Matemáticas - Fracciones

Anillo cociente

anillo cociente, anillo factor o anillo de residuos es el anillo que se obtiene sobre el conjunto de clases de equivalencia de un anillo respecto a una relación de equivalencia ${\displaystyle a\sim b}$ dada por ${\displaystyle a-b\in I}$ donde I es cualquier ideal bilateral cuando las operaciones en el conjunto de clases de equivalencia son inducidas por las operaciones en el anillo original.

Es importante diferenciar el concepto de anillo cociente del de anillos de cocientes, obtenidos por un proceso de localización de un anillo.

Definición formal

Dado un anillo R y un ideal bilateral de R, I. Dado que la estructura aditiva de R es de grupo abeliano, el conjunto ${\displaystyle {\bar {R}}=R/I}$ de clases laterales aditivas ${\displaystyle a+I}$ (con ${\displaystyle a\in R}$) adquiere la estructura de grupo abeliano (bajo la operación grupo cociente) mediante la suma de clases laterales definida como:

${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}$.

Este grupo abeliano adquiere estructura de anillo si adicionalmente se define el producto de clases laterales como

${\displaystyle (a+I)(b+I):=(ab)+I}$.

• Se establece que el producto está unívocamente determinado, no depende de la elección de los representantes de cada clase.¹

A la estructura de anillo obtenida en ${\displaystyle R/I}$ mediante este proceso se le denomina anillo cociente de R entre I.²

Teoremas de isomorfismo

Sea ${\displaystyle f:R\to R'}$es un homomorfismo de anillos cuyo kernel es el ideal ${\displaystyle I}$ y sea ${\displaystyle J}$ es un ideal contenido en ${\displaystyle I}$. Denotando por ${\displaystyle {\bar {R}}}$ al anillo de residuos ${\displaystyle R/J}$ entonces: Existe un único homomorfismo ${\displaystyle {\bar {f}}:{\bar {R}}\to R}$ tal que ${\displaystyle {\bar {f}}\pi =f}$ donde ${\displaystyle \pi }$ es la proyección canónica de ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle {\bar {R}}}$. Si ${\displaystyle J=I}$ entonces ${\displaystyle {\bar {R}}}$ es un anillo isomorfo a la imagen de ${\displaystyle f}$. anillo cociente asociado a un ideal. Enunciado Sea (A,+,⋅)$(A,+,\cdot )$ un anillo, e I$I$ un ideal de A.$A.$ Demostrar que A/I={a+I:a∈A}$A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un anillo con las operaciones: (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)⋅(b+I)=ab+I.$$\begin{array}{}(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)\cdot (b+I)=ab+I.\end{array}$$ Demostrar también que si A$A$ es conmutativo (unitario), entonces A/I$A/I$ es conmutativo (unitario). Solución 1)$1)$ (A/I,+,⋅)$(A/I,+,\cdot )$ es grupo abeliano. En efecto, como I$I$ es un subgrupo aditivo de A,$A,$ y la operación +$+$ es conmutativa, I$I$ es subgrupo normal de A,$A,$ y según sabemos A/I={a+I:a∈A}$A/I=\{a+I:a\in A\}$ es un grupo (además abeliano) con la operación +,$+,$ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I.$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I.$ 2)$2)$ (A/I,⋅)$(A/I,\cdot )$ es semigrupo. Lo primero que tenemos que demostrar es que la operación producto está bien definida en A/I,$A/I,$ es decir que el producto depende de las clases en sí, y no del representante que elijamos de las mismas. Equivalentemente, tenemos que demostrar que: a+I=a′+I y b+I=b′+I⇒ab+I=a′b′+I.$$a+I=a^{\prime }+I\text{ y }b+I=b^{\prime }+I\Rightarrow ab+I=a^{\prime }{b}^{\prime }+I.$$ En efecto, si a+I=a′+I$a+I=a^{\prime }+I$ y b+I=b′+I,$b+I=b^{\prime }+I,$ entonces a′∈a+I$a^{\prime }\in a+I$ y b′∈b+I,$b^{\prime }\in b+I,$ o sea a′=a+x,$a^{\prime }=a+x,$ b′=b+y$b^{\prime }=b+y$ para ciertos x,y∈I.$x,y\in I.$ Ahora bien, a′b′=(a+x)(b+y)=ab+xb+ay+xy.$$a^{\prime }{b}^{\prime }=(a+x)(b+y)=ab+xb+ay+xy.$$ Como I$I$ es ideal, la suma xb+ay+xy$xb+ay+xy$ pertenece a I,$I,$ y por tanto a′b′∈ab+I,$a^{\prime }{b}^{\prime }\in ab+I,$ luego a′b′+I=ab+I.$a^{\prime }{b}^{\prime }+I=ab+I.$ Queda pues demostrado que la operación producto está bien definida en A/I.$A/I.$ Interna. Por la propia definición, el producto de dos elementos de A/I$A/I$ es un elemento de A/I.$A/I.$ Asociativa. Para a+I,$a+I,$ b+I,$b+I,$ c+I$c+I$ elementos cualesquiera de A/I,$A/I,$ y usando la propiedad asociativa del producto en A:$A:$ [(a+I)(b+I](c+I)=(ab+I)(c+I)=(ab)c+I.=a(bc)+I=(a+I)(bc+I)=(a+I)[(b+I)(c+I)].$$\begin{array}{rl}& \left[(a+I)(b+I\right](c+I)=(ab+I)(c+I)=(ab)c+I.\\ & =a(bc)+I=(a+I)(bc+I)=(a+I)\left[(b+I)(c+I)\right].\end{array}$$ 3)$3)$ En A/I$A/I$ el producto es distributivo respecto de la suma. En efecto, para a+I,$a+I,$ b+I,$b+I,$ c+I$c+I$ elementos cualesquiera de A/I,$A/I,$ y usando la propiedad distributiva en A:$A:$ (a+I)[(b+I)+(c+I]=(a+I)[(b+c)+I]=a(b+c)+I=(ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I).$$\begin{array}{rl}& (a+I)\left[(b+I)+(c+I\right]=(a+I)\left[(b+c)+I\right]=a(b+c)+I=\\ & (ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I).\end{array}$$ [(a+I)+(b+I](c+I)=[(a+b)+I](c+I)=(a+b)c+I=(ac+bc)+I=(ac+I)+(bc+I)=(a+I)(c+I)+(b+I)(c+I).$$\begin{array}{rl}& \left[(a+I)+(b+I\right](c+I)=\left[(a+b)+I\right](c+I)=(a+b)c+I=\\ & (ac+bc)+I=(ac+I)+(bc+I)=(a+I)(c+I)+(b+I)(c+I).\end{array}$$ Concluimos que (A/I,+,⋅)$(A/I,+,\cdot )$ es anillo. Por último, si A$A$ es conmutativo, para a+I,$a+I,$ b+I,$b+I,$elementos cualesquiera de A/I:$A/I:$ (a+I)(b+I)=ab+I=ba+I=(b+I)(a+I)$$(a+I)(b+I)=ab+I=ba+I=(b+I)(a+I)$$ luego A/I$A/I$ es conmutativo. Si A$A$ es unitario con elemento unidad 1,$1,$ para todo elemento a+I$a+I$ de A/I:$A/I:$ (a+I)(1+I)=a⋅1+I=a+I,(1+I)(a+I)=1⋅a+I=a+I,$$\begin{array}{}& (a+I)(1+I)=a\cdot 1+I=a+I,(1+I)(a+I)=1\cdot a+I=a+I,\end{array}$$ es decir A/I$A/I$ es unitario con elemento unidad 1+I.  anillos de fracciones que constituyen una generalización del concepto de cuerpo de fracciones. Construcción del anillo de fracciones de un anillo Sea ${\displaystyle A\,}$ un anillo (conmutativo y unitario) y ${\displaystyle S\,}$ un subconjunto multiplicativamente cerrado de ${\displaystyle A\,}$. Consideremos en ${\displaystyle A\times S}$ la relación binaria ${\displaystyle (a,s)\!\sim \!(b,t)\ \Leftrightarrow \ \exists u\!\in \!S\ /\ u(at-bs)=0}$ Es fácil comprobar que ${\displaystyle \sim }$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente ${\displaystyle (A\times S)/\sim }$ que denotaremos por ${\displaystyle S^{-1}A\;}$. Indicaremos por ${\displaystyle a/s}$ o ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ a la clase del elemento ${\displaystyle (a,s)\,}$. Tampoco es difícil comprobar que las operaciones adición y producto ${\displaystyle {a \over s}+{b \over t}={at+bs \over st}}$ ${\displaystyle {a \over s}\cdot {b \over t}={ab \over st}}$ están bien definidas y dotan a ${\displaystyle S^{-1}A\;}$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario. Así se ha construido el anillo de fracciones del anillo  respecto de : .  cuerpo de fracciones de un dominio de integridad ${\displaystyle A}$ al mínimo cuerpo que contiene a dicho dominio. Dicho cuerpo siempre existe y se denota por ${\displaystyle Q(A)}$, ${\displaystyle \mathrm {Quot} (A)}$ (del inglés: quotient field) o ${\displaystyle \mathrm {Frac} (A)}$. El ejemplo más sencillo de un cuerpo de fracciones es el de los números racionales, que son el cuerpo de fracciones de los números enteros. El cuerpo de fracciones de cualquier otro dominio de integridad se construye de manera análoga a éste. Construcción Sea un anillo conmutativo ${\displaystyle A}$, que a su vez sea un dominio de integridad, es decir, que carezca de divisores de cero. Denotaremos por ${\displaystyle A^{*}}$ al conjunto ${\displaystyle A\setminus \{0\}}$. El proceso de construcción del cuerpo de fracciones de ${\displaystyle A}$ es el siguiente:1 Formamos el producto cartesiano ${\displaystyle A\times A^{*}}$, compuesto por todos los pares ordenados ${\displaystyle (a,b)}$, donde ${\displaystyle a,b\in A}$, y ${\displaystyle b\neq 0}$. Definimos la relación ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ definida por: ${\displaystyle (a,b){\mathcal {R}}(c,d)\iff a\cdot d=b\cdot c}$. Esta ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es una relación de equivalencia. Demostración Denotamos por ${\displaystyle Q(A)}$ al conjunto cociente ${\displaystyle (A\times A^{*})/{\mathcal {R}}}$, y por ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ a la clase de equivalencia del par ordenado ${\displaystyle (a,b)}$. Como se verá más adelante, a este conjunto ${\displaystyle Q(A)}$ se le puede dotar de estructura de cuerpo con las operaciones adecuadas. Además, el anillo ${\displaystyle A}$ es un subanillo de ${\displaystyle Q(A)}$,2 ya que podemos identificar cada elemento ${\displaystyle a\in A}$ con el elemento ${\displaystyle {\frac {a}{1}}\in Q(A)}$.3 Otra propiedad interesante es que este cuerpo es, salvo isomorfismo, el menor cuerpo que contiene a ${\displaystyle A}$. Es decir, si existe un cuerpo ${\displaystyle K}$ tal que ${\displaystyle A\subset K}$, entonces ${\displaystyle Q(A)\subseteq K}$.4 En particular, si ${\displaystyle A}$ es un cuerpo entonces es isomorfo a su cuerpo de fracciones.5 Operaciones del cuerpo Suma Definimos la suma en el cuerpo de fracciones como ${\displaystyle +:Q(R)\times Q(R)\longrightarrow Q(R)}$ de la siguiente manera: ${\displaystyle +\left({\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}\right):={\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {(a\cdot d)+(b\cdot c)}{b\cdot d}},\ \forall {\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}\in Q(R)}$ Es sencillo comprobar que es una operación interna bien definida, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro ${\displaystyle {\tfrac {0}{b}}}$ para cualquier ${\displaystyle b}$, y que todo elemento ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\in Q(R)}$ tiene por elemento opuesto a ${\displaystyle {\tfrac {-a}{b}}}$. Así, ${\displaystyle (Q(R),+)}$ tiene estructura de un grupo abeliano. Producto Definimos la multiplicación en el cuerpo de fracciones como ${\displaystyle \cdot :Q(R)\times Q(R)\longrightarrow Q(R)}$ de la siguiente manera: ${\displaystyle \cdot ({\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}):={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a\cdot c}{b\cdot d}},\ \forall {\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}\in Q(R)}$. Es sencillo comprobar que es una operación interna bien definida, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro ${\displaystyle {\tfrac {a}{a}}}$ para cualquier ${\displaystyle a}$, y que todo elemento ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\in (Q(R)\setminus \{0\}}$ tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$. Así, ${\displaystyle (Q(R)\setminus \{0\},\cdot )}$ es un grupo abeliano. Distributividad Se demuestra sin dificultad que el producto (·) es distributivo respecto de la suma (+). 6 Esto hace que ${\displaystyle (Q(R),+,\cdot )}$ quede dotado de estructura de cuerpo. Ejemplos El cuerpo de fracciones del anillo de los números enteros es el cuerpo de los números racionales, ${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathrm {Quot} (\mathbf {Z} )}$. Sea ${\displaystyle R:=\{a+b\mathrm {i} |a,b\in \mathbb {Z} \}}$ el anillo de enteros gaussianos. Entonces ${\displaystyle \mathrm {Quot} (R)=\{c+d\mathrm {i} |c,d\in \mathbf {Q} \}}$, es el cuerpo de los racionales gaussianos ${\displaystyle \mathbf {Q} (i)}$, ejemplo de cuerpo de números algebraicos y cuerpo cuadrático. El cuerpo de fracciones de un cuerpo es canónicamente isomorfo a ese mismo cuerpo. Dado un dominio de integridad ${\displaystyle A}$, su anillo de polinomios en n indeterminadas ${\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ es también un dominio de integridad, y por lo tanto se puede construir su cuerpo de fracciones. 7 8 A dicho cuerpo se le denomina cuerpo de funciones racionales con coeficientes en ${\displaystyle A}$ en n indeterminadas, y se denota ${\displaystyle K(X_{1},\dots ,X_{n})}$.