Matemáticas - Fracciones

El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Características

Para mayor claridad, sea:

${\displaystyle {\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}}$

en donde: ${\displaystyle m$. Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función ${\displaystyle B(x)\,}$ de la forma:

${\displaystyle B(x)=(x+a_{n})(x+a_{n-1})...(x+a_{1})(x+a_{0})\,}$

o

${\displaystyle B(x)=(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})(a_{n-1}x^{2}+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})(a_{0}x^{2}+b_{0}x+c_{0})\,}$

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1},A_{2},...,A_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidos

Donde los pares de factores son idénticos.

${\displaystyle {\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1},A_{2},...,A_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es igual.

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1}x+B_{1},A_{2}x+B_{2},...,A_{n}x+B_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}}$

Donde ${\displaystyle (A_{1}x+B_{1},A_{2}x+B_{2},...,A_{n}x+B_{n})\,}$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula..

Cómputo de las constantes

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

${\displaystyle A_{k}=\left[{\frac {A(x)}{B(x)}}(x+a_{k})\right]_{x=-a_{k}}}$

en donde ${\displaystyle k=(1,2,...,n)\,}$

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las ${\displaystyle A_{k}\,}$, la resolución del sistema proporciona los valores de los ${\displaystyle A_{k}\,}$.

Ejemplo 1

Sea ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}}$ Se puede descomponer en ${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}}$

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}}$

Simplificando

${\displaystyle x+3=a(x+2)+b(x+1)}$

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-2&\;{\mbox{lo que produce}}\\-2+3&=a(-2+2)+b(-2+1)&\;calculando\\1&=-b&\;{\mbox{ es decir}}\\b&=-1\end{array}}}$

Para el caso de a observamos que ${\displaystyle x=-1}$ nos facilita el proceso

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}x&=-1&{}\\-1+3&=a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&=a&{}\\a&=2&{}\end{array}}}$

Siendo el resultado, el siguiente

${\displaystyle {\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}}$

Ejemplo 2

Sea ${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}}$

Se puede descomponer de esta manera

${\displaystyle {\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}}$

multiplicando por ${\displaystyle (x+1)^{3}}$, tenemos

${\displaystyle {\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}={\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}}$

Simplificando

${\displaystyle x^{2}+3x+1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c}$

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{array}{lrclr}Sea&x&=&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&=&a+b+c&{}\\Sea&x&=&1&{}\\{}&5&=&4a+2b+c&{}\\Sea&x&=&-1&{}\\{}&-1&=&0+0+c&{}\end{array}}}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

${\displaystyle {\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}}$

Ejemplo 3

Tenemos ${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}}$ que se puede convertir en ${\displaystyle {\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}}$

Multiplicamos por ${\displaystyle x(x^{2}+1)}$

Tenemos ${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}}$

Simplificando

${\displaystyle 1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x}$

Ahora podemos asignar valores a x

${\displaystyle {\begin{array}{lrcl}Si&x&=&0\\{}&1&=&a\\Si&x&=&1\\{}&1&=&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&=&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&=&b+c\\Si&x&=&-1\\{}&1&=&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&=&b-c\end{array}}}$

Resolviendo el sistema, resulta ${\displaystyle a=1\;b=-1\;c=0}$

Y el problema se resuelve de esta manera

${\displaystyle {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}}$

Integración por descomposición en fracciones simples.
Consideremos integrales de la forma dx, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

dx = C(x) dx + dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).
Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:
        Q(x) = (x - a₁).(x - a₂)...(x - a_n)       
Caso 1.- Si las raíces del polinomio, a_i, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:
         =  +  + .. +         
Determinamos el valor de los A_i efectuando la suma de fracciones:       
 =         
e identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

dx = A₁ln(x - a₁) + A₂ln(x - a₂) + .. + A_nln(x - a_n)

Ejemplo: dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo: 

 

Es decir:  = x - 1 + . Por tanto: 

dx =  - x + dx

y en la segunda integral, el numerador es de grado menor que el denominador.

Descomponiendo: x³ + x² - 4x - 4 = x - 2x + 2x + 1, y,        

 =  +  +  = 

 Identificando los numeradores será: 

x² + x - 3 = A₁x + 2x + 1 + A₂x - 2x + 1 + A₃x - 2x + 2

Para x = 2, será: 3 = 12A₁, para x = - 2, -1 = 4A₂, y para x = - 1, -3 = - 3A₃.

Del sistema ,  A₁ = , A₂ = - , A₃ = 1.        

 =  +  + , y la integral será:        

dx = dx + dx + dx =

= ln(x - 2) - ln(x + 2) + ln(x + 1) + C = ln(x + 1) + C.

  La integral pedida es: 

dx =  - x + ln(x + 1) + C

Caso 2.- Si el denominador tiene también raíces reales múltiples del tipo (x - b)^k, por cada una de ellas añadimos a la suma de fracciones simples del caso anterior las siguientes:

 +  + .. + 

obteniendo la integral como suma de logaritmos neperianos y potencias de exponente negativo.

Ejemplo: dx.

Descomponemos el denominador, y: x³ + 3x² - 4 = (x - 1)(x + 2)².

Las fracciones simples serán:

 =  +  +  = .

Identificando los numeradores:

x² + x + 3 = A(x + 2)² + B₁(x - 1)(x + 2) + B₂(x - 1).

Para x = 1, 5 = 9A, para x = - 2, 5 = - 3B₂, y por ejemplo para x = 0,        

3 = 4A - 2B₁ - B₂. El sistema será: , de donde : A = , B₁ = , y B₂ = - .      

dx = dx + dx + dx = 

ln(x - 1) + ln(x + 2) -  + C =        

= ln +  + C.

Caso 3.- Si en el denominador aparece un factor cuadrático irreducible (ax² + bx + c) añadimos a la suma de fracciones de los casos anterior una fracción del tipo . Una vez identificados los coeficientes M y N, a dicha fracción corresponderán integrales del tipo logarítmico y arco tangente.

Ejemplo: dx.

La descomposición del denominador es: x³ + 2x² + 2x + 1 = x² + x + 1x + 1

(Al factor cuadrático x² + x + 1 le corresponden las raíces complejas : -  + i y -  - i)

Identificamos  =  + , obteniendo A = 6, M = - 5, y N = - 2.

dx = 6 lnx + 1 - lnx² + x + 1 + arctan1 + 2x + C.