Matemáticas - Fracciones

Espacio cociente

Espacio cociente es un término matemático que hace referencia a cierta estructura matemática que se deriva de otra en la que se ha definido una relación de equivalencia.

De manera más precisa, si X es una estructura matemática en el que se define una relación de equivalencia ~, entonces el espacio cociente X/~ es la estructura matemática inducida en el conjunto de clases de equivalencia con las operaciones entre clases de equivalencia obtenidas de manera canónica a partir de las correspondientes en X.

Un caso muy común se refiere al caso en que Y sea una subestructura de X (por ejemplo, subespacio vectorial, subgrupo, subespacio topológico, etc.) en cuyo caso el espacio cociente de la relación de equivalencia asociada se suele denotar como X/Y.

Ejemplos notables

Conjunto cociente

Si A es un conjunto y ~ una relación de equivalencia, entonces las clases de equivalencia forman una partición del conjunto A.

Las clases de equivalencia de la relación integran entre sí un nuevo conjunto, denominado conjunto cociente y denotado A/~.

Ejemplo

Consideremos el conjunto A de personas en una oficina. La relación

${\displaystyle X\sim Y}$ cuando ${\displaystyle X}$ tiene el mismo primer apellido que ${\displaystyle Y}$

es una relación de equivalencia en A e induce una partición de las personas de la oficina en grupos separados dependiendo de su primer apellido.

Entonces el conjunto de primeros apellidos de personas de la oficina es el conjunto cociente de las personas de la oficina entre la relación de equivalencia.

Si, por ejemplo, en la oficina se encuentran las personas

{Juan Pérez, Luis García, Carlos Pérez, Manuel González, Luis Martínez, Arturo García}

entonces las clases de equivalencia son

• [Pérez] = {Juan Pérez, Carlos Pérez}
• [García] = {Luis García, Arturo García}
• [González] = {Manuel González}
• [Martínez] = {Luis Martínez}

Y el conjunto cociente de dicha relación de equivalencia es

${\displaystyle A/\sim =\{[{\text{Pérez}}],[{\text{García}}],[{\text{Martínez}}],[{\text{González}}]\}}$

Ejemplo.

Si en el conjunto de los números enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ se define la relación ${\displaystyle a\sim b}$ cuando ${\displaystyle a-b}$ sea un múltiplo de 5, entonces las clases de equivalencia son:

• ${\displaystyle [0]=\{\ldots ,-15,-10,-5,0,5,10,15,\ldots \}}$.
• ${\displaystyle [1]=\{\ldots ,-14,-9,-4,1,6,11,16,\ldots \}}$
• ${\displaystyle [2]=\{\ldots ,-13,-8,-3,2,7,12,17,\ldots \}}$
• ${\displaystyle [3]=\{\ldots ,-12,-7,-2,3,8,13,18,\ldots \}}$
• ${\displaystyle [4]=\{\ldots ,-11,-6,-1,4,9,14,19,\ldots \}}$

y por tanto el conjunto cociente tiene cinco elementos:

• ${\displaystyle A/\sim =\{[0],[1],[2],[3],[4]\}}$.

Ejemplo.

Partiendo de que el par ordenado (a,b) es elemento de ℤ×ℤ^* con b≠0. Se define (a,b)~ (c,d) si y solo si ad = bc. Esta relación es de equivalencia en ℤ×ℤ^*. Por ejemplo {(x,y)~(2,5) }= {(2,5) (4,10) (6,15) (8,20) (10,25)... }:= [2,5], que es su elemento canónico.

El conjunto cociente ℤ×ℤ^*/~ es el conjunto ℚ de los números racionales.¹

Grupo cociente

Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, entonces la relación ${\displaystyle ab^{-1}\in H}$ es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencias son las clases laterales (izquierdas) del subgrupo H.

En este caso, el conjunto cociente se denota G/H y es posible inducir una estructura de grupo en G/H de manera canónica a partir de la operación en G:

• Si aH y bH son dos clases de equivalencia, se define el producto (aH)(bH) como la operación cuyo resultado es la clase lateral (ab)H.

Con esta operación, G/H adquiere estructura de grupo, el cual se denomina grupo cociente.

Construcciones similares se pueden realizar para anillos, módulos y otras estructuras algebraicas.

Espacio vectorial cociente

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Espacio topológico cociente

Si X es un espacio topológico y ${\displaystyle p:X\to Y}$ es una función suprayectiva, entonces es posible inducir una topología T en Y a partir de la topología de X:

• A es un conjunto abierto en la topología de Y si ${\displaystyle p^{-1}(A)}$ es un conjunto abierto de X.

La topología de Y se denomina topología cociente inducida por p.

Ahora, considérese una partición ${\displaystyle {\bar {X}}}$ de ${\displaystyle X}$ en clases disjuntas (es decir, considérese una relación de equivalencia). La función ${\displaystyle p:X\to {\bar {X}}}$ que asigna cada punto de ${\displaystyle X}$ a la clase de equivalencia que lo contiene es una función suprayectica.

El espacio ${\displaystyle {\bar {X}}}$ con la topología cociente inducida por p se denomina espacio cociente de X (inducido por la relación de equivalencia).

Informalmente, esta construcción corresponde a la identificación de todos los puntos de la clase de equivalencia en un mismo punto, por lo que al espacio cociente también se le conoce como espacio de identificación o espacio de descomposición de X.

Espacios cociente Una construcción muy útil es la de espacio vectorial cociente. Al hacer un cociente uno se olvida de ciertas propiedades de los vectores y se concentra únicamente en otras, "identificando" como uno solo ciertos conjuntos de vectores: aquellos relacionados entre sí por una relación de equivalencia forman una clase de equivalencia. En el caso de los espacios vectoriales se parte de un espacio E$E$ y un subespacio vectorial suyo F$F$. La relación de equivalencia para tomar el conjunto cociente E/F$E/F$ es v∼w⟺v−w∈F.$$v\sim w⟺v-w\in F.$$ Y los elementos de E/F$E/F$, las clases de equivalencia, son de la forma [v]={w,w∼v}={w,v−w∈F}.$$[v]=\{w,w\sim v\}=\{w,v-w\in F\}.$$ La suma en E/F$E/F$ se define sumando dos representantes cualesquiera de las clases, +:E/F×E/F([v],[w])→↦E/F[v]+[w]=[v+w],$$\begin{array}{cccc}+:& E/F\times E/F& \to & E/F\\ & ([v],[w])& \mapsto & [v]+[w]=[v+w]\end{array},$$ que se puede demostrar está bien definida (no depende de la elección de representantes). El producto por escalares se define igualmente usando un representante de la clase: ⋅:K×E/F(λ,[v])→↦E/Fλ[v]=[λv].$$\begin{array}{cccc}\cdot :& \mathbb{K}\times E/F& \to & E/F\\ & (\lambda ,[v])& \mapsto & \lambda [v]=[\lambda v]\end{array}.$$ En primer lugar, recordemos la interpretación geométrica de la diferencia de vectores. En el siguiente applet, se pueden cambiar los vectores u$u$ y v$v$ moviendo los respectivos puntos en sus extremos. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org � Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.comEl vector diferencia u−v$u-v$ es equipotente al vector libre entre el extremo de v$v$ y el extremo de u$u$. El siguiente applet muestra cuándo los vectores u$u$ y v$v$ están relacionados. Recordemos que la relación de equivalencia es u∼v⟺u−v∈F$u\sim v⟺u-v\in F$. Las leyendas u∼v$u\sim v$ y u≁v$u\nsim v$ aparecen según se verifique una condición u otra. Hay que ser bastante preciso para conseguir que se verifique la condición u∼v$u\sim v$, por lo que deben moverse los vectores con cuidado si se quiere conseguir que estén relacionados. El subespacio F$F$ también puede cambiarse moviendo el punto gris. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org � Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.comLos vectores u$u$ y v$v$ están relacionados si y sólo si determinan una recta paralela a F$F$. Por tanto, la clase de equivalencia definida por un vector u$u$, denotada [u]$[u]$, está formada por todos los vectores que, junto con u$u$ determinan una recta paralela a F$F$. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org � Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Como cada recta paralela a F$F$ es una clase de equivalencia o, lo que es lo mismo, un elemento del espacio vectorial cociente, este espacio cociente se puede ver como el conjunto de rectas paralelas a F$F$. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org � Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Para que este cociente tenga estructura de espacio vectorial se necesitan la operación suma y el producto por escalares. El siguiente applet muestra cómo se define la suma usando representantes de las clases: [u]+[v]=[u+v]$[u]+[v]=[u+v]$. Muestra también que esta suma no depende de los representantes elegidos. Se pueden desplazar las clases de equivalencia (las rectas roja y azul) moviendo los puntos grises que están sobre ellas. Además, se pueden mover los distintos representantes desplazando los puntos rojos y azules. La clase de equivalencia determinada por la recta morada es la suma de la clase determinada por la recta roja y la clase determinada por la recta azul. Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org � Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.comAnálogamente se puede mostrar que la definición del producto escalar como λ[u]=[λu]$\lambda [u]=[\lambda u]$ no depende del representante elegido para construirla.