Matemáticas - Fracciones

un medio es la fracción irreducible ½, equivalente a 0,5 en notación decimal. «Medio» (del del latín «medius») es el numeral partitivo que designa la mitad de una cosa; las formas prefijas son: hemi-, semi-, sesqui.

0.5
Sistemas de numeración
Sistema binario	0,1 o 0,0111111…
Sistema hexadecimal	0,8 o 0,7FFFFFF…
Potencias de dos
2-2 2-1 20

Propiedades

• Un medio es un número racional.
• Multiplicar por un medio es equivalente a dividir entre dos.
• Elevar a la potencia un medio equivale a extraer raíz cuadrada.

Representación

• En sistema binario : 0,1 o 0,0111111…
• En sistema decimal : 0,5 o 0,4999999…
• En sistema hexadecimal : 0,8 o 0,7FFFFFF…
• Como fracción continua : [0; 1, 1] o [0; 2]
• En código informático (½):
• ISO 8859-1 : 189
• Unicode : U+00BD

fracción unitaria es un número racional escrito en forma de fracción cuyo numerador es 1 y el denominador es un número entero positivo. Las fracciones unitarias son, por tanto, los inversos de los enteros positivos, ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$. Ejemplos: ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{42}}}$, etc.

Las sumas parciales ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{n}}}$ generan la serie armónica, y se va acercando a logaritmo natural ln(n) + γ a medida que n crece. Así que la suma de todas las fracciones unitarias es infinita.

Aritmética

El producto de dos fracciones unitarias es otra fracción unitaria; las sumas y diferencias pueden serlo, pero en general no lo son. El cociente sólo es una fracción unitaria si el denominador es un "múltiplo" del numerador (el caso trivial es cuando la fracción denominador es ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$).

• Multiplicación: ${\displaystyle {\frac {1}{m}}\cdot {\frac {1}{n}}={\frac {1}{mn}}}$
  • ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {1}{10}}}$
  • ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\cdot {\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{18}}}$
• Suma: ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}={\frac {n+m}{mn}}}$
  • ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{5}}={\tfrac {7}{10}}}$
  • ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{2}}}$
• Resta: ${\displaystyle {\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}={\frac {n-m}{mn}}}$
  • ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}}$
  • ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{6}}}$

Series

La suma de fracciones unitarias corresponde a la suma de n términos que son fracciones unitarias. Como ejemplos están:

La serie armónica: ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots }$

La serie geométrica: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

La parte fraccionaria de un número racional positivo se puede escribir como suma de fracciones unitarias distintas. El resultado es una fracción egipcia, pero la expresión no es única. Por ejemplo, ${\displaystyle 0,8={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{20}}={\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{10}}}$.