Matemáticas - Fracciones

Grupo cociente

En teoría de grupos, dado un grupo G y un subgrupo normal N de G, el grupo cociente o grupo factor de G sobre N es, intuitivamente, el grupo que "colapsa" el grupo normal N al elemento neutro. El grupo cociente se denota por G/N, lo que normalmente se lee en español como "G sobre N".

Producto de subconjuntos de un grupo

En la siguiente discusión, se definirá una operación binaria en los subconjuntos de G: dados dos subconjuntos S y T de G, se define su producto como:

${\displaystyle ST=\{st|s\in S{\textrm {~y~}}t\in T\}.}$

Esta operación es asociativa, y tiene por elemento neutro al conjunto {e}, donde e es el neutro de G. El conjunto de los subconjuntos de G forma entonces un monoide bajo esta operación.

En términos de dicha operación se puede primero definir lo que es un grupo cociente, y luego un subgrupo normal:

Un grupo cociente de un grupo G es una partición de G en la cual la operación de producto de subconjuntos sea cerrada.

No es difícil demostrar que basta con esta condición, aparentemente débil, para que un "grupo cociente" sea, efectivamente, un grupo con la operación definida. Dicha partición está completamente determinada por el conjunto que contiene a e. Un subgrupo normal de G es entonces el conjunto que contiene a e en una de tales particiones. Los otros conjuntos son entonces las clases laterales de este subgrupo normal.

Equivalentemente, un subgrupo N de un grupo G es normal si y sólo si sus clases laterales derechas e izquierdas coinciden; esto es, aN = Na para todo a ∈ G. En términos del producto de subconjuntos, un subgrupo normal de G es uno que conmuta con cualquier subconjunto de G.

Definición

Se define entonces G/N como el conjunto de clases laterales izquierdas de N en G, esto es:

${\displaystyle G/N=\{aN|a\in G\}.}$

La operación de grupo en G/N es el producto de subconjuntos antes definido. Para que esta operación sea cerrada, (aN)(bN) deberá ser también una clase lateral izquierda para cualesquiera a y b en G, lo cual se demuestra fácilmente:

${\displaystyle (aN)(bN)=a(Nb)N=a(bN)N=(ab)NN=(ab)N.}$

Como se puede ver, la normalidad de N se usa ya en esta igualdad, y por lo tanto, el mismo resultado vale para N\G, el conjunto de clases laterales derechas de G (que, de hecho, es el mismo conjunto que G/N). Puesto que la operación deriva del producto de subconjuntos de G, está bien definida (es decir, no depende de los representantes de la clase), asociativa, y tiene a N por elemento neutro.

El elemento inverso de aN en G/N será, según la ecuación anterior, a⁻¹N, lo cual completa la demostración de que G/N forma un grupo con el producto de subconjuntos.

Ejemplos

Sea Z el grupo de enteros con la adición, y el subgrupo 2Z conformado por los enteros pares; éste es un subgrupo normal, puesto que Z es abeliano. Sólo hay dos clases laterales: los conjuntos de enteros pares e impares respectivamente; por lo tanto, el grupo cociente Z/2Z es el grupo cíclico de dos elementos. Éste es isomorfo al grupo Z₂, que es el conjunto { 0, 1 } con adición módulo 2, y de hecho, se toma a veces Z/2Z como la definición de Z₂, identificando el conjunto de los pares con 0 y el de los impares con 1.

Sea R el grupo conformado por los reales con la adición, y el subgrupo Z de los enteros. Las clases laterales de Z son conjuntos de la forma a + Z, con 0 ≤ a < 1 un número real. La suma de dichas clases se realiza sumando los correspondientes reales, y restando 1 si el resultado es mayor o igual que 1. El grupo R/Z es entonces isomorfo al grupo circular S¹ de números complejos de valor absoluto 1 bajo la multiplicación, o también, el grupo de rotaciones en el plano cartesiano en torno al origen, esto es, el grupo ortogonal especial SO(2). Un posible isomorfismo sería a + Z → e^2πia (por la identidad de Euler).

Si G es el grupo multiplicativo de matrices reales invertibles de tamaño 3×3, y N es el subgrupo de matrices con determinante 1, entonces N es normal en G (por ser el núcleo del homomorfismo determinante). Las clases laterales de N son los conjuntos de matrices con determinante dado, con lo cual G/N es isomorfo al grupo multiplicativo de los reales distintos de 0.

Sea el grupo abeliano Z₄ = Z/4Z (esto es, el conjunto { 0, 1, 2, 3 } bajo la suma módulo 4), y sea N su subgrupo { 0, 2 }. El grupo cociente Z₄/N es { { 0, 2 }, { 1, 3 } }, con elemento neutro { 0, 2 }. Tanto éste como el grupo N son isomorfos a Z₂, el grupo cíclico de dos elementos.

• El grupo factor (ℤ₄ x ℤ₆ )/ <(0,1)>). Siendo <(0,1)> el grupo cíclico de ℤ₄ x ℤ₆ generado por (0,1) de modo que

H = {(0,0 ),(0,1 ),(0,2 ),(0,3 ),(0,4 ),(0,5 )}.

Como ℤ₄ x ℤ₆ tiene 24 elementos y H tiene 6 elementos, todas las clases laterales de H deben tener seis elementos y ℤ₄ x ℤ₆ )/ H debe tener orden 4.

Las clases laterales en notación aditiva son

H=H+(0,0), H+(0,1), H+(2,0), H+(3,0).¹

Propiedades

Claramente, G/G es isomorfo al grupo trivial (de un solo elemento), y G/{e} es isomorfo a G.

El orden de G/N es por definición igual a [G:N], el índice de N en G. Si G es finito, este índice es igual a |G|/|N|; es posible, sin embargo, G/N puede ser finito, aunque G y N sean ambos infinitos (ejemplo: Z/2Z).

Hay un homomorfismo sobreyectivo "natural" π : G → G/N, definido por π(g) = gN. La función π se denomina comúnmente proyección canónica de G sobre G/N. Su núcleo es N.

La proyección π induce una correspondencia biyectiva (de hecho, un isomorfismo de retículos) entre los subgrupos de G que contienen a N y los subgrupos de G/N: si H es un subgrupo de G con N ⊆ H, el correspondiente subgrupo de G/N es π(H). Esta correspondencia preserva la normalidad de los subgrupos de uno y otro grupo.

Varias propiedades importantes de los grupos cocientes se recogen en el teorema fundamental de homomorfismos.

Si G es cíclico, finitamente generado, abeliano, nilpotente o soluble, entonces también lo será G/N.

Si H es un subgrupo de un grupo finito G, y el orden de H es la mitad del orden de G, entonces H es un subgrupo normal de G, con lo que G/H está bien definido y es isomorfo al grupo cíclico de dos elementos, Z₂. Este resultado se puede enunciar como "todo subgrupo de índice 2 es normal", y en esta forma vale también para grupos infinitos.

Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre.

grupo cociente.

TEORÍA

G$G$H$H$G.$G.$

(i)$(i)$G:$G:$xRy⇔xy−1∈H$xRy\iff x{y}^{-1}\in H$
(ii)$(ii)$H$H$g∈G$g\in G$g$g$gH.$gH.$
(iii)$(iii)$H$H$G/R$G/R$

(aH)(bH)=(ab)H∀a,b∈G.$$(aH)(bH)=(ab)H\mathrm{\forall }a,b\in G.$$

(G/R,⋅)$(G/R,\cdot )$H.$H.$

G/H$G/H$G/R.$G/R.$
G,$G,$G/H$G/H$

(a+H)+(b+H)=(a+b)+H,∀a,b∈G.$$(a+H)+(b+H)=(a+b)+H,\mathrm{\forall }a,b\in G.$$

1  Sea (G,⋅)$(G,\cdot )$ un grupo y H$H$ un subgrupo de G.$G.$  Demostrar que:
(i)$(i)$ La relación en G:$G:$ xRy⇔xy−1∈H$xRy\iff x{y}^{-1}\in H$ es de equivalencia.
(ii)$(ii)$ Si H$H$ es subgrupo normal, para todo g∈G$g\in G$ la clase de equivalencia a la que pertenece g$g$es gH.$gH.$

SOLUCIÓN

(i)$(i)$ Reflexiva. Para todo x∈G$x\in G$ se verifica xx−1=e∈H,$x{x}^{-1}=e\in H,$ es decir xRx.$xRx.$
Simétrica. Para todo x,y∈G:$x,y\in G:$

xRy⇒xy−1∈H⇒(H subgrupo )(xy−1)−1∈H$$xRy\Rightarrow x{y}^{-1}\in H\Rightarrow (H\text{ subgrupo })(x{y}^{-1}{)}^{-1}\in H$$

⇒(y−1)−1x−1∈H⇒xy−1∈H⇒yRx.$$\Rightarrow (y^{-1}{)}^{-1}{x}^{-1}\in H\Rightarrow x{y}^{-1}\in H\Rightarrow yRx.$$

Transitiva. Para todo x,y,z∈G:$x,y,z\in G:$

{xRyyRz⇒{xy−1∈Hyz−1∈H$$\{\begin{array}{c}xRy\\ yRz\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x{y}^{-1}\in H\\ y{z}^{-1}\in H\end{array}$$

⇒(H subgrupo )(xy−1)(yz−1)=xz−1∈H⇒xRz.$$\Rightarrow (H\text{ subgrupo })(x{y}^{-1})(y{z}^{-1})=x{z}^{-1}\in H\Rightarrow xRz.$$

(ii)$(ii)$ Determinemos los elementos de G/R.$G/R.$ Si g∈G,$g\in G,$ la clase de equivalencia a la que pertenece g$g$ es:

[g]={x∈G:xRg}={x∈G:xg−1∈H},$$[g]=\{x\in G:xRg\}=\{x\in G:x{g}^{-1}\in H\},$$

es decir x∈[g]$x\in [g]$ si y sólo si xg−1=h$x{g}^{-1}=h$ para algún h∈H,$h\in H,$ o equivalentemente, x=hg$x=hg$para algún h∈H.$h\in H.$ Por tanto [g]=Hg.$[g]=Hg.$ Ahora bien, como H$H$ es normal, también [g]=gH.$[g]=gH.$

2  Sea (G,⋅)$(G,\cdot )$ un grupo y H$H$ un subgrupo normal de G.$G.$  Demostrar que G/H$G/H$ es grupo con la operación (aH)(bH)=(ab)H∀a,b∈G.$(aH)(bH)=(ab)H\mathrm{\forall }a,b\in G.$

SOLUCIÓN

Lo primero que tenemos que demostrar es que la operación dada en G/H$G/H$ está bien definida. Es decir, tenemos que demostrar que si aH=a1H$aH=a_{1}H$ y bH=b1H,$bH=b_{1}H,$ entonces

(aH)(bH)=(a1H)(b1H).(1)$$(aH)(bH)=(a_{1}H)(b_{1}H).(1)$$

Esto es claro, si no no ocurriera (1),$(1),$ la operación en G/H$G/H$ dependería del representante elegido para cada clase, y no de la clase en sí.

Supongamos pues que aH=a1H$aH=a_{1}H$ y bH=b1H.$bH=b_{1}H.$ Esto implica que aa−11∈H$a{a}_1^{-1}\in H$ y bb−11∈H,$b{b}_1^{-1}\in H,$ o equivalentemente aa−11=h1$a{a}_1^{-1}=h_1$  y bb−11=h2$b{b}_1^{-1}=h_2$ con h1$h_1$ y h2$h_2$ en H.$H.$ Entonces,

(ab)(a1b1)−1=abb−11a−11=ah2a−11∈H( pues H es normal)⇒(ab)H=(a1b1)H⇒(aH)(bH)=(a1H)(b1H).$$\begin{array}{rl}& (ab)(a_1{b}_1{)}^{-1}=ab{b}_1^{-1}{a}_1^{-1}=a{h}_2{a}_1^{-1}\in H(\text{ pues }H\text{ es normal})\\ & \Rightarrow (ab)H=(a_1{b}_1)H\Rightarrow (aH)(bH)=(a_{1}H)(b_{1}H).\end{array}$$

Interna. Claramente, el producto de dos elementos cualesquiera de G/H$G/H$ es un elemento de G/H.$G/H.$
Asociativa. Para todo aH,$aH,$ bH,$bH,$ cH∈G/H$cH\in G/H$ y teniendo en cuenta la propiedad asociativa en G:$G:$

(aH)[(bH)(cH)]=(aH)((bc)H)=(a(bc))H=((ab)c)H=((ab)H)(cH)=[(aH)(bH)](cH).$$\begin{array}{rl}& (aH)\left[(bH)(cH)\right]=(aH)\left((bc)H\right)=(a(bc))H\\ & =((ab)c)H=\left((ab)H\right)(cH)=\left[(aH)(bH)\right](cH).\end{array}$$

Elemento neutro. El elemento eH$eH$ de G/H$G/H$ satisface para todo aH∈G/H:$aH\in G/H:$

(aH)(eH)=(ae)H=aH,(eH)(aH)=(ea)H=aH,$$(aH)(eH)=(ae)H=aH,(eH)(aH)=(ea)H=aH,$$

por tanto eH=H$eH=H$ es elemento neutro.
Elemento simétrico. Para todo aH∈G/H,$aH\in G/H,$ el elemento a−1H∈G/H$a^{-1}H\in G/H$ satisface:

(aH)(a−1H)=(aa−1)H=eH,$$(aH)(a^{-1}H)=(a{a}^{-1})H=eH,$$

(a−1H)(aH)=(a−1a)H=eH,$$(a^{-1}H)(aH)=(a^{-1}a)H=eH,$$

por tanto todo aH∈G/H$aH\in G/H$ tiene elemento simétrico, siendo este a−1H.$a^{-1}H.$ Concluimos que G/H$G/H$ es grupo con la operación dada.

3  Demostrar que i2πZ={i2πk:k∈Z}$i2\pi \mathbb{Z}=\{i2\pi k:k\in \mathbb{Z}\}$ es un subgrupo del grupo aditivo de los números complejos. Determinar el grupo cociente C/i2πZ.$\mathbb{C}/i2\pi \mathbb{Z}.$

SOLUCIÓN

El neutro del grupo aditivo de los numeros complejos es 0=i2π⋅0∈i2πZ.$0=i2\pi \cdot 0\in i2\pi \mathbb{Z}.$
Si i2πk$i2\pi k$ e  i2πk′$i2\pi k^{\prime }$ son dos elementos de i2πZ,$i2\pi \mathbb{Z},$

i2πk−i2πk′=i2π(k−k′) con k−k′∈Z,$$i2\pi k-i2\pi k^{\prime }=i2\pi (k-k^{\prime })\text{ con }k-k^{\prime }\in Z,$$

lo cual implca que i2πk−i2πk′∈i2πZ.$i2\pi k-i2\pi k^{\prime }\in i2\pi \mathbb{Z}.$ Esto demuestra que i2πZ$i2\pi \mathbb{Z}$ es subgrupo del grupo aditivo de los números complejos.Dado que (C,+)$(\mathbb{C},+)$ es comutativo, cualquier subgrupo es normal y por tanto está definido el grupo cociente  C/i2πZ={z+i2πZ:z∈C},$\mathbb{C}/i2\pi \mathbb{Z}=\{z+i2\pi \mathbb{Z}:z\in \mathbb{C}\},$ siendo la operación suma en este grupo:

(z+i2πZ)+(w+i2πZ)=(z+w)+i2πZ.