AMIGOS PARA SIEMPRE: Mecánica cuántica

aproximación WKB es el ejemplo más familiar de un cálculo semi-clásico (véase Teoría cuántica antigua) en el cual la función de onda es redactada como una función exponencial, semiclásicamente expandida, y entonces o la amplitud o la fase es tomada para estar cambiando lentamente.

El nombre de este método es un acrónimo para la aproximación Wentzel–Kramers–Brillouin. Otro acrónimo usualmente usado para el método incluido Aproximación JWKB and aproximación WKBJ, donde la "J" es debido a Jeffreys.- ..........................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=150bd8caa1b04e09855289d876242e50ce0b722c&writer=rdf2latex&return_to=Aproximaci%C3%B3n+WKB

aproximación wkb .- ....................................:http://www.uco.es/hbarra/index.php/fc/apuntesfc/208-fc0703

En física matemática, la aproximación WKB o método WKB es un método para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes variables espacialmente. Se utiliza típicamente para un cálculo semiclásico en la mecánica cuántica en el que la función de onda se redefine como una función exponencial, semiclassically expandido, y luego se toma o bien la amplitud o la fase de ser lentamente cambiante.

El nombre es un acrónimo de Wentzel-Kramers-Brillouin. También es conocido como el LG o método Liouville-verde. Otras siglas de uso frecuente para el procedimiento incluyen JWKB y WKBJ, donde la "J" es sinónimo de Jeffreys.

Breve historia

Este método es el nombre de los físicos Wentzel, Kramers y Brillouin, que todo lo desarrolló en 1926 - En 1923, el matemático Harold Jeffreys había desarrollado un método general para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, que incluye la ecuación de Schrödinger . A pesar de que la ecuación de Schrödinger fue desarrollada dos años más tarde, Wentzel, Kramers y Brillouin eran aparentemente sin darse cuenta de este trabajo previo, por lo que a menudo se descuida Jeffreys crédito. Los primeros textos en la mecánica cuántica contienen cualquier número de combinaciones de sus iniciales, incluyendo WBK, BWK, WKBJ, JWKB y BWKJ.

Referencias anteriores del método son: Carlini en 1817, Liouville en 1837, los Verdes en 1837, Rayleigh en 1912 y Gans en 1915 - Liouville y verde se puede decir que han fundado el método en 1837, y también se conoce comúnmente como la Liouville-Green o el método de LG.

La contribución importante de Jeffreys, Wentzel, Kramers y de Brillouin para el método es la inclusión del tratamiento de los puntos de inflexión, la conexión de las soluciones evanescentes y oscilatoria a cada lado del punto de inflexión. Por ejemplo, esto puede ocurrir en la ecuación de Schrödinger, debido a una colina energía potencial.

Método WKB

Generalmente, la teoría WKB es un método para la aproximación de la solución de una ecuación diferencial cuya máxima derivado se multiplica por un pequeño parámetro e. El método de aproximación es de la siguiente manera:

Para una ecuación diferencial

asumir una solución de la forma de un desarrollo en serie asintótica

en el límite. La sustitución de la ansatz anterior en la ecuación diferencial y cancelando los términos exponenciales permite resolver para un número arbitrario de términos en la expansión. Teoría WKB es un caso especial de análisis de escala múltiple.

Un ejemplo

Considere la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

dónde. Sustituyendo

resultados en la ecuación

Para el fin principal de lo anterior se puede aproximar como

En el límite, el equilibrio dominante está dada por

Entonces d es proporcional a e. Configuración de los poderes iguales y comparando hace

que pueden ser reconocidos como la ecuación Eikonal, con solución

En cuanto a las competencias de primer orden del da

Esta es la ecuación de transporte unidimensional, que tiene la solución

donde es una constante arbitraria. Ahora tenemos un par de aproximaciones al sistema, el primer orden de aproximación WKB-será una combinación lineal de las dos:

Términos de orden superior puede obtenerse observando las ecuaciones para potencias superiores de correo. Explícitamente,

para. Este ejemplo viene de Bender y de libros de texto de Orszag.

armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace cuando la solución se expresa en coordenadas esféricas.

Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, en particular en la física atómica (dado que lafunción de onda de los electrones contienen armónicos esféricos) y en la teoría del potencial que resulta relevante tanto para el campo gravitatorio como para la electrostática.- ..............................................................:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=download&collection_id=6f8940ab37966291bafcde2b5b4d7c73a692f19d&writer=rdf2latex&return_to=Arm%C3%B3nicos+esf%C3%A9ricos

Todos hemos visto las imágenes de los orbitales atómicos. Y siempre se nos ha dicho que estas son las regiones donde hay una probabilidad de más del 90% (o el 99% depende del libro) de encontrar al electron.

Esto es una mentira gorda ;).

En esta entrada trataremos de explicar por qué empleando argumentos fáciles de seguir (vamos a intentarlo).

El átomo de Hidrógeno según la cuántica

Nos centraremos en el átomo más simple de todos, el Hidrógeno. Entenderemos por Hidrógeno en este caso un protón y un electrón que están interactuando eléctricamente. Un protón tiene una carga positiva y un electrón la misma carga negativa.

Desde el punto de vista del sistema protón-electrón (el protón 2000 veces más pesado que el electrón) tenemos un potencial del tipo de Coulomb:

$V(r)=K\dfrac{q_pq_e}{r}$

Este potencial sólo depende de la distancia entre el protón (p) y el electrón (e). Eso quiere decir que hay simetría esférica, la interacción es la misma en todas las direcciones, sólo influye la distancia.

Una vez determinada la interacción (el potencial) podemos escribir la ecuación de Schrödinger correspondiente.

No entraremos en los detalles, ni tan siquiera escribiremos esta ecuación, de cómo resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno. Baste decir que se puede escribir y que se puede resolver de manera exacta (es una de las pocas que permite resolverla sin aproximaciones).

La clave de la solución es justamente la simetría esférica que tiene el potencial de interacción entre un protón y un electrón. Esta simetría hace que las coordenadas adecuadas para describir el átomo de Hidrógeno sean las coordenadas esféricas (para una breve descripción de estas coordenadas leer la entrada de Schwarzschild).

Descripción de la solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de Hidrógeno

Bien, cuando resolvemos una ecuación de Schrödinger:

$\hat{H}\psi=E\psi$

Lo que queremos obtener son las funciones de onda que satisfacen esta ecuación. En el caso del átomo de Hidrógeno estas funciones de onda dependerán de la distancia del electrón al protón, y de dos ángulos (ya que estamos empleando las coordenadas esféricas).

$\psi(r,\theta,\phi)$

Entonces pasa lo siguiente:

La energía del átomo de Hidrógeno sólo depende de la distancia entre el protón y el electrón. No de los ángulos.

Esto se traduce matemáticamente en que la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como el producto de dos partes (funciones). Una que sólo depende de la distancia y que representaremos por $R(r)$ y otra que depende de los ángulos, que representaremos por $Y(\theta,\phi)$ y que se denominan armónicos esféricos. Entonces la función de onda queda:

$\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$

Los números cuánticos

Es muy popular eso de los números cuánticos, y el átomo de Hidrógeno viene descrito por cuatro de dichos números:

$(n,l,m,s)$

$n$ es el número cuántico que nos dice en qué nivel de energía está el electrón en el átomo.

$l,m$ son los números que nos dicen cómo gira (qué energía tiene debida a la rotación) el electrón en el átomo.

$s$ es el número que nos dice qué orientación tiene el espín del electrón (s=+1/2 ó -1/2)

Además sabemos que hay ciertas relaciones entre dichos números:

n puede ir desde el valor 1 hasta infinito.
l puede ir desde el valor 0 hasta n-1.
m puede tomar cualquier valor entre -l y l en saltos de 1.

Es decir:

Para n=1

l=0 y por tanto m=0

Para n=2

l puede ser l=0 y m=0

l puede ser l=1 y m puede ser, -1,0,1

Para n=3

l puede ser l=0 y m=0

l puede ser l=1 y m puede ser -1,0,1

l puede ser l=2 y m puede ser -2,-1,0,1,2

Y así sucesivamente.

¿De dónde salen estos números?

Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger con un potencial dado, como en este caso, encontramos que la energía del sistema no puede tomar cualquier valor. La energía toma un conjunto de valores posibles que se llaman las autoenergías y que generalmente son múltiplos de una cantidad. En el átomo de Hidrógeno la energía es:

$E_n=-\dfrac{13.6}{n^2}$

Es decir, para cada valor de n tenemos un nivel de energía. Notemos que la energía tiene un signo negativo lo que quiere decir que es una energía de enlace (el electrón y el protón están ligados). Notemos además que cuando aumentamos n, el cociente disminuye y por lo tanto la energía aumenta (se hace “menos negativa”)

Esta n procede de encontrar la forma de la función R_n(r). Esta función sólo tiene sentido para valores enteros del parámetro n y además ese número determina esencialmente la energía del átomo.

Igualmente cuando resolvemos la parte angular encontramos las funciones $Y_{l,m}(\theta,\phi)$ que sólo tienen sentido para los valores de l, m mencionados anteriormente.

Forma de las funciones radiales del Hidrógeno

Las funciones $R_n(r)$ se denominan la parte radial de la función de onda del Hidrógeno. Lo interesante es que siguiendo la idea de Born, el cuadrado de la función de onda nos da la probabilidad de encontrar la partícula que estemos estudiando en una determinada posición. Por tanto vamos a trabajar con el cuadrado de la parte radial $r^2|R_{n,(l)}(r)|^2$

Nota: el factor $r^2$ se introduce en la probabilidad por razones técnicas, pero su presencia no afecta en absoluto la probabilidad porque al calcular la misma tenemos que usar una expresión del tipo:

$\int R_n\times R_n r^2dr$

En esta integral siempre aparece la combinación $r^2dr$ que es el diferencial en el radio que nos permite hacer esta operación. Por tanto, la combinación $r^2|R_n(r)|^2$ siempre aparece en las probabilidades.

Ahora hemos puesto $R_{n,(l)}$ porque hay cierta contribución energética de la l pero no es relevante para lo que nos ocupa.

Veamos las figuras:

Observemos que para los distintos valores de n y l tenemos que la distancia a la que es más probable encontrar al electrón respecto del protón es mayor conforme aumentamos los valores de estos números cuánticos.

¿Qué es un orbital?

Un orbital es una función de onda con tres valores definidos de los números cuánticos n, l y m:

$\psi_{n,l,m}=R_n(r)Y_{l.n}(\theta,\phi)$

Eso es lo que es un orbital y no las figuritas que se nos suelen presentar que son otra cosa muy distinta que vamos a ver ahora mismo.

Los nombres de estos bichos

Generalmente le ponemos nombres a las posibles combinaciones de valores (n,l) en el átomo de hidrógeno.

n simplemente se identifica por el valor que tenga, 1,2,3,…

l se representa así:

l=0 –> s

l=1 –> p

l=2 –> d

etc…

Eso quiere decir que si nos están hablando del orbital 1s, nos quieren decir la función de onda con n=1 (y eso nos da la energía), l=0 y por tanto m=0.

Cuando nos dicen el orbital 2s, es la función de onda con n=2, l=0 y m=0.

Cuando nos dicen el orbital 2p, es la función de onda con n=2, l=1 y m=-1,0 ó 1 (el valor de m no determina la energía a no ser que haya un campo magnético aplicado sobre el hidrógeno, por eso no es directamente deducible de la situación usual).

Y así sucesivamente.

Parte angular de la función de onda

Hemos visto que la parte radial de la función de onda nos da la probabilidad de encontrar al electrón en cada distancia respecto al protón. Pero ahora nos podemos preguntar:

¿Qué probabilidad hay de encontrar al electrón en función de la dirección?

Y la respuesta nos la da el cuadrado de la correspondiente parte angular:

$|Y_{l,m}(\theta,\phi)|^2$

En esta figura la notación es $Y^m_l$

¿Cómo se llega a estas cosas?

Pues bien, imaginemos que nos dan la función con l=0 y m=0 (eso es un orbital s). La función en cuestión (sin factores de normalización para los puristas) es $Y_{0,0}=Y^0_0=1$ . Eso quiere decir que en cualquier dirección tenemos la misma probabilidad por eso nos da una distribución esférica de la misma.

Si ahora nos da un l=1, m=0, (eso es un orbital tipo p). La función es:

$Y_1^0=Y_{1,0}=cos\theta$

Para pintar eso hacemos lo siguiente:

Dibujamos un eje vertical y un eje horizontal.
El ángulo $\theta$ se toma respecto al eje vertical.
Ahora le damos valores y claro está: El coseno vale +1 como valor máximo para un valor del ángulo $\theta=0$ es decir sobre el eje vertical en sentido positivo (hacia arriba). Y el coseno vale -1 como valor mínimo para un valor del ángulo $\theta=\pi=180$ , es decir, sobre el eje vertical en sentido negativo (hacia abajo).
El resto de ángulo tienen valores más pequeños del coseno. (Se puede comprobar con una calculadora)
Vamos poniendo los puntos (a una distancia que nosotros queramos como máxima, da igual la que tomemos). Y obtenemos este perfil:

Esto significa que hay una dirección donde es muy probable encontrar al electrón y que en las restantes la probabilidad va decreciendo. Vease la diferencia con los orbitales s que tienen la misma probabilidad en todos las direcciones.

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miércoles, 20 de mayo de 2015

Mecánica cuántica