Matemáticas - Fracciones

 el mediante de dos fracciones

${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ y ${\displaystyle {\frac {b}{d}}}$

(con c > 0, d > 0) es¹

${\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}}$

El numerador y el denominador de la fracción mediante son la suma de los numeradores y los denominadores de las fracciones dadas, respectivamente.

El árbol de Stern-Brocot enumera todos los números racionales positivos, representados por su fracción irreducible, mediante la computación iterativa de la mediante de acuerdo con un algoritmo simple.

Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;¹ es decir, una fracción común ${\displaystyle a/b}$ con numerador ${\displaystyle a}$ y denominador ${\displaystyle b}$ distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$), y es un subconjunto de los números reales (${\displaystyle \mathbb {R} }$).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal); también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera) es un número racional.

Un número real que no es racional se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita aperiódica.²

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Históricamente los números fraccionarios propios antecedieron a los negativos y a los imaginarios.

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4. Estas cuatro fracciones son números racionales.

Historia

Los egipcios calculaban la resolución de problemas prácticos utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; son los primeros números racionales utilizados para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de recíproco de un número entero.⁴

Los matemáticos de la antigua Grecia consideraban que dos magnitudes eran conmensurables si era posible encontrar una tercera tal que las dos primeras fueran múltiplos de la última, es decir, era posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tuvieran una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables, luego números racionales.⁵

Etimológicamente, el hecho de que estos números se llamen racionales corresponde a que son la razón de dos números enteros, palabra cuya raíz proviene del latín ratio,^6 7 y esta a su vez del griego λόγος (razón), que es como llamaban los matemáticos de la antigua Grecia a estos números.⁸ La notación ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ empleada para nombrar el conjunto de los números racionales proviene de la palabra italiana quoziente, derivada del trabajo de Giuseppe Peano en 1895.⁹

Aritmética de los números racionales

Véase también: Fracción § Aritmética con fracciones

Relaciones de equivalencia y orden

Inmersión de enteros

Cualquier entero n se puede expresar como el número racional n/1 debido a eso se escribe frecuentemente ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }$ (técnicamente, se dice que los racionales contienen un subanillo isomorofo al anillo de los números enteros).

Equivalencia

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$ si y solo si ${\displaystyle ad=bc.}$

Orden

Cuando ambos denominadores son positivos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$ si y solo si ${\displaystyle ad$

Si cualquiera de los denominadores es negativo, las fracciones primero deben convertirse en otras equivalentes con denominadores positivos, siguiendo las ecuaciones:

${\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}$

y

${\displaystyle {\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}.}$

Operaciones

A las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se les llama operaciones racionales.¹⁰

Suma

Se define la suma o adición de dos números racionales a la operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su suma

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$.

Resta

La operación que a todo par de números racionales le hace corresponder su diferencia se llama resta o diferencia y se la considera operación inversa de la suma.¹¹

${\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)}$.

Multiplicación

La multiplicación o producto de dos números racionales es la operación

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\times c}{b\times d}}}$.

División

Se define la división o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al producto ${\displaystyle r\times s^{-1}}$. En otra notación,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}}$.

Es una operación totalmente definida, pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación s·x=r, s≠0.

Inversos

Los inversos aditivo y multiplicativo existen en los números racionales:

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{y}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0.}$

Escritura decimal

Número racional en base decimal

Véanse también: Representación decimal, Número decimal y Número decimal periódico.

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Utilizando la representación decimal, todo número racional puede expresarse como un número decimal finito (exacto) o periódico y viceversa. De esta manera, el valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que solo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {8}{5}}=1,6}$

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\cfrac {1}{7}}&=&0,142857142857\dots \\&=&0,{\overline {142857}}\end{array}}}$

• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\cfrac {1}{60}}&=&0,01666\dots \\&=&0,01{\overline {6}}\end{array}}}$

De la misma manera se aplica la representación de un número racional en un sistema de numeración posicional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base no tienen representación finita.

Por ejemplo, en base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y solo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma ${\displaystyle 2^{n}\cdot 5^{p}}$ (${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle p}$ enteros), así como en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Construcción formal

Construcción formal de los números racionales como pares ordenados.

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

${\displaystyle 2,5={\frac {25}{10}}={\frac {10}{4}}={\frac {5}{2}}}$

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.

Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros (a,b), con b≠0, con la siguiente relación de equivalencia:

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim (c,d){\text{ si y solo si }}ad=bc}$,

donde el espacio de equivalencia de clases es el espacio cociente ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})/\sim }$. Las operaciones de suma y multiplicación se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right)+(c,d)&=(ad+bc,bd)\\\left(a,b\right)\times (c,d)&=(ac,bd)\end{aligned}}}$

Se verifica que las dos operaciones definidas son compatibles con la relación de equivalencia, indicando de manera que ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ se puede definir como el conjunto cociente ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\})/\sim }$, con la relación de equivalencia descrita antes.

Téngase en cuenta que las operaciones definidas no son más que la formalización de las operaciones habituales entre fracciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&={\frac {ad+bc}{bd}}\\{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}&={\frac {ac}{bd}}\end{aligned}}}$

Se denota como [(a,b)] a la clase de equivalencias que corresponde con las distintas representaciones de un mismo número racional ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {ka}{kb}}}$, con k≠0, en forma de fracción. Es decir :

${\displaystyle [(a,b)]=\{\cdots ,(-2a,-2b),(-a,-b),(a,b),(2a,2b),\cdots \}.}$

Se toma como representante canónico el par (a,b) tal que mcd(a,b)= 1. Cualquier otro par se puede usar en el caso de operaciones.¹² Por ejemplo, ${\displaystyle [(1,2)]=\{(1,2),(2,4)(3,6)...\}}$ es la clase de equivalencia del número racional ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

Con las operaciones anteriores, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es un cuerpo, donde la clase (0,1) desempeña el papel de cero, y la clase (1,1) de uno. El elemento opuesto de la clase (a,b) es la clase (-a,b). Además, si a≠0, la clase (a,b) es distinta de cero, luego (a,b) es invertible (inverso multiplicativo) y su inverso corresponde a la clase (b,a).

También se puede definir una orden total en ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ de la siguiente manera:

${\displaystyle (a,b)\leq (c,d){\text{ si y solo si }}(bd>0{\text{ y }}ad\leq bc){\text{ ó }}(bd<0 ad="" annotation="" bc="" geq="" text="" y="">$.

El conjunto de los números racionales puede también construirse como el cuerpo de cocientes de los números enteros, esto es,

${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathrm {Frac} (\mathbb {Z} ).}$

Propiedades

Algebraicas

El conjunto de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ equipado con las operaciones de suma y producto cumple las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, es decir:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}}$ (conmutativa)

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)+{\frac {e}{f}}={\frac {a}{b}}+\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)}$ (asociativa)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times \left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)={\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\times {\frac {e}{f}}}$ (distributiva).¹³

Existen los elementos neutros para la suma y producto. Para la suma, el cero, denotado por 0, ya que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+0={\tfrac {a}{b}}}$ para cualquier ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$. Para el producto es el 1, que puede ser representado por ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}=1}$, con n distinto de 0, ya que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\times 1={\tfrac {a}{b}}}$.

Posee elementos simétricos para las operaciones de suma y producto. Así, el elemento simétrico respecto de la suma para cualquier número racional ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ es ${\displaystyle -{\tfrac {a}{b}}}$, llamado elemento opuesto, puesto que ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+(-{\tfrac {a}{b}})=0}$. Lo mismo ocurre en el caso del elemento simétrico respecto del producto, para todo número racional ${\displaystyle q={\tfrac {a}{b}}}$, distinto de 0, existe ${\displaystyle q^{-1}={\tfrac {b}{a}}}$, llamado inverso multiplicativo tal que ${\displaystyle q\times q^{-1}={\tfrac {a}{b}}\times {\tfrac {b}{a}}=1}$.

El conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, con las operaciones de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo, el cuerpo de cocientes de los enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Los racionales son el menor cuerpo con característica nula. Cualquier otro cuerpo de característica nula contiene una copia de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

La clausura algebraica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, es el conjunto de los números algebraicos.

Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional diferente de cero puede descomponerse en la forma: ${\displaystyle q=up_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{n}^{\alpha _{n}}}$ donde ${\displaystyle p_{i}\in \mathbb {N} }$ son números enteros primos, ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {Z} }$ (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y ${\displaystyle u\in \{1,-1\}}$. Por ejemplo ${\displaystyle 260/693=2^{2}3^{-2}5^{1}7^{-1}11^{-1}13^{1}\,}$.

Conjuntistas

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre ${\displaystyle \mathbb {N} }$ y ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los números reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

Topológicas

• El conjunto ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ forma un subconjunto denso de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ por construcción misma de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (propiedad arquimediana): todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
• Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
• Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.
• Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
• Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.

Número p-ádico

Sea ${\displaystyle p}$ un número primo y para todo entero no nulo ${\displaystyle a}$, sea ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$ donde ${\displaystyle p^{n}}$ es la mayor potencia de ${\displaystyle p}$ que divide a ${\displaystyle a}$.

Si ${\displaystyle |0|_{p}=0}$ y para cada número racional ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ , ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$ entonces la función multiplicativa ${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$ define una métrica sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

El espacio métrico ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$ no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.