Matemáticas - Fracciones

Fracciones continuas

Expansión de Engel

expansión de Engel de un número real positivo x es la única sucesión no decreciente de enteros positivos ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \}}$ tal que

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .\;}$

Los números racionales tienen una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. Si x es racional, su expansión de Engel proporciona una representación de x como una fracción egipcia. Las expansiones de Engel son llamadas en honor a Friedrich Engel, quien las estudió en 1913.

Una expasión análoga a la expansión de Engel, en la que términos alternados son negativos, es llamada expansión de Pierce.

Expansiones de Engel, fracciones continuas, y Fibonacci

Kraaikamp y Wu (2004) observó que una expansión de Engel también puede ser escrita como una variante ascendente de una fracción continua:

${\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}$

Ellos afirman que las fracciones continuas ascendentes tales como esta habían sido estudiadas con anterioridad en Liber Abaci (1202) por Fibonacci. Esta afirmación parece referirse a la notación de la fracción compuesta de Fibonacci en la que una sucesión de numeradores y denominadores que comparten la misma barra fraccionaria representa una fracción continua ascendente:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Si tal notación tiene todos sus numeradores como 0 o 1, como ocurre varias veces en Liber Abaci, el resultado es una expasión de Engel. Sin embargo, las expansiones de Engel como técnica general no parece ser descrita por Fibonacci.

Algoritmo para calcular expansiones de Engel

Para encontrar la expansión de Engel de x, sea

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil ,}$

y

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

donde ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ es la función techo (el menor entero no menor que r).

Si ${\displaystyle u_{i}=0}$ para cualquier i, el algoritmo se para.

Ejemplo

Para encontrar la expansión de Engel de 1.175, se realizan los siguientes pasos.

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;\,}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6\,}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20\,}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0\,}$

La serie termina aquí. Así,

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

y la expansión de Engel de 1.175 es {1, 6, 20}.

Expansiones de Engel de números racionales

Todo número racional positivo tiene una única Expansión de Engel finita. En el algoritmo para la expansión de Engel, si u_i es un número racional x/y, entonces u_i+1 = (−y mod x)/y. Más aún, en cada paso, el numerador en la fracción restante u_i disminuye y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar en un número finito de pasos. Todo número racional también tiene una única expansión de Engel infinita: usando la identidad

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

el dígito final n en una expansión de Engel finita puede ser reemplazado por una sucesión infinita de (n + 1)s sin cambiar su valor. Por ejemplo

${\displaystyle 1.175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;}$

Esto es análogo al hecho de que todo número racional con una representación decimal finita también tiene una representación decimal infinita (véase 0.999...). Una expansión de Engel infinita en la que todos sus términos son igual es una serie geométrica.

Erdős, Rényi, y Szüsz se preguntaron por los límites no triviales en la longitud de una expansión de Engel finita de un número racional x/y; esta cuestión fue resuelta por Erdős y Shallit, que demostraron que el número de términos en la expansión es O(y^{1/3 + ε}) para todo ε > 0.¹

Expansiones de Engel de algunas constantes conocidas

${\displaystyle \pi }$ = {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492,...} (sucesión A006784 en OEIS)

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144,...} (sucesión A028254 en OEIS)

${\displaystyle e}$ = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} (sucesión A000027 en OEIS)

Y en general,

${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;}$

Más expansiones de Engel para constantes se pueden encontrar aquí.

Tasa de crecimiento de los términos de la expansión

Los coeficientes a_i de una expansión de Engel típicamente exhiben crecimiento exponencial; más concretamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límite ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n}}$ existe y es igual a e. Sin embargo, el subconjunto del intervalos para el cual esto no es el caso es lo suficientemente grande, tal que su dimensión de Hausdorff es uno.²

La misma tasa de crecimiento típica se aplica a los términos en una expansión generada por el algoritmo voraz para fracciones egipcias. Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1] cuyas expansiones de Engel coinciden con sus expansiones voraces tiene medida cero, y dimensión de Hausdorff 1/2.

La curva de Engel es el lugar geométrico de las combinaciones de bien y renta de equilibrio para distintos niveles de la renta, siendo constantes todas las demás variables, esto es, el precio del bien, el precio de los demás bienes relacionados con aquel y los gustos.

Básicamente, la curva de Engel presentará una u otra pendiente dependiendo del carácter del bien respecto a la renta. Básicamente, habrá tres posibilidades: que el bien sea Normal respecto a la renta, es decir que su elasticidad renta sea positiva, es decir, que cuando aumenta la renta de los individuos (R), aumenta el consumo de dichos bienes (X):

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que el bien sea inferior respecto a la renta, es decir con elasticidad renta negativa:

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y que el bien sea independiente respecto a la renta es decir que

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Es importante señalar que no todos los bienes pueden ser inferiores y/o independientes y algunos deben ser normales (es decir, con elasticidad renta positiva). Intuitivamente, no es posible que un incremento de la renta se traduzca en un descenso de los niveles de consumo de todos los bienes o que el consumo no aumente en conjunto si el individuo se enriquece.

II. TIPOS DE CURVA DE ENGEL

1. Caso de bien X normal

Si partimos de una posición de equilibrio inicial A (de equilibrio porque hay tangencia entre la curva de indiferencia correspondiente y la Recta de Balance o Restricción Presupuestaria) y se produce un aumento de renta (de R a R?), debe producirse un aumento del consumo del bien X en una combinación tangente con la nueva Recta de Balance R?=Px X +Py Y.

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2. Caso de bien X inferior

En el caso del bien inferior, la elasticidad renta es negativa, sin embargo, la elasticidad renta puede variar con los niveles de renta. Por ejemplo, cuando un individuo es muy pobre, una elevación de renta probablemente no reduce su uso del bien x, sino que lo aumenta. Hace falta un mayor incremento de renta para plantearse la posible sustitución del bien x por otro sustitutivo que le gustara más. En el siguiente gráfico se observa esto: hace falta llegar a R? para que el bien X se comporte propiamente como inferior, pues el incremento de R a R? ha generado un aumento de consumo de X (comportamiento propio de un bien normal) y el bien sólo se revela como inferior de R?? a R??.

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3. Caso de bien X independiente de la renta

Si partimos de una posición de equilibrio inicial A (de equilibrio porque hay tangencia entre la curva de indiferencia correspondiente y la Recta de Balance o Restricción Presupuestaria) y se produce un aumento de renta (de R a R?), debe suceder que el consumo del bien independiente permanezca inalterado. Sin embargo, hace falta llegar a un cierto nivel de consumo (y de renta) para que el individuo, decidido a que sus necesidades de dicho bien están ya cubiertas, decida no modificarlas. Es por eso que la condición de bien independiente de la renta se revela a partir de R? (tal como sucedía en el caso anterior con los bienes inferiores), pero no antes, pues aún no se había alcanzado el nivel de consumo deseado por parte del individuo:

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