Matemáticas - Fracciones

número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como las siguientes :

${\displaystyle {\cfrac {1}{3}}=0,{\boldsymbol {3}}\,333\dots \;;\quad {\cfrac {1}{7}}=0,{\boldsymbol {142857}}\,142857\dots }$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {2}{3}}=0,{\overset {\frown }{6}}\;;\quad {\cfrac {12}{11}}=1,{\overset {\frown }{09}}}$

Tipos de números periódicos

• Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 0,999\dots =0,{\bar {9}}}$
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
  • Ejemplo: ${\displaystyle 1.91222\dots =1.91{\bar {2}}}$, en donde 91 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,074074074074...\\{\cfrac {7}{12}}=0,58333333333...\end{array}}}$

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}x&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\9x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\\x&=&{\cfrac {3}{9}}={\cfrac {1}{3}}&{\text{(simplificando)}}\end{array}}}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\;\;\;2,85636363\ldots \\100x&=&285,63636363\ldots \\99x&=&282,78\end{array}}}$

${\displaystyle x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571}{550}}}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

${\displaystyle 5,34\ 34\dots ={\frac {534-5}{99}}={\frac {529}{99}}}$

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

${\displaystyle 12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}}$

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}}$

como:

${\displaystyle 20=2\cdot 2\cdot 5}$

será exacta; en efecto

${\displaystyle {\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35}$

Otro ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}}$

como:

${\displaystyle 25=5\cdot 5}$

será exacta; en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {7}{25}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}={\cfrac {7}{5\cdot 5}}\;{\cfrac {2\cdot 2}{2\cdot 2}}={\cfrac {7\cdot 2\cdot 2}{(5\cdot 2)(5\cdot 2)}}={\cfrac {28}{100}}=0,28}$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {5}{21}}}$

como:

${\displaystyle 21=3\cdot 7}$

será periódica pura; en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {5}{21}}=0,238095\ 238095\ 238095\dots }$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

${\displaystyle {\cfrac {5}{42}}}$

como:

${\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7}$

será periódica mixta, en efecto:

${\displaystyle {\cfrac {5}{42}}=0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots }$

mas no es seguro un resultado próximo.

Números Decimales Exáctos, Periódicos Puros, Periódico Mixto

• 
  Oir Lecc.

Se dice que un número decimal es exacto cuando tiene un número determinado de cifras decimales. También podemos decir que hallaremos una cifra en el cociente que al multiplicar por el divisor obtengamos un cero como resto.
Ejemplo:

Si divides observarás que el cociente es: 0,4375. El resto es cero.

Este número decimal es exacto.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO

Si divides  verás que los restos se repiten y hacen que las cifras del cociente sean iguales y esto se repite indefinidamente.

Si divides  verás que siempre se repiten las mismas cifras.

La cifra o cifras  que se repiten se les llama período o parte periódica y se escribe:

Cuando la parte periódica comienza inmediatamente después de la coma decimal nos referimos a un decimal periódico puro.

NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

Si divides 

Si divides 

Si divides 

Vemos que en estos tres casos, el período no comienza después de la coma.

Cuando la parte periódica o período no comienza inmediatamente después de la coma, estamos refiriéndonos a un decimal periódico mixto (que tiene mezcla de puro y otro u otros valores).
Podemos decir que los decimales periódicos son de dos clases:
a) Decimales periódicos puros, si la parte periódica o período comienza inmediatamente después de la coma.
b) Decimales periódicos mixtos, si la parte periódica o período no comienza inmediatamente después de la coma.

5.51    Di a qué tipo de número decimal corresponden:

Respuestas: a) Decimal mixto, b) Decimal mixto, c) Decimal puro y d) Decimal exacto.