GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

Astroide

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

No debe confundirse con asteroide .

Astroide

La construcción hipocicloide del astroide.

Astroide $${\ displaystyle x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = r ^ {2/3}} como la envoltura común de una familia elipses de la ecuación $${\ displaystyle (x / a) ^ {2} + (y / b) = r ^ {2}}, dónde $${\ displaystyle a + b = 1}.

Un astroide es una curva matemática particular : un hipocicloide con cuatro cúspides . Específicamente, es el lugar geométrico de un punto en un círculo que rueda dentro de un círculo fijo con cuatro veces el radio. ^[1] Por generación doble, también es el lugar geométrico de un punto en un círculo cuando rueda dentro de un círculo fijo con 4/3 veces el radio. También se puede definir como la envolvente de un segmento de línea con un punto final en cada uno de los ejes. Es por lo tanto la envoltura de la barra móvil en el Trasmallo de Arquímedes .

Su nombre moderno proviene de la palabra griega para " estrella ". Fue propuesto, originalmente en la forma de "Astrois", por Joseph Johann von Littrow en 1838. ^[2] [3] La curva tenía una variedad de nombres, incluyendo tetracúspide (todavía se usa), cubocicloide y paraciclo. Es casi idéntica en forma a la evolución de una elipse.

Ecuaciones [ editar ]

Si el radio del círculo fijo es a , la ecuación viene dada por ^[4]

$${\ displaystyle x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = a ^ {2/3}. \,}

Esto implica que un astroide es también un superelipse .

Las ecuaciones paramétricas son

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & x = a \ cos ^ {3} t = {a \ over 4} (3 \ cos t + \ cos 3t), \\ [6pt] & y = a \ sin ^ {3} t = {a \ over 4} (3 \ sin t- \ sin 3t). \ end {alineado}}}

La ecuación del pedal respecto al origen es.

$${\ displaystyle r ^ {2} = a ^ {2} -3p ^ {2},}

la ecuación de Whewell es

$${\ displaystyle s = {3a \ sobre 4} \ cos 2 \ varphi,}

y la ecuación de Cesàro es

$${\ displaystyle R ^ {2} + 4s ^ {2} = {\ frac {9a ^ {2}} {4}}.}

La ecuación polar es ^[5]

$${\ displaystyle r = {\ frac {a} {(\ cos ^ {2/3} \ theta + \ sin ^ {2/3} \ theta) ^ {3/2}}}.}

El astroide es un lugar real de una curva algebraica plana del género cero. Tiene la ecuación ^[6]

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {3} + 27a ^ {2} x ^ {2} y ^ {2} = 0. \,}

El astroide es por lo tanto una curva algebraica real de grado seis.

Derivación de la ecuación polinomial [ editar ]

La ecuación polinomial se puede derivar de la ecuación de Leibniz por álgebra elemental:

$${\ displaystyle x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = a ^ {2/3}. \,}

Cubo ambos lados:

$${\ displaystyle x ^ {6/3} + 3x ^ {4/3} y ^ {2/3} + 3x ^ {2/3} y ^ {4/3} + y ^ {6/3} = a ^ {6/3} \,}

$${\ displaystyle x ^ {2} + 3x ^ {2/3} y ^ {2/3} (x ^ {2/3} + y ^ {2/3}) + y ^ {2} = a ^ { 2} \,}

$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} = - 3x ^ {2/3} y ^ {2/3} (x ^ {2/3} + y ^ {2 / 3}) \,}

Cubica ambos lados de nuevo:

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {3} = - 27x ^ {2} y ^ {2} (x ^ {2/3} + y ^ { 2/3}) ^ {3} \,}

Pero desde:

$${\ displaystyle x ^ {2/3} + y ^ {2/3} = a ^ {2/3} \,}

Resulta que

$${\ displaystyle (x ^ {2/3} + y ^ {2/3}) ^ {3} = a ^ {2}. \,}

Por lo tanto:

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {3} = - 27x ^ {2} y ^ {2} a ^ {2} \,}

o

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {3} + 27x ^ {2} y ^ {2} a ^ {2} = 0. \,}

Propiedades métricas [ editar ]

Área cerrada ^[7]

$${\ displaystyle {\ frac {3} {8}} \ pi a ^ {2}}

Longitud de la curva

$${\ displaystyle 6a}

Volumen de la superficie de revolución del área encerrada alrededor del eje x .

$${\ displaystyle {\ frac {32} {105}} \ pi a ^ {3}}

Área de superficie de revolución sobre el eje x

$${\ displaystyle {\ frac {12} {5}} \ pi a ^ {2}}

Propiedades [ editar ]

El astroide tiene cuatro singularidades de cúspide en el plano real, los puntos en la estrella. Tiene dos singularidades de cúspide más complejas en el infinito, y cuatro puntos dobles complejos, para un total de diez singularidades.

La curva dual al astroide es la curva cruciforme con ecuación.$${\ displaystyle \ textstyle x ^ {2} y ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.} La evolución de un astroide es un astroide dos veces más grande.

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

La función de peligro de la "curva de la bañera" (azul, línea continua superior) es una combinación de un riesgo decreciente de falla temprana (línea de puntos roja) y un riesgo creciente de falla de desgaste (línea de puntos amarilla), más un peligro constante de azar. falla (verde, linea continua inferior).

La curva de la bañera es ampliamente utilizada en ingeniería de confiabilidad . Describe una forma particular de la función de peligro que comprende tres partes:

• La primera parte es una tasa de falla decreciente , conocida como fallas tempranas .
• La segunda parte es una tasa de falla constante, conocida como fallas aleatorias .
• La tercera parte es una tasa de fallos en aumento, conocida como fallas por desgaste.

El nombre se deriva de la forma de la sección transversal de una bañera : lados empinados y un fondo plano.

La curva de la bañera se genera mediante el mapeo de la tasa de fallas de "mortalidad infantil" temprana cuando se introdujo por primera vez, la tasa de fallas aleatorias con tasa de falla constante durante su "vida útil", y finalmente la tasa de fallas de "desgaste" a medida que el producto supera Su vida útil de diseño.

En términos menos técnicos, en la vida temprana de un producto que se adhiere a la curva de la bañera, la tasa de fallas es alta, pero disminuye rápidamente a medida que los productos defectuosos se identifican y descartan, y se superan las fuentes tempranas de fallas potenciales, como la manipulación y el error de instalación. En la vida media de un producto, en general para productos de consumo, la tasa de fallos es baja y constante. Al final de la vida útil del producto, la tasa de fallos aumenta, a medida que la edad y el desgaste afectan al producto. Muchos ciclos de vida de productos de consumo exhiben fuertemente la curva de la bañera. ^[1]

Si bien la curva de la bañera es útil, no todos los productos o sistemas siguen una función de riesgo de curva de la bañera, por ejemplo, si las unidades se retiran o tienen un uso reducido durante o antes del inicio del período de desgaste, mostrarán menos fallas por unidad de tiempo de calendario. (no por unidad de tiempo de uso) que la curva de la bañera.

El término " Especificación militar " se usa a menudo para describir sistemas en los que la sección de mortalidad infantil de la curva de la bañera se ha quemado o eliminado. Esto se hace principalmente para aplicaciones críticas para la vida o para el sistema, ya que reduce en gran medida la posibilidad de que el sistema falle pronto en su vida útil. Los fabricantes lo harán a algún costo en general por medios similares a la evaluación de estrés ambiental .

En la ingeniería de confiabilidad, la función de distribución acumulada correspondiente a una curva de la bañera se puede analizar utilizando un gráfico de Weibull .