Matemáticas - Fracciones

Forma indeterminada

forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty }$.

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, ${\displaystyle \scriptstyle \infty }$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

La forma ∞/∞

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}$

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ∞

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }$

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es ${\displaystyle \infty }$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\displaystyle \infty -\infty }$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

• La forma 0⁰

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}$

• La forma ∞⁰
• La forma 1^∞

Ejemplo: el siguiente límite¹

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{({\frac {3}{4+\ln x}})}}$, es de la forma ${\displaystyle 0^{0}}$; considerando

${\displaystyle y=x^{({\frac {3}{4+\ln x}})}}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

${\displaystyle \ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x}$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

${\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3}$ de manera que el límite sería

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}$

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ∞/∞
${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty \over \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad +\infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$

 Si f y g son funciones derivables en (a,b) con c  (a,b) excepto en c
  para todo x  (a,b) excepto en c
 Si el  es   =>  = 

Si  y  son tales que f(a)=0 , g(a)=0

 = 

Recordatorio: sean f y g funciones continuas sobre un intervalo cerrado [a,b] y derivable sobre el intervalo abierto (a,b). Si g(a)  g(b) y  para x  (a,b)  c  (a,b) talque 

Formas indeterminadas y determinadas.

Existen formas indeterminadas y formas determinadas.

Formas indeterminadas:

Todas estas formas indeterminadas se refieren a cuando una variable tienda a ese valor.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
   
   1. 
   2. 
   3. 
      
6. 
7. 

Formas determinadas:

1. 
2. 
3. 
4. 
   

Ejemplos

1)

aplicando la definicion se realiza 

2)

aplicando la definicion se realiza 

Ejemplo # 2

valuamos el limite entonces tenemos que  y  entonces usamos la regla de L`Hospital

Volvesmos a evaluar el limite

ya que es sigue siendo indeterminado volvemos a utilizar la regla de L`Hospital.

Ejemplo # 3

valuamos el Limite.

 aplicamos la regla de L`Hospital

 valuamos el limite  Volvemos aplicar la regla.

Ejemplo # 4

Ejemplo # 5

Calcular 

 y 

Ejemplo # 6

forma indeterminada: 

Usando L'Hospital:

--Juniorr 21:52 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 7

forma indeterminada: 

Usando L'Hospital:



forma indeterminada: 

Usando L'Hospital:

--Juniorr 22:04 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 8

forma indeterminada: 

Usando L'Hospital:

--Juniorr 22:19 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 9

forma indeterminada: 



forma: 



--Juniorr 22:26 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo # 10

forma indeterminada: 

Usando L'Hospital:

--Juniorr 23:13 27 feb 2010 (CST)

Ejemplo 11

Aplicamos L'Hospital ya que tenemos la forma indeterminada 0/0.





Evaluamos el limite....





--Antonio Moran 20:45 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo 12

--KenRi 20:50 28 feb 2010 (CST)KenRi

Ejemplo 13

--Antonio Moran 20:57 28 feb 2010 (CST)tonymoran

Ejemplo #13

Primero sustituimos cot(2x) por 1/tan(2x)

Utilizamos L'Hospital

--KenRi 21:01 28 feb 2010 (CST)KenRi

Ejemplo 14

Forma Indeterminada 

Aplicando L'Hospital