Física - Mecánica clásica

Aerodinámica

La aerodinámica es la rama de la mecánica de fluidos que estudia las acciones que aparecen sobre los cuerpos sólidos cuando existe un movimiento relativo entre estos y el fluido que los baña, siendo este último un gas y no un líquido, caso este que se estudia en hidrodinámica.

Introducción

La aerodinámica se desarrolla a partir de las ecuaciones de Newton. Con las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía se pueden obtener modelos que describen el movimiento de los fluidos. Un caso particular ocurre cuando el movimiento del fluido es estacionario, es decir, las propiedades del fluido solo cambian con la posición en el campo fluido pero no con el tiempo, y cuando además se puede despreciar la viscosidad del fluido. Con estas dos características, movimiento estacionario y no viscoso, se puede obtener una función potencial que al ser derivada se obtenga la velocidad del fluido en cada punto del campo. Una vez hayamos obtenido la velocidad del fluido, podremos hallar otras magnitudes importantes. La aerodinámica clásica que explica cómo se genera la sustentación en los perfiles aerodinámicos se basa en movimientos potenciales. Este tipo de movimiento es ideal, ya que la viscosidad nula nunca se consigue.

Modelando el campo del fluido es posible calcular, en casi todos los casos de manera aproximada, las fuerzas y los momentos que actúan sobre el cuerpo o cuerpos sumergidos en el campo fluido. La relación entre fuerzas sobre un cuerpo moviéndose en el seno de un fluido y las velocidades viene dada por los coeficientes aerodinámicos. Existen coeficientes que relacionan la velocidad con las fuerzas y coeficientes que relacionan la velocidad con el momento. Conceptualmente los más sencillos son los primeros, que dan la fuerza de sustentación ${\displaystyle {L}}$, la resistencia aerodinámica ${\displaystyle {D}}$ y fuerza lateral ${\displaystyle {Y}}$ en términos del cuadrado de la velocidad (V²), la densidad del fluido (ρ) y el área transversal (S_t):

• Coeficiente de sustentación ${\displaystyle {C_{L}}={\frac {L}{{\frac {1}{2}}\rho V^{2}S_{t}}}}$
• Coeficiente de resistencia ${\displaystyle {C_{D}}={\frac {D}{{\frac {1}{2}}\rho V^{2}S_{t}}}}$
• Coeficiente de fuerza lateral ${\displaystyle {C_{Y}}={\frac {Y}{{\frac {1}{2}}\rho V^{2}S_{t}}}}$

Debido a la complejidad de los fenómenos que ocurren y de las ecuaciones que los describen, son de enorme utilidad tanto los ensayos prácticos (por ejemplo ensayos en túnel de viento) como los cálculos numéricos de la aerodinámica numérica.

Problemas aerodinámicos

Se han establecido varias clasificaciones, entre las cuales hay que destacar:

• según su aplicación: aerodinámica aeronáutica (o simplemente aerodinámica) y aerodinámica civil
• según la naturaleza del fluido: compresible e incompresible
• según el número de Mach característico del problema:
• subsónico (M<1: compresible="" incompresible="" li="" m="" nico="" subs="" y="">
• transónico (M cercano a 1)
• supersónico (M>1)
• hipersónico (M>6).

PRINCIPIOS AERODINAMICOS.

Aerodinámica es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los gases en movimiento y las fuerzas o reacciones a las que están sometidos los cuerpos que se hallan en su seno. A la importancia propia de la aerodinámica hay que añadir el valor de su aportación a la aeronáutica. De acuerdo con el número de Mach o velocidad relativa de un móvil con respecto al aire, la aerodinámica se divide en subsónica y supersónica según que dicho número sea inferior o superior a la unidad.

Hay ciertas leyes de la aerodinámica, aplicables a cualquier objeto moviéndose a través del aire, que explican el vuelo de objetos más pesados que el aire. Para el estudio del vuelo, es lo mismo considerar que es el objeto el que se mueve a través del aire, como que este objeto esté inmóvil y es el aire el que se mueve (de esta ultima forma se prueban en los túneles de viento prototipos de aviones).

Es importante que el piloto obtenga el mejor conocimiento posible de estas leyes y principios para entender, analizar y predecir el rendimiento de un aeroplano en cualesquiera condiciones de operación. Los aquí dados son suficientes para este nivel elemental, no pretendiéndose una explicación ni exhaustiva ni detallada de las complejidades de la aerodinámica.

1.2.1   Teorema de Bernoulli.

Daniel Bernoulli comprobó experimentalmente que "la presión interna de un fluido (líquido o gas) decrece en la medida que la velocidad del fluido se incrementa", o dicho de otra forma "en un fluido en movimiento, la suma de la presión y la velocidad en un punto cualquiera permanece constante", es decir que  p + v = k. Para que se mantenga esta constante k, si una partícula aumenta su velocidad v será a costa de disminuir su presión p, y a la inversa.

El teorema de Bernoulli se suele expresar en la forma p+1/2dv² = constante, denominándose al factor p presión estática y al factor 1/2dv² presión dinámica.(1)

p + 1/2 dv² = k;       1/2 dv² = pd

p=presión en un punto dado.      d=densidad del fluido.      v=velocidad en dicho punto.      pd=presión dinámica.

Se puede considerar el teorema de Bernoulli como una derivación de la ley de conservación de la energía. El aire esta dotado de presión p, y este aire con una densidad d fluyendo a una velocidad v contiene energía cinética lo mismo que cualquier otro objeto en movimiento (1/2 dv²=energía cinética). Según la ley de la conservación de la energía, la suma de ambas es una constante: p + (1/2dv²) = constante. A la vista de esta ecuación, para una misma densidad (asumimos que las partículas de aire alrededor del avión tienen igual densidad) si aumenta la velocidad v disminuirá la presión p y viceversa.

Enfocando este teorema desde otro punto de vista, se puede afirmar que en un fluido en movimiento la suma de la presión estática pe (la p del párrafo anterior) más la presión dinámica pd, denominada presión total pt es constante: pt=pe+pd=k; de donde se infiere que si la presión dinámica (velocidad del fluido) se incrementa, la presión estática disminuye.

En resumen, que si las partículas de aire aumentan su velocidad será a costa de disminuir su presión y a la inversa, o lo que es lo mismo: para cualquier parcela de aire, alta velocidad implica baja presión y baja velocidad supone alta presión.Esto ocurre a velocidades inferiores a la del sonido pues a partir de esta ocurren otros fenómenos que afectan de forma importante a esta relación.

1.2.2   Efecto Venturi.

Otro científico, Giovanni Battista Venturi, comprobó experimentalmente que al pasar por un estrechamiento las partículas de un fluido aumentan su velocidad.

1.2.3   3ª Ley del movimiento de Newton.

Para cada fuerza de acción hay una fuerza de reacción igual en intensidad pero de sentido contrario.

1.2.4   Porqué vuelan los aviones.

Un objeto plano, colocado un poco inclinado hacia arriba contra el viento, produce sustentación; por ejemplo una cometa. Un perfil aerodinámico, es un cuerpo que tiene un diseño determinado para aprovechar al máximo las fuerzas que se originan por la variación de velocidad y presión cuando este perfil se sitúa en una corriente de aire. Un ala es un ejemplo de diseño avanzado de perfil aerodinámico.

Veamos que sucede cuando un aparato dotado de perfiles aerodinámicos (alas) se mueve en el aire (dotado de presión atmosférica y velocidad), a una cierta velocidad y con determinada colocación hacia arriba (ángulo de ataque), de acuerdo con las leyes explicadas.

El ala produce un flujo de aire en proporción a su ángulo de ataque (a mayor ángulo de ataque mayor es el estrechamiento en la parte superior del ala) y a la velocidad con que el ala se mueve respecto a la masa de aire que la rodea; de este flujo de aire, el que discurre por la parte superior del perfil tendrá una velocidad mayor (efecto Venturi) que el que discurre por la parte inferior. Esa mayor velocidad implica menor presión(teorema de Bernoulli).

Tenemos pues que la superficie superior del ala soporta menos presión que la superficie inferior. Esta diferencia de presiones produce una fuerza aerodinámica que empuja al ala de la zona de mayor presión (abajo) a la zona de menor presión (arriba), conforme a la Tercera Ley del Movimiento de Newton.

Pero además, la corriente de aire que fluye a mayor velocidad por encima del ala, al confluir con la que fluye por debajo deflecta a esta última hacia abajo, produciéndose una fuerza de reacción adicional hacia arriba. La suma de estas dos fuerzas es lo que se conoce por fuerza de sustentación, que es la que mantiene al avión en el aire.

Como hemos visto, la producción de sustentación es un proceso continuo en el cual cada uno de los principios enumerados explican una parte distinta de este proceso. Esta producción de sustentación no es infinita, sino que como veremos en capítulos posteriores (1.7.3) tiene un límite.

1.2.5   Discutible.

A estas alturas y la vista de los ingenios mecánicos que vemos volar, cada vez más grandes y desarrollando mayores velocidades, se podría deducir que la mayoría de las cuestiones relativas a la aerodinámica son más que conocidas. Seguramente, a nivel de modelos y ecuaciones matemáticas así es, porque de otra forma no sería posible el espectacular desarrollo de la aeronáutica. Pero otra cuestión distinta es cuando se trata de ofrecer una visión desde el punto de vista de la física, al menos una visión facilmente comprensible para los que no poseemos los arcanos de esta ciencia.

Existen a este respecto al menos dos puntos de vista, a veces enfrentados y en ocasiones con virulencia, que reclaman para sí la explicación más coherente, cuando no la "unica", sobre el proceso de sustentación. Uno de ellos se apoya principalmente en el teorema de Bernoulli (baja presión encima del ala y alta presión debajo del ala) mientras que el otro se basa en las leyes de Newton (el flujo de aire deflectado hacia abajo "downwash" produce una reacción hacia arriba). Ambas explicaciones no son tan incompatibles como a veces quieren hacernos creer, y aunque mi conocimiento de la física es muy limitado, lo que el sentido común me dicta después de haber leido unos cuantos artículos al respecto es que posiblemente se trate de puntos de vista distintos, dos formas diferentes de simplicar un único suceso complicado. Aunque el tema es excitante excede el propósito de este "manual", no obstante a los interesados en profundizar en el mismo les recomiendo visitar algunas de las páginas propuestas en enlaces de interés.

Si conviene destacar varias y severas equivocaciones usualmente asociadas con la explicación "bernoulliana" respecto a la producción de sustentación que enfrentadas con los hechos y con pruebas realizadas, transforman esta explicación en un sistema de malentendidos. Para evitar confusiones conviene contrastar algunos detalles:

Se mantiene a veces, que un ala produce sustentación debido a que la forma del perfil (curvado por arriba y plano por abajo) obliga al aire que pasa por encima a recorrer más distancia que el que pasa por debajo con el fin de recombinarse con este en el borde de salida, cosa que solo puede hacerse, lógicamente, a mayor velocidad. Resulta atractivo ¿verdad?.
Esta teoría implica: primero, que es necesario que un perfil tenga diferencia de curvatura entre su parte superior e inferior (mayor longitud en la parte superior), y segundo, que la parcela de aire dividida por el perfil recorra este por arriba y por abajo en el mismo tiempo para encontrarse en la parte posterior de dicho perfil. Veamos lo que muestra el mundo real:

• Las fotografias tomadas en tuneles de viento a perfiles sustentadores revelan que la capa de aire que recorre la parte superior (a pesar de la mayor distancia) lo hace en un tiempo sensiblemente menor que la capa que recorre la parte inferior, además de que ambas no vuelven a coincidir en el borde de salida, quedan permanentemente divididas. Todo esto se produce incluso en perfiles planos.
• En vuelo invertido la forma del perfil del ala es más curvada por abajo que por arriba y sin embargo produce sustentación.
• Algunas alas finas y curvadas tienen la misma longitud por ambos lados del perfil, como por ejemplo las montadas en algunos planeadores o el ala usada por los hermanos Wright en su primer aeroplano. Esta era delgada, muy curvada y algo cóncava por la parte inferior. No tenía diferencia significativa de curvatura entre la parte superior e inferior y sin embargo producía sustentación debido a los mismos principios que las alas de hoy en día.
• Las alas diseñadas para aviones de alta velocidad y aeroplanos acrobáticos (Pitts, Decathlon) mantienen un perfil simétrico (misma curvatura arriba y abajo) y vuelan perfectamente, sin olvidar que otros perfiles simétricos (timones, estabilizadores, etc...) operan bajo los mismos principios aerodinámicos. Es más, la NASA ha experimentado exóticos perfiles "supercríticos" que son casi planos por arriba y curvados por abajo.

¿Adónde nos lleva esto?. A que aunque el principio de Bernoulli es correcto, los principios reseñados de porqué vuela un avión son válidos independientemente de la simetría o asimetría del perfil y de la diferencia de curvatura entre las superficies superior e inferior. Si la sustentación dependiera únicamente de la forma del ala, puesto que esta forma no cambia con el vuelo, no habría forma de variar la sustentación; el aeroplano solo soportaría su peso a una velocidad determinada y además sería inestable e incontrolable. Veremos más adelante como el piloto regula la sustentación mediante el control del ángulo de ataque y la velocidad. De no ser así, los hermanos Wright no hubieran podido volar, ni se mantendrían en el aire los aviones de alta velocidad, los acrobáticos o los planeadores.

Aeroacústica es la rama de la acústica y mecánica de fluidos que estudia la generación de ruido debida a flujos turbulentos o fuerzas aerodinámicas interactuando con fronteras sólidas. La generación de ruido también es asociada con fluctuaciones de vorticidad. Un ejemplo de este fenómeno son las resonancias eólicas producidas por el viento cuando fluye alrededor de cuerpos sumergidos en este, por ejemplo la calle de vórtices de von Kármán.

A pesar de que no ha sido establecida una teoría científica completa para la generación de ruido por medio de flujos turbulentos, la mayoría de los análisis aeroacústicos están basados en las llamadas analogías acústicas,¹ propuestas por James Lighthill en los años 1950s durante su estadía en la Universidad de Mánchester.^2 3 . En las analogías acústicas, las ecuaciones que gobiernan el movimiento de fluidos son reagrupadas de tal manera que forman una ecuación de onda en la parte derecha de la ecuación con términos remanentes en la parte izquierda, siendo estos últimos las fuentes de ruido aerodinámico.

Historia

El desarrollo de la moderna ciencia de la aeroacústica tuvo como motivación el incremento de la emisiones de ruido en aeropuertos, debido a tecnologías emergentes de aviones a reacción comerciales en la década de 1950s. Así pues, el nacimiento de la aeroacústica tuvo lugar con la publicación de los artículos "On sound generated aerodynamically I & II " por James Lighthill^2 3 en los inicios de la década de 1950s. Estos artículos son considerados como los referentes de esta ciencia.

Ecuación de Lighthill

Las ecuaciones de Navier–Stokes, las cuales gobiernan la dinámica de fluidos viscosos compresibles, fueron reagrupadas por Lighthill² en una ecuación de onda no homogénea, así logrando una conexión entre la mecánica de fluidos y la acústica. La expresión resultante es comúnmente llamada "analogía de Lighthill" ya que este modelo representa el campo acústico que no está (de una manera rigurosa) basado en la física del flujo, si no, en una analogía de como este podría representase a través de las ecuaciones fluido-dinámicas para flujo compresible.

Considerando la ecuación de continuidad la cual se expresa como:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} \right)={\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} =0,}$

donde ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle \mathbf {v} }$ representan la densidad y velocidad del fluido, con variabilidad espacial y temporal, y ${\displaystyle D/Dt}$ es la derivada material.

Ahora, considerando la ecuación de conservación de momento escrita como:

${\displaystyle {\rho }{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma ,}$

donde ${\displaystyle p}$ es la presión termodinámica, y ${\displaystyle \sigma }$ es el tensor viscoso de las ecuaciones de Navier–Stokes.

Multiplicando la ecuación de continuidad por ${\displaystyle \mathbf {v} }$ y sumando la ecuación de conservación de momento, resulta en:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \mathbf {v} \right)+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=-\nabla p+\nabla \cdot \sigma .}$

Notando que ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} }$ es un tensor (véase también producto tensorial). Tomando la divergencia de la ecuación de momento y sustrayéndole la derivada temporal de la ecuación de continuidad, resulta en:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p+\nabla \cdot \nabla \cdot \sigma =\nabla \cdot \nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} ).}$

Sustrayendo a ambos lados ${\displaystyle c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho }$, donde ${\displaystyle c_{0}}$ es la velocidad del sonido en un medio en reposo, esto resulta en:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =\nabla \cdot \left[\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )-\nabla \cdot \sigma +\nabla p-c_{0}^{2}\nabla \rho \right],}$

siendo equivalente a:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho =(\nabla \otimes \nabla ):\left[\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} -\sigma +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbb {I} \right],}$

donde ${\displaystyle \mathbb {I} }$ es el tensor identidad, y ${\displaystyle :}$ representa el doble operador de contracción tensorial.

La ecuación precedente es la celebre ecuación de Lighthill, una de las principales en la aeroacústica. Esta se trata de una ecuación de onda con un término fuente en el lado derecho de la ecuación, en otras palabras, una ecuación de onda no homogénea. El término de la "doble contracción tensorial" en el lado derecho de la ecuación, es decir ${\displaystyle \rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} -\sigma +(p-c_{0}^{2}\rho )\mathbb {I} }$, es conocido como el tensor de Lighthill asociado al campo acústico, comúnmente denotado por ${\displaystyle T}$.

Mediante el uso de la notación de Einstein, la ecuación de Lighthill se puede reescribir como:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}\nabla ^{2}\rho ={\frac {\partial ^{2}T_{ij}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},\quad (*)}$

donde

${\displaystyle T_{ij}=\rho v_{i}v_{j}-\sigma _{ij}+(p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij},}$

y ${\displaystyle \delta _{ij}}$ es el delta de Kronecker. Cada uno de los términos fuente en ${\displaystyle T_{ij}}$ juega un rol importante en la generación de ruido. Por ejemplo, ${\displaystyle \rho v_{i}v_{j}}$ describe el ruido debido a las fluctuaciones de flujo (tensor de Reynolds), ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ es el ruido producido por efectos viscosos y de cizalladura (vorticidad) y ${\displaystyle (p-c_{0}^{2}\rho )\delta _{ij}}$ describe el ruido generado por procesos acústicos no lineales.

Generalmente es posible despreciar los efectos de viscosidad en el fluido, es decir ${\displaystyle \sigma =0}$, esto se debe a que es comúnmente aceptado que los efectos viscosos a grandes número de reynolds están varios ordenes de magnitud por debajo de los otros términos de la ecuación. En el caso de flujos a bajo número de reynolds (efectos viscosos dominantes), el ruido producido es tan bajo que no entra en el umbral percibido por los humanos. Lighthill² presenta una larga y profunda discusión sobre este tema.

Finalmente, es importante destacar que la ecuación de Lighthill es exacta en el sentido que, ninguna aproximación fue requerida durante la derivación matemática.