Física - Mecánica clásica

Astrodinámica

delta-v es simplemente el cambio de velocidad.

Dependiendo de la situación de delta-v se puede referir a ella como un vector (${\displaystyle \Delta \mathbf {v} \,}$) o un escalar (${\displaystyle \Delta {v}\,}$). En ambos casos es igual a la aceleración (vector o escalar) integrada en el tiempo:

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{0}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {a} \,dt}$ (versión vector)

${\displaystyle \Delta {v}={v}_{1}-{v}_{0}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{a}\,dt}$ (versión escalar)

donde:

• ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} \,}$ o ${\displaystyle {v_{0}}\,}$ es el vector velocidad inicial o escalar en el momento ${\displaystyle t_{0}\,}$,
• ${\displaystyle \mathbf {v_{1}} \,}$ o ${\displaystyle {v_{1}}\,}$ es el objetivo de vector de velocidad o escalar en el momento ${\displaystyle t_{1}\,}$.

Astrodinámica

En astrodinámica delta-v es una medida escalar para la cantidad de "esfuerzo" necesario para llevar a cabo una maniobra orbital, es decir, el cambio desde una órbita hasta otra. La delta-v la da normalmente el empuje de un motor de cohete. El valor temporal de la delta-v es la cantidad de la aceleración, es decir, el empuje por kilogramo de la masa del cohete en ese momento. El valor real de la aceleración es la suma del vector gravedad y el vector empuje.

Sin gravedad delta-v es, en el caso de empuje en la dirección de la velocidad, simplemente el cambio en la velocidad. Sin embargo, en un campo gravitatorio, las órbitas que no son circulares incorporan cambios en la velocidad sin requerir ninguna delta-v, mientras que la gravedad puede hacer que la velocidad sea menos que delta-v.

La ecuación del cohete de Tsiolskovski muestra que la cantidad requerida de propelente pueden aumentar drásticamente, y la carga útil puede reducirse también drásticamente si hace falta una mayor delta-v. Por ello, en los sistemas modernos de propulsión de naves espaciales, se estudia considerablemente la manera de reducir la delta-v total necesaria para un vuelo espacial dado, así como diseños de naves espaciales capaces de conseguir altos delta-v.

Para el primero, ver la órbita de transferencia de Hohmann y el giro gravitacional; además, un elevado empuje reduce la pérdida debida a la gravedad.

Para el segundo las posibilidades son:

• Usar varias fases
• Elevado impulso específico
• Dado que un empuje elevado no se puede combinar con un impulso específico elevado, se usan diferentes técnicas de motor a diferentes partes del trayecto espacial (las que tienen mayor empuje para el lanzamiento desde la tierra).
• Reducir la "masa en vacío" (masa sin propelente) manteniendo la capacidad de llevar mucho propelente, usando materials ligeros pero resistentes; cuando los demás factores son iguales, es mejor que el propelente tenga mayor densidad ya que así la misma masa requiere tanques más pequeños.

La delta-v se necesita también para mantener satélites en órbita y se gasta en maniobras de mantenimiento orbital de estaciones.

Lanzamiento

• Para enviar a OBT — se necesitan no sólo de 0 a 7,8km/s, si no también de 1,5 a 2 km/s debido al rozamiento atmosférico y la pérdida gravitacional
• Reentrada desde OBT

Delta-v necesaria para el mantenimiento de estaciones

Maniobra		Altitud		Delta-v media por año		m/s máximo por año
		[km]		[m/s]		[m/s]
mantenimiento de estación				50–55
Compensación de rozamiento		400–500		<25 td="">		<100 nbsp="" td="">
Compensación de rozamiento		500–600		<  5		<  25
Compensación de rozamiento		>600				<   7,5
Control de altitud (3-ejes)				2–  6
Rotación o anti-rotación				5–10
Separación de la fase de empuje				5–10
Momento de descarga				2–  6

Delta-v interplanetaria

Maniobra				Delta-v necesaria
Desde:		Hasta:		[m/s]
Tierra: Superficie		Tierra: Órbita baja		9300-10000
Tierra: Órbita baja		Tierra: Órbita de transferencia geoestacionaria		2500
Tierra: Órbita de transferencia geoestacionaria		Tierra: Órbita geoestacionaria		1500
Tierra: Órbita de transferencia geoestacionaria (perigeo)		Tierra: Órbita de escape		700
Tierra Órbita de escape		Luna: Órbita baja		700
Tierra Órbita de escape		Marte: Órbita de transferencia de Hohmann		600
Tierra: Órbita baja		Marte: Superficie		4800
Tierra: Órbita baja		Escape del sistema solar		8700
Luna: Órbita baja		Luna: Superficie		1600
Marte: Superficie		Marte: Órbita baja		4100
Marte: Órbita de captura		Marte: Órbita de transferenciade mínima energía		900
Marte: Órbita baja		Fobos: Órbita de transferencia de Hohmann		900
Fobos: Órbita de transferencia		Deimos: Órbita de transferencia		300
Deimos: Órbita de transferencia		Deimos: Superficie		700
Fobos: Órbita de transferencia		Fobos: Superficie		500

La distancia mínima de intersección orbital o MOID (siglas en inglés de Minimum orbit intersection distance) es una medida usada en astronomía para evaluar el riesgo de colisión entre objetos astronómicos.¹ Está definida como la distancia entre los puntos más próximos de las órbitas osculatrices de dos cuerpos. De gran interés es el riesgo de colisión con la Tierra; la MOID entre un objeto y la Tierra se llama Earth MOID. Esta distancia se incluye con frecuencia en las bases de datos de cometas y asteroides como la JPL Small-Body Database del Laboratorio de Propulsión a Chorro.² La DMIO también se puede definir respecto a otros cuerpos; por ejemplo, Júpiter o Venus.

La ecuación del cohete de Tsiolkovski considera el principio del cohete: un aparato que puede acelerarse a sí mismo (empuje) expulsando parte de su masa a alta velocidad en el sentido opuesto a la aceleración obtenida debido a la conservación de la cantidad de movimiento.

La ecuación lleva el nombre del científico ruso Konstantín Tsiolkovski que, de forma independiente, la derivó y publicó en su obra de 1903.¹ La ecuación había sido derivada antes por el matemático británico William Moore en 1813.

Relación de la masa del cohete y su velocidad final calculadas a partir de la ecuación del cohete.

Introducción

La expresión de Tsiolkovski expresa que para cualquier maniobra o viaje que incluya maniobras:

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

o equivalentemente:

${\displaystyle m_{1}=m_{0}e^{-\Delta v\ /v_{e}},\qquad m_{0}=m_{1}e^{\Delta v\ /v_{e}}}$

donde:

• ${\displaystyle m_{0}\,}$ es la masa total inicial.
• ${\displaystyle m_{1}\,}$ la masa total final
• ${\displaystyle v_{e}\,}$ la velocidad de los gases de salida con respecto al cohete (impulso específico).

Por otro lado el término:

${\displaystyle 1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta v\ /v_{e}}}$

es la fracción de masa (la parte de la masa total inicial que se utiliza para propulsar el cohete).

${\displaystyle \Delta v}$ (delta-v) es el resultado de integrar en el tiempo la aceleración producida por el uso del motor del cohete (no la aceleración debida a otras fuentes como rozamiento o gravedad). En el caso típico de aceleración en el sentido de la velocidad, es el incremento de la velocidad. En el caso de aceleración en el sentido contrario (desaceleración) es el decremento de la velocidad. La gravedad y el rozamiento cambian también la velocidad pero no forman parte de delta-v. Por ello, delta-v no es simplemente el cambio en la velocidad. Sin embargo, el empuje se aplica en corto tiempo, y durante ese periodo las otras fuentes de aceleración pueden ser despreciables, así que la delta-v de un momento determinado puede aproximarse al cambio de velocidad. La delta-v total puede ser simplemente añadida, aunque entre momentos de propulsión la magnitud y cantidad de velocidad cambia debido a la gravedad, como por ejemplo en una órbita elíptica.

La ecuación se obtiene integrando la ecuación de conservación del momento lineal.

${\displaystyle mdv=v_{e}dm}$

para un cohete simple que emite masa a velocidad constante (la masa que se emite es ${\displaystyle dm}$).

Aunque es una simplificación extrema, la ecuación del cohete muestra lo esencial de la física del vuelo del cohete en una única y corta ecuación. La magnitud delta-v es una de las cantidades más importantes en mecánica orbital que cuantifica lo difícil que es cambiar de una trayectoria a otra.

Claramente, para conseguir un delta-v elevada, debe ser ${\displaystyle m_{0}}$ elevada (crece exponencialmente con delta-v), o ${\displaystyle m_{1}}$ debe ser pequeña, o ${\displaystyle v}$ debe ser elevada, o una combinación de estos.

En la práctica, esto se consigue con cohetes muy grandes (aumentando ${\displaystyle m_{0}}$), con varias etapas (decrementando ${\displaystyle m_{1}}$), y cohetes con combustibles con velocidades de escape muy elevadas. Los cohetes Saturno V utilizados en el Proyecto Apollo y los motores de iones usados en sondas no tripuladas de larga distancia son un buen ejemplo de esto.

La ecuación del cohete muestra un "decaimiento exponencial" de masa, pero no como función del tiempo, si no conforme a mientras se produce la delta-v. La delta-v que corresponde a la "vida media" es ${\displaystyle v_{e}\ln 2\approx 0,693v_{e}}$

Etapas

En el caso de cohetes de varias etapas, la ecuación se aplica a cada etapa, y en cada etapa la masa inicial del cohete es la masa total del cohete después de dejar la etapa anterior y la masa final es la del cohete justo antes de dejar la etapa que se está calculando. El impulso específico para cada etapa puede ser diferente. Por ejemplo, si el 80% de la masa es el combustible de la primera etapa y el 10% es masa en vacío de la primera etapa y el 10% es el resto del cohete, entonces:

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln 5=1,61v_{e}}$

Con tres etapas similares más pequeñas, se tiene:

${\displaystyle \Delta v=3v_{e}\ln 5=4,83v_{e}}$

y la carga útil es un 0,1% de la masa inicial.

Un cohete de una etapa a órbita, también con un 0,1% de carga útil puede tener una masa del 11% para depósitos y motores y el 88,9% de combustible. Esto da

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln(100/11,1)=2,20v_{e}}$

Si el motor de una nueva etapa se enciende antes de que la etapa anterior haya caído y los motores que trabajan simultáneamente tienen un impulso específico diferente (como es muchas veces el caso en cohetes de combustible sólido y etapas líquidas), la situación es más complicada.

Energía

En el caso ideal ${\displaystyle m_{1}}$ es la carga útil y ${\displaystyle m_{0}-m_{1}}$ es la masa que reacciona (que corresponde a depósitos vacíos sin masa, etc.). La energía necesaria es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1})v_{e}^{2}}$.

Ésta es la energía cinética de la masa de reacción y no la energía cinética requerida por la carga, pero si ${\displaystyle v_{e}}$=10 km/s y la velocidad del cohete es 3 km/s, entonces la velocidad de la masa de reacción solo cambia desde 3 a 7 km/s; La energía "ahorrada" corresponde al incremento de la energía cinética específica (energía cinética por kg) para el cohete. En general:

${\displaystyle d\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)=vdv=vv_{e}dm/m={\frac {1}{2}}\left(v_{e}^{2}-(v-v_{e})^{2}+v^{2}\right)dm/m}$

Se tiene:

${\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)}$

donde ${\displaystyle \epsilon }$ es la energía específica del cohete y ${\displaystyle \Delta v}$ es una variable separada, no sólo el cambio en ${\displaystyle v}$. En el caso de usar el cohete parar decelerar, es decir, expeler masa de reacción en la dirección de la velocidad, ${\displaystyle v}$ es negativa.

La fórmula es para el caso ideal sin pérdidas de energía por calor, etc. Esta última causa una reducción del empuje, así que es una desventaja aun cuando el objetivo es perder energía (decelererar).

Si la energía se produce por la masa misma, como en un cohete químico, el valor del combustible tiene que ser:${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{e}^{2}}$, donde para el valor del combustible se tiene que tomar también la masa del oxidante. Un valor típico es ${\displaystyle v_{e}=4,5km/s}$, correspondiente a 10,1 MJ/kg. La valor real es más alto pero parte de la energía se pierde en forma de calor que sale como radiación. La energía necesaria es:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m_{1}\left(e^{\Delta v\ /v_{e}}-1\right)v_{e}^{2}}$

Conclusiones:

• Para ${\displaystyle \Delta v\ll v_{e}}$ se tiene ${\displaystyle E\approx {\frac {1}{2}}m_{1}v_{e}\Delta v}$
• Para una ${\displaystyle \Delta v}$ dada, la energía mínima se necesita si ${\displaystyle v_{e}=0,6275\Delta v}$, requiriendo una energía de

${\displaystyle E=0,772m_{1}(\Delta v)^{2}}$.

Empezando desde velocidad cero es el 54,4 % más que la energía cinética de la carga útil. Empezando desde una velocidad que no es cero, la energía requerida puede ser "menos" que el incremento de energía cinética de la carga. Éste puede ser el caso cuando la masa de reacción tiene una velocidad menor después de ser expelida que antes. Por ejemplo, desde una OBT de 300 km de altitud a una órbita de escape es un incremento de 29,8 MJ/kg, lo cual, usando un impulso específico de 4,5 km/s, tiene un coste neto de 20,6 MJ/kg (${\displaystyle \Delta v}$ = 3,20 km/s; las energías son por kg de carga útil).

Esta optimización no tiene en cuenta las masa de los diferentes tipos de cohetes.

Además, para un objetivo determinado, como por ejemplo cambiar de una órbita a otra, la ${\displaystyle \Delta v}$ requerida dependa mucho de la velocidad a la que el motor produce ${\displaystyle \Delta v}$ y determinadas maniobras pueden ser imposibles si ésta es muy baja. Por ejemplo, un lanzamiento a OBT requiere normalmente una ${\displaystyle \Delta v}$ de alrededor de 9,5 km/s (mayormente para conseguir la velocidad), pero si el motor pudiese producir ${\displaystyle \Delta v}$ a una velocidad sólo algo más elevada que g, sería un lanzamiento lento y requeriría una ${\displaystyle \Delta v}$ mucho más elevada (costaría una ${\displaystyle \Delta v}$ de 9,8 m/s cada segundo). Si la aceleración posible es ${\displaystyle g}$ o menor, no es posible ir a órbita con ese motor.

La potencia se obtiene de

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}mav_{e}={\frac {1}{2}}Fv_{e}}$

donde ${\displaystyle F}$ es el empuje y ${\displaystyle a}$ es la aceleración debida a ella. Por ello, el empuje teórico posible por unidad de potencia es 2 dividido por el impulso específico en m/s. La eficiencia de empuje es el empuje real entre empuje teórico.

Si se usa energía solar se restringe ${\displaystyle a}$; en el caso de ${\displaystyle v_{e}}$ elevadas, la aceleración posible es inversamente proporcional a la velocidad de escape, así que el tiempo necesario para conseguir una delta-v es proporcional a ${\displaystyle v_{e}}$; con el 100% de eficiencia:

• para ${\displaystyle \Delta v\ll v_{e}}$ tenemos que ${\displaystyle t\approx {\frac {mv_{e}\Delta v}{2P}}}$

Ejemplos:

• potencia 1000 W, masa 100 kg, ${\displaystyle \Delta v}$= 5 km/s, ${\displaystyle v_{e}}$= 16 km/s, lleva 1,5 meses.
• potencia 1000 W, masa 100 kg, ${\displaystyle \Delta v}$= 5 km/s, ${\displaystyle v_{e}}$= 50 km/s, lleva 5 meses.

Por ello, la ${\displaystyle v_{e}}$ no puede ser demasiado alta.

Ejemplos

Se asume un impulso específico de 4,5 km/s y una ${\displaystyle \Delta v}$ de 9,7 km/s (Tierra a LEO).

• Un cohete de una etapa a órbita: ${\displaystyle 1-e^{-9,7/4,5}}$ = 0,884, por ello el 88,4 % de la masa total inicial será propelente. El restante 11,6 % es para los motores, el tanque y la carga.

• Un cohete de dos etapas a órbita: se supone que la primera etapa da una ${\displaystyle \Delta v}$ de 5,0 km/s; ${\displaystyle 1-e^{-5,0/4,5}}$ = 0,671, por ello, el 67,1%. El restante es el 32,9 %. Después de dejar la primera etapa, la masa será este 32,9% menos el tanque y el motor de la primera etapa. Si se asume que esto es el 8% de la masa total inicial, queda el 24,9%. La segunda etapa da una ${\displaystyle \Delta v}$ de 4,7 km/s; ${\displaystyle 1-e^{-4,7/4,5}}$ = 0,648, por ello, el 64,8% de la masa restante debe ser propelente, que es el 16,2 %, y el 8,7 % el tanque, el motor y la carga de la segunda etapa, Así que hay disponible el 16,7 % para motores, tanques y carga útil.