Matemáticas - Fracciones

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).¹

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }$ es un sistema de ecuaciones. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ es la matriz de coeficientes del sistema, ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ es el vector columna de las incógnitas y ${\displaystyle \mathbf {b} }$ es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

${\displaystyle x_{j}={\cfrac {\det(\mathbf {A} _{j})}{\det(\mathbf {A} )}}}$

donde ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$ es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ por el vector columna ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ha de ser no nulo.

Sistema de 2x2

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

${\displaystyle a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}={\color {red}e}\,}$

${\displaystyle c{\color {blue}x}+d{\color {blue}y}={\color {red}f}\,}$

Se representa matricialmente :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

Entonces, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}e}d-b{\color {red}f}}{ad-bc}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {a{\color {red}f}-{\color {red}e}c}{ad-bc}}}$

Ejemplo

Ejemplo de la resolución de un sistema de 2x2:

Dado

${\displaystyle 3x+1y=9\,}$

${\displaystyle 2x+3y=13\,}$

que matricialmente es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9\\13\end{bmatrix}}}$

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}9&1\\13&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={9\cdot 3-1\cdot 13 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=2}$

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}3&9\\2&13\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\2&3\end{vmatrix}}}={3\cdot 13-9\cdot 2 \over 3\cdot 3-1\cdot 2}=3}$

Sistema de 3x3

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

${\displaystyle {\begin{cases}a{\color {blue}x}+b{\color {blue}y}+c{\color {blue}z}={\color {black}j}\\d{\color {blue}x}+e{\color {blue}y}+f{\color {blue}z}={\color {black}k}\\g{\color {blue}x}+h{\color {blue}y}+i{\color {blue}z}={\color {black}l}\end{cases}}}$

Que representadas en forma de matriz es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {blue}x}\\{\color {blue}y}\\{\color {blue}z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ pueden ser encontradas como sigue:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

${\displaystyle \left\lbrace \!\!\!{\begin{array}{rl}3x+2y+1z=&\!\!\!1\\2x+0y+1z=&\!\!\!2\\-1x+1y+2z=&\!\!\!4\end{array}}\right.}$

expresado en forma matricial: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}}}$

Los valores de ${\displaystyle x,y{\text{ y }}z}$ serían:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&1\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&1&1\\\,\,\,\,2&2&1\\-1&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad z={\frac {\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&2\\-1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\,\,\,\,3&2&1\\\,\,\,\,2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}}$

Demostración

Sean:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\quad {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{j}=\left[{\begin{array}{llllllll}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&\cdots &a_{2,j-1}&b_{2}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2,n}\\\\\vdots &&&\ddots &&&\vdots \\\\a_{n-1,1}&\cdots &a_{n-1,j-1}&b_{n-1}&a_{n-1,j+1}&\cdots &a_{n-1,n}\\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{array}}\right]}$

Usando las propiedades de la multiplicación de matrices:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {Ix}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}}$

entonces:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}={\frac {(\operatorname {Adj} {\boldsymbol {A}})^{t}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}\;{\boldsymbol {b}}}$

${\displaystyle (\operatorname {Adj} {\boldsymbol {A}})^{t}={\frac {{\boldsymbol {A}}_{pl}^{\prime }}{{\boldsymbol {A}}_{pl}^{\prime }}}={\boldsymbol {A}}_{lp}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}{\boldsymbol {b}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\boldsymbol {A}}_{ji}^{\prime }}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}b_{ik}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {A}}_{ij}b_{i}}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}={\cfrac {\left|{\boldsymbol {A}}_{j}\right|}{\left|{\boldsymbol {A}}\right|}}}$

Aparte, recordando la definición de determinante, la suma definida acumula la multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición ${\displaystyle ij}$, con el elemento i-ésimo del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna ${\displaystyle j}$, en la matriz ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{j}}$).

Regla de Cramer Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas: Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales: El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues: Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas: