Matemáticas - Fracciones

Infinitesimal

 infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, originalmente fundamentó ciertos razonamientos del cálculo infinitesimal. En la crisis de los fundamentos matemáticos de principios del siglo XIX los infinitésimos fueron abandonados por los matemáticos, aunque siguieron siendo tratados informalmente en las ciencias aplicadas, y se suelen considerar como números en la práctica. Sólo después de la segunda mitad del siglo XIX apareció un enfoque totalmente riguroso de los números infinitesimales.

El análisis no estándar introducido en los años 1960 por Abraham Robinson es un enfoque axiomático y riguroso que permite introducir infinitesimales (números hiperreales no nulos cuyo valor absoluto es más pequeño que cualquier número real estándar). Si bien los resultados que pueden lograrse mediante el análisis no estándar pueden ser alcanzados por la teoría estándar de los números reales, existen muchas demostraciones matemáticas y deducciones que son más simples y breves cuando se usan el análisis no estándar. El inverso multiplicativo de un infinitesimal es un número real no estándar ilimitado.

Introducción

El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los albores del surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Durante el siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal ya no era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites de forma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.

Otra manera de trabajar con los infinitésimos es considerarlos como números, y no como límites, es decir trabajar en un conjunto ${\displaystyle \Re }$ que contenga más números que los usuales. Se les llaman números hiperreales, y son una creación del análisis no estándar.

Análisis estándar

Definición

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en determinados puntos, por ejemplo:

f(x) = x-1 es un infinitésimo en x=1.

g(x) = sen(x) es un infinitésimo en ${\displaystyle 0+k\pi }$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Por lo tanto, toda función cuando tiende a 0 en un punto se denomina infinitésima.

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.
2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.
3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.
4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
5. La división de un infinitésimo por un escalar no nulo es un infinitésimo

Comparación de infinitésimos

Dadas ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ y ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0}$

1. Si ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\pm \infty }$ f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden inferior a g en x=a.
2. Si ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}$ f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden superior a g en x=a.
3. Si ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=l}$ con l perteneciente a ${\displaystyle \mathbb {R} -\left\{0\right\}}$ f y g son infinitésimos del mismo orden en x=a.
4. En particular, si ${\displaystyle {\underset {x\to a}{\mathop {\lim }}}\,{\frac {f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=1}$ f es un infinitésimo equivalente a g en x=a

Si dos infinitésimos son equivalentes entonces se puede aproximar uno a otro. Es decir si f(x) y g(x) son infinitésimos equivalentes cuando ${\displaystyle x\to a}$ entonces se puede decir que ${\displaystyle f(x)\approx g(x)}$ cuando ${\displaystyle x\to a}$. Si se presentan como factor o divisor pueden sustituirse uno por otro para el cálculo de límites cuando ${\displaystyle x\to a}$.

Algunos Infinitésimos equivalentes

${\displaystyle f(x)\,}$ es un infinitésimo cuando ${\displaystyle x\to 0}$.

1. ${\displaystyle \sin(x)\approx x}$
2. ${\displaystyle \tan(x)\approx x}$
3. ${\displaystyle 1-\cos(x)\approx {\frac {x^{2}}{2}}}$
4. ${\displaystyle \arcsin(x)\approx x}$
5. ${\displaystyle \arctan(x)\approx x}$
6. ${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$
7. ${\displaystyle \ln(1+x)\approx x}$

${\displaystyle f(x)\,}$ es un infinitésimo cuando ${\displaystyle x\to 1}$.

1. ${\displaystyle \ln(f(x))\approx f(x)-1}$

Análisis no estándar

El análisis no estándar es una generalización del análisis real. El análisis no estándar permite definir además de los objetos definibles en la teoría ordinaria de los números reales nuevos objetos denomiandos "externos" o "no estándar". Cualquier objeto (número, conjunto o función) definible en la teoría convencional de los números reales es un objeto "estándar" dentro del análisis no estándar. Junto con los objetos "estándar" el análisis no estándar de Robinson permite introducir "objetos no estándar" como número inifinitesimales o números ilimitados (infinitos) y manejarlos de manera totalmente coherente dentro de la teoría.

La teoría no estándar parte de introducir un nuevo predicado ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {st} (\cdot )}$, ese predicado permite construir un lenguaje formal que incluye a la teoría ordinaria de los números reales pero permite definir nuevos números (concretamente la noción de número "i-pequeño" e "i-grande" permiten construir números infinitesimales y números ilimitados más grandes que cualquier número real estándar u ordinario). El predicado "estándar" se caracteriza por tres axiomas adicionales que no posee la teoría ordinaria de los números reales, y que por tanto crean un lenguaje formal que permite formalizar números adicionales. El análisis no estándar hace un uso crucial de números infinitesimales e ilimitados:

• Un número ε es infinitesimal si para cualquier número entero estándar n se cumple que |ε| < 1/n. El único número real estándar con esa propiedad es el cero, pero existe una infinidad r de números reales no estándar tales que: r < 1/n, para cualquier número entero estándar. El predicado inf(·) formaliza la noción de infinitesimal, a partir de la relación primitiva de estándar:

${\displaystyle \mathrm {inf} (r)\Leftrightarrow \left[\forall n:\mathrm {st} (n)\land \left(-{\frac {1}{n}}$

• Análogamente puede definirse un número ilimitado (o infinito) como cualquier número real r tal que r > n para todo número entero estándar. La clave en esa definición es el término estándar, en la teoría ordinaria de los números reales al no existir la noción de estándar no puede formalizarse el concepto de infinito. El predicado Inf(·) formaliza la noción de número ilimitado, a partir de la relación primitiva de estándar:

${\displaystyle \mathrm {Inf} (r)\Leftrightarrow \left[\forall n:\mathrm {st} (n)\land \left(r<-n lor="" r="">n\right)\right]}$

El análisis no estándar por tanto permite construir un conjunto de números que extiende al de los números reales, este conjunto es de los números hiperreales y se representa como ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ y en él se pueden definirse reglas aritméticas para los números infinitesimales (inf(·)), ilimitados (Inf(·)), limitados (complemento del anterior: ¬Inf(·)) y apreciables (ni infinitesimos, ni ilimitados: ¬inf(·)∧¬Inf(·)), a partir de estos cuatro conjuntos se tienen las siguientes reglas de Leibniz para las operaciones aritméticas de estos conjuntos:

+/-	infinitesimal	limitado	apreciable	ilimitado
infinitesimal	infinitesimal	limitado	apreciable	ilimitado
limitado	limitado	limitado	limitado	ilimitado
apreciable	apreciable	limitado	limitado	ilimitado
ilimitado	ilimitado	ilimitado	ilimitado	?

Para la multiplicación las reglas de Leibniz son las siguientes:

x	infinitesimal	limitado	apreciable	ilimitado
infinitesimal	infinitesimal	infinitesimal	infinitesimal	?
limitado	infinitesimal	limitado	limitado	?
apreciable	infinitesimal	limitado	apreciable	ilimitado
ilimitado	?	?	ilimitado	ilimitado

 inverso multiplicativo, recíproco o inverso de un número x no nulo, es el número, denotado como ¹⁄_x ó x ⁻¹, que multiplicado por x da 1 como resultado.

En los números reales el 0 no tiene inverso multiplicativo porque ningún número real multiplicado por 0 da como resultado 1. Excepto el 0, el inverso de un número real también es real, el inverso de un número racional es racional y el inverso de todo número complejo, tiene un inverso que es un número complejo.

La propiedad que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de cuerpo.

Es decir:

• Si tenemos y/x su inverso multiplicativo es x/y; o bien
• Si tenemos x su inverso multiplicativo es 1/x .

La división es la operación inversa de la multiplicación: si y es distinto de cero, entonces por definición x/y = x.y⁻¹

Inverso multiplicativo en otros objetos matemáticos

El inverso multiplicativo es aplicable a distintos tipos de objetos matemáticos.

• La inversa de una matriz cuadrada es otra matriz, denominada matriz inversa, que al multiplicarse por la original es igual a la matriz identidad.

• La inversa de una función biyectiva f es la resultante de despejar la variable independiente, convirtiéndola en dependiente. Su gráfica es simétrica a la gráfica de la función f con respecto a la recta ${\displaystyle y=x}$.

• En las matemáticas constructivas, para que un número real x tenga inverso, no es suficiente que sea falso que x = 0. Además, debe existir un número racional r tal que 0 < r < |x|.

En cuanto al algoritmo de aproximación presentado en el párrafo anterior, esto es necesario para demostrar que la variación en y llegará a ser arbitrariamente pequeña.

• En la aritmética modular, el inverso multiplicativo de x también está definido: es el número a tal que (a × x) ≡ 1 (mod n). Sin embargo, este inverso multiplicativo sólo existe si a y n son primos entre sí. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4, porque es la solución de (3 × x) ≡ 1 (mod 11). Un algoritmo empleado para el cálculo de inversos modulares es el Algoritmo extendido de Euclides.

La función recíproca y = 1/x es una hiperbola con asíntotas en los ejes cartesianos. Para cada valor de x (eje horizontal) excepto el 0, y (eje vertical) representa su inverso multiplicativo.