Matemáticas - Fracciones

 función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.¹ Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Función racional de grado 2:

${\displaystyle y={\cfrac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

Función racional de grado 3:

${\displaystyle y={\cfrac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$ Ejemplos Función homográfica: ${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.2 Propiedades Toda función racional es de clase ${\displaystyle C^{\infty }}$ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x). Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas). Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un cuerpo forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de series de potencias formales. Integración de funciones racionales Dada una función racional: ${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}},\qquad P(x),Q(x)\in \mathbb {R} [x]}$ Si el denominador es un polinómico mónico ${\displaystyle \scriptstyle Q(x)}$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles: ${\displaystyle {\begin{cases}Q(x)=(x-r_{1})^{m_{1}}(x-r_{2})^{m_{2}}\dots (x-r_{k})^{m_{k}}(x^{2}+s_{1}x+t_{1})^{n_{1}}\dots (x^{2}+s_{l}x+t_{l})^{n_{l}}\\k,l,m_{i},n_{j}\in \mathbb {N} ,\ r_{p},s_{p},t_{p}\in \mathbb {R} \end{cases}}}$ Si ${\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(P)<{\mbox{gr}}(Q)}$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas: ${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}(x)={\cfrac {1}{(x-r_{i})}}&f_{2}(x)={\cfrac {1}{(x-r_{i})^{u}}}\\f_{3}(x)={\cfrac {1}{x^{2}+a^{2}}}&f_{4}(x)={\cfrac {1}{(x^{2}+a^{2})^{v}}}\\f_{5}(x)={\cfrac {x}{x^{2}+a^{2}}}&f_{6}(x)={\cfrac {x}{(x^{2}+a^{2})^{w}}}\end{matrix}}}$ Por lo que la integral de la función ${\displaystyle \scriptstyle f_{i}(x)}$ es una combinación lineal de funciones de la forma ${\displaystyle \scriptstyle F_{i}(x)}$ : ${\displaystyle {\begin{matrix}F_{1}(x)=\ln(x-r_{i})&F_{2}(x)={\cfrac {1-u}{(x-r_{i})^{u-1}}}\\F_{3}(x)={\cfrac {1}{a}}\arctan {\cfrac {x}{a}}&F_{4}(x)={\cfrac {1}{2a^{2}}}\left({\cfrac {x}{(v-1)(x^{2}+a^{2})^{v-1}}}+{\cfrac {2v-3}{v-1}}\int {\cfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{v-1}}}\right)\\F_{5}(x)={\cfrac {1}{2}}\ln(x^{2}+a^{2})&F_{6}(x)={\cfrac {-1}{2(w-1)(x^{2}+a^{2})^{w-1}}}\end{matrix}}}$ Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración. función racional es una función que puede escribirse como cociente de dospolinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0. Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas y que vamos a revisar en estas páginas: - Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto es debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y no podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que la función no está definida para esos valores de x. También decimos que esos puntos no pertenecen al dominio de la función. El dominiio de una función racional está determinado por las restricciones impuestas por el denominador: dividir entre 0 es imposible. El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador. A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos. - Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x para los que f(x)=0. - Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales). - Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica. Empezamos nuestro estudio con las funciones racionales lineales. Una función racional lineal es una función racional cuyo numerador es un número o un polinomio de grado 1 y que tiene por denominador un polinomio de grado 1. La más simple de las funciones racionales es Al dibujar su gráfica obtenemos una hipérbola equilátera. Cuando x=0 no podemos calcular el valor de la función porque no podemos dividir entre 0 (abusando del lenguaje, a veces se dice que 'el cociente se hace infinito'). La función no está definida en x=0. Es decir, el dominio de la función es: Para x = 1 resulta y = 1. Para x > 1 el numerador es más pequeño que el denominador y el cociente resulta menor que 1. Veamos con más detalle el comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande. Conforme aumenta x la fracción 1/x disminuye. Por lo tanto, si nos movemos desde el 0 hacia la derecha, el valor de y=1/x es cada vez menor y la curva se aproxima al eje de abcisas tanto como queramos. Es decir, la función se comporta como una recta horizontal. A esta recta la llamamos asíntota horizontal. La recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) si f(x) se aproxima a b conforme x aumenta o disminuye sin cota. En este primer caso, la asíntota horizontal es el eje de abcisas: Cuando nos aproximamos a 0 por el lado del 1 (valores positivos), el denominador se está aproximando a 0 mientras que el numerador es igual a 1. La función aumenta cuanto queramos, aumenta sin límite y obtenemos una rama que se 'va hacia el infinito'. Si nos aproximamos a 0 por la izquierda (valores negativos) entonces la gráfica de la función se 'va hacia el infinito' pero negativo. Decimos que la función tiene una asíntota vertical. La gráfica de esta función está dividida en dos 'ramas'. La recta x=b es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) si f(x) crece o decrece sin cota conforme x se acerca a b por la derecha o por la izquierda. Una función racional tendrá asíntotas verticales en los ceros del denominador (pero tendremos que comprobar el comportamiento de la función en los casos en que un cero del denominador también sea cero del numerador). En el caso de la hipérbola equilátera, la asíntota vertical es: Si añadimos un número al denominador, el resultado es una traslación de la hipérbola a lo largo del eje de abcisas: Si cambiamos la pendiente de la recta que repesenta al denominador el resultado es una contracción o expansión a lo largo del eje de ordenadas: Combinando ambos tenemos una traslación y una contracción (o expansión): Vamos a considerar ahora el caso más general de función racional lineal en el que tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado 1, es decir, dos rectas (con c distinto de 0). El dominio de una función racional lineal es: Una función racional lineal tiene una asíntota horizontal: Si el numerador y el denominador no tienen un factor común entonces la función racional tiene una asíntota vertical: Cuando las dos rectas tienen la misma raíz (el numerador y el denominador tienen un factor común) tenemos un 'agujero', una 'singularidad evitable'. A veces se dice que es una 'discontinuidad evitable' ( siendo escrupulosos quizás se podría considerarse esta expresión como un abuso del lenguaje si tenemos en cuenta que la continuidad solo está definida en puntos del dominio de la función). La idea es que podemos simplificar la fracción y obtenemos una nueva función que es casi igual que la original pero que tiene un dominio mayor (pues 'rellenamos el agujero'). Una singularidad evitable es un valor de x para el que se le puede asignar un valor de modo que la nueva función sea continua en ese punto. Las funciones racionales pueden tener dos tipos de singularidades: En algunos casos la función tiene una asíntota vertical (la singularidad es esencial o no evitable) y en otros casos tiene un 'agujero' (singularidad evitable). Es interesante distinguir dos tipos de funciones racionales cuando están expresadas como cociente de polinomios: funciones racionales propias e impropias. Una función racional propia es aquella que tiene el grado del numerador menor que el grado del numerador. En otro caso decimos que es impropia. Por ejemplo, la función 1/x es propia pero, en muchos casos, como hemos visto en los ejemplos anteriores, una función racional lineal puede ser impropia pues tanto el numerador como el denominador tienen grado 1. Si una función racional es impropia podemos dividir el numerador y el denominador y podemos escribir la función racional como suma de un polinomio y una función racional propia: El polinomio controla el comportamiento de la función cuando x se hace grande en valor absoluto. Esto es debido a que una función racional propia contribuye muy poco a los valores de la función para valores grandes de |x|. En el caso de las funciones racionales lineales, al dividir obtendremos un cociente que es un número: En el siguiente mathlet podemos jugar con estos tres elementos de una función racional lineal: un número (el cociente, p, en verde, determina la asíntota horizontal), otro número en el numerador de la expresión racional propia (q, en azul, es también una recta horizontal) y una recta en denominador (en color naranja) Podemos comprobar cómo el número p controla el comportamiento 'en el infinito' de la función y cómo afectan el numerador y el denominador a la forma de la gráfica de la función. Todas las funciones racionales lineales "pueden escribirse de un modo análogo, separando su 'parte entera'. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones racionales lineales [no degeneradas] son hipérbolas (trasladadas diferentes distancias a lo largo de los ejes de coordenadas y contraídas o expandidas a lo largo del eje de ordenadas)". ["Functions and Graphs", pág. 64] En este caso, la asíntota horizontal es: Por ejemplo: Podemos escribir el caso degenerado (con un agujero): El próximo mes, en Enero, veremos las funciones racionales que tienen un polinomio de grado 2 en el denominador.