protón y 1 ó 2 neutrones más, llamados deuterio y tritio, respectivamente).- ......................................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=b761ad08dbb304a6b1a5a9ecfdf40ce656ae2054&writer=rdf2latex&return_to=%C3%81tomo+de+hidr%C3%B3geno

El Átomo de Hidrógeno Coordenadas Polares Esféricas La solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, es un formidable problema matemático, pero es de tal importancia fundamental, que se va a tratar de esbozar aquí. La solución se gestiona mediante la separación de variables, de modo que la función de onda esté representada por el producto: La separación conduce a tres ecuaciones para las tres variables espaciales, y sus soluciones dan lugar a tres números cuánticos, asociados con los niveles de energía del hidrógeno.

Índice Conceptos de la Ecuación de Schrödinger Conceptos del Hidrógeno

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Ecuación de Schrödinger del Hidrógeno El electrón en el átomo de hidrógeno está sometido un potencial de simetría esférica, por lo que es lógico utilizar coordenadas polares esféricas, para desarrollar la ecuación de Schrodinger. La energía potencial es simplemente la de una carga puntual: Abajo se muestra la forma expandida de la ecuación de Schrodinger. Para solucionarlo, seseparan las variables en la fórmula El punto de partida es la fórmula de la ecuación de Schrodinger:

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Números Cuánticos de las Ecuaciones del Hidrógeno La solución del átomo de hidrógeno, requiere buscarle soluciones a las ecuaciones separadas, las cuales obedecen las restricciones de la función de onda. La solución de la ecuación radial sólo puede existir, cuando la constante que surge en la solución, está restringida a valores enteros. Esto proporciona el número cuántico principal: De manera similar surge una constante en la ecuación de la colatitud, que da el número cuántico orbital: Por último, las restricciones en la ecuación azimutal da lo que se llama el número cuántico magnético: Estudio de Conceptos

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Separación de la Ecuación del Hidrógeno Uno de los enfoques para resolver una ecuación diferencial parcial, consiste en separarla en ecuaciones individuales para cada variable implicada. La ecuación de Schrodinger del hidrógeno es separable. Recogiendo todos los términos dependientes del radio e igualándolos a una constante, da la ecuación radial: Luego, se pueden separar los términos angulares de la ecuación en unaecuación de colatitud: y por último, una ecuación azimutal.

Niveles de Energía de los electrones

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Cómo debes recordar de química, un átomo consiste de electrones orbitando alrededor de un núcleo. Sin embargo los electrones no pueden escoger cualquier orbita que quieran. Ellos están restringidos a orbitas con solo ciertas energías. Los electrones pueden saltar de un nivel de energía a otro, pero ellos nunca pueden tener orbitas con otras energías distintas a los niveles de energía permitidos.

Veamos el átomo más simple, el átomo neutro de Hidrógeno. Sus niveles de energía están dados en el diagrama de abajo. El eje x muestra los niveles permitidos de energía de un electrón en un átomo de Hidrógeno, numerados de 1 a 5. El eje y muestra la energía de cada nivel en electrón-voltios (eV). Un electrón-voltio es la energía que un electrón gana cuando viaja a  través de una diferencia de potencial de un voltio (1 eV = 1.6 x 10^-19 Julios).

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Los electrones en un átomo de Hidrógeno deben estar en uno de los niveles de energía permitidos. Si un electrón está en el primer nivel, debe tener exactamente -13.6 eV de energía. Si está en el segundo nivel, debe tener -3.4 eV de energía. Un electrón en un átomo de Hidrógeno no puede tener -9 eV,  -8 eV o algun otro valor intermedio.

 Pensemos que el electrón quiere saltar del primer nivel, n=1, al segundo nivel, n=2. El segundo nivel tiene mayor energía que el primero, así que para pasar de n=1 a n=2, el electrón tiene que ganar energía. Tiene que ganar exactamente (-3.4)-(-13.6)=10.2 eV de energía para lograr pasar al segundo nivel de energía.

El electrón puede ganar la energía que necesita absorbiendo luz. Si el electrón salta del segundo nivel al primer nivel de energía, el debe deshacerse de parte de su energía emitiendo luz. El átomo absorbe o emite luz en paquetes discretos llamados fotones, y cada fotón tiene una energía definida. Solo un fotón con una energía de exactamente 10.2 eV puede ser absorbido o emitido cuando un electrón salta entre los niveles de energía de n=1 y n=2.

La energía que un fotón lleva depende de su longitud de onda. Como los fotones emitidos por electrones saltando entre los niveles de energía de n=1 y n=2 deben tener exactamente 10.2 eV de energía, la luz absorbida o emitida debe tener una longitud de onda definida. Esta longitud de onda se puede encontrar usando la ecuación

E = hc/l,

donde E es la energía del fotón (en eV), h es la constante de Planck (4.14*10^-15 eV s) y c es la velocidad de la luz (3*10⁸ m/s). Arreglando la ecuación se encuentra  que la longitud de onda es

l = hc/E.

Un fotón de energía 10.2 eV tiene una longitud de onda de 1.21*10^-7 m, en la parte  ultravioleta del espectro. Así que cuando un electrón quiere saltar de n=1 a n=2, el debe absorber un fotón de luz ultravioleta. Cuando un electrón cae de n=2 a n=1, el emite un fotón de luz ultravioleta.

El salto del segundo nivel del energía al tercero es mucho menor. Se requiere solo una energía de 1.89 eV para este salto. Se requiere aún menos energía para saltar del tercero al cuarto nivel de energía, y aún menos para ir del cuarto al quinto.

¿Qué sucede si el electrón gana suficiente energía para saltar hasta 0 eV? El electrón se habría liberado del átomo de Hidrógeno. El átomo habría perdido un electrón y se habría convertido en un ión de Hidrógeno.

La tabla de abajo muestra los primeros cinco niveles de energía de un átomo de Hidrógeno.

Nivel de Energía	Energía
1	-13.6 eV
2	-3.4 eV
3	-1.51 eV
4	-.85 eV
5	-.54 eV

Ejercicio 2.  Encontrar la longitud de onda del fotón emitido cuando un electrón salta desde n=3 hasta n=2. ¿Dónde está este fotón en el espectro electromagnético?

Ejercicio 3. La tabla de abajo muestra los niveles de energía de un átomo de Helio ionizado una vez - un ión con dos protones, dos neutrones y solo un electrón: Nivel de Energía Energía 1 -54.4eV 2 -13.6 3 -6.04 4 -3.4 5 -2.176 ¿Cuánta energía debe perder el ión cuando el electrón salta del segundo nivel de energía al primer nivel?

Ejercicio 4. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón emitido cuando un electrón salta del nivel de energía  n = 2 a n = 1 en un átomo de Helio ionizado una vez? ¿Dónde está este fotón en el espectro electromagnético?