Matemáticas - Fracciones

 fracción molar es una unidad química que se usa para expresar la concentración de un soluto en una disolución. Se define como el cociente entre los moles de soluto y el total de moles de la disolución, que se calcula sumando los moles de soluto(s) y de solvente:

${\displaystyle \chi _{i}={\frac {n_{i}}{n_{t}}}<1 annotation="">$

También puede expresarse como porcentaje (llamado "porcentaje molar"):

${\displaystyle \%_{m}={\frac {n_{i}}{n_{t}}}\times 100\%}$

La suma de las fracciones molares de todos los componentes de una mezcla es la unidad:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\chi _{i}=\chi _{1}+\chi _{2}+...+\chi _{n}=1}$

Por ejemplo, en una mezcla binaria de 6 moles de etanol y 4 moles de agua, lo que da un total de 10 moles, la fracción molar del etanol es de 6/10 = 0,6; mientras que la fracción molar del agua es 4/10 = 0,4.

Como el volumen de una disolución depende de la temperatura y de la presión, cuando estas cambian el volumen también lo hace, lo que afecta a otras formas de expresar la concentración, como por ejemplo la molaridad. En cambio, la fracción molar es independiente de la temperatura y la presión.

Además, cabe notar que en los gases ideales el volumen parcial de cada uno de los componentes es proporcional al número de moles de éste, y lo mismo sucede con el volumen de la mezcla y el total de moles. En consecuencia, la fracción molar de un componente es igual a la fracción correspondiente a su volumen parcial respecto del total. Análogamente, la proporción entre la presión parcial de un componente de una mezcla de gases ideales y la presión total es igual a la fracción molar de ese componente (Ley de Dalton de las presiones parciales).

función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación .

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

donde los coeficientes a_i(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.

Precisiones

En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia trigonométrica:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.\,}$

La misma determina y, excepto por su signo:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la "función" determinada por la ecuación polinómica.

Una función algebraica de n variables es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0.\,}$

Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.

Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x₁,...,x_n). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces. Entre las funciones algebraicas se encuentran las funciones racionales y las funciones irracionales.

Función racional

Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

${\displaystyle f(x)={\frac {{\text{P}}(x)}{{\text{Q}}(x)}}}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador 1. Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Función irracional

Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical,

Las características generales de estas funciones son:

a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero.

b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o menor que cero.

c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.

Función "valor absoluto"

En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

concepto de función algebraica, a través de un ejemplo que incorpore otros términos usados con frecuencia en relación a este tema, tales como dominio y co dominio de una función.

Para empezar te invito a pensar que el concepto de función lo usamos muchas veces en la vida real. Por ejemplo -algo que conoces muy bien- es lo que te dicen muy seguido: “te daremos permiso para salir en función de tus notas en la escuela: si tus notas son altas saldrás y si no lo son, no saldrás“.

Toda nuestra vida está “en función de…”, observa: yo compro en función del dinero que tengo…, tu móvil funcionará en función de la batería que le quede y un coche recorrerá distancias en función del combustible que tenga. Así es todo: siempre existe una cosa que depende de otra para funcionar. Esa es la clave del…

Concepto de función algebraica

Reitero la clave: una cosa que depende de otra, es decir hay “un algo   independiente que condiciona “otro algo” dependiente. En matemáticas le llamamos una variable independiente y una variable dependiente (es decir que depende de la otra). En el caso de los cuatro ejemplos que cité antes, serían:

Variable independiente	Variable dependiente
Tus notas	Tu permiso de salir
El dinero que tienes	Lo que puedes comprar
La carga de batería de tu móvil o celular	El tiempo que dura encendido
La cantidad de combustible de un automóvil	La distancia que puede recorrer

Si has entendido este concepto entenderás muy bien este otro: lale forma como expresamos una función matemática es llamarle “x” a la variable independiente,  e “y” a la variable dependiente (o también f(x) que se lee “f de x”,

Resumiendo:

x= variable independiente

y = f(x) =variable dependiente

Como siempre, un ejemplo será lo mejor. Fíjate en esta expresión que es lo que en matemáticas llamamos una función lineal (ya te explicaré por qué).

f(x) = 2x+1

En palabras sencillas, quiere decir que lo que esté en función de x, valdrá 2x+1 es decir, el doble que x + 1. Esto suena complicado, pero lo hacemos paso a paso en una tabla de valores, donde los valores de x como son independientes, son elegidos libremente por nosotros y el valor de f(x) , dependerá precisamente de esa operación matemática que nos han dado, vale decir 2x+1.

La forma como debes operar y trabajar queda bien clara en la siguiente imagen:

Haz clic y agranda la imagen si no consigues verla bien.

Allí queda claro cómo es que comienzas a trabajar con una función algebraica (lineal en este caso, más adelante veremos por qué):

• Tú eliges libremente un conjunto de valores de partida que asignas a “x”
• Lluego en la expresión algebraica que te dieron sustituyes ese valor que has elegid,  por la “x” de la expresión
• Escribes el resultado final en la columna final, que es la “y”, por lo que obtendrás entonces un conjunto de resultados de llegada que confirman toda esa columna.

Hasta aquí el post de hoy. A partir de ésta última parte es que definiremos dos conceptos importantes Dominio y codominio de una función algebraica.