GEOMETRÍA ANALÍTICA - CURVAS

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Cuando se rectifica, la curva da un segmento de línea recta con la misma longitud que la longitud del arco de la curva.

Longitud del arco s de una espiral logarítmica en función de su parámetro θ .

La longitud del arco es la distancia entre dos puntos a lo largo de una sección de una curva .

La determinación de la longitud de un segmento de arco irregular también se denomina rectificación de una curva. La llegada del cálculo infinitesimal condujo a una fórmula general que proporciona soluciones de forma cerrada en algunos casos.

Enfoque general [ editar ]

Aproximación por múltiples segmentos lineales.

Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva utilizando segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal . Como es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal ( por ejemplo, usando el teorema de Pitágoras en el espacio euclidiano), la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal;esa aproximación se conoce como la distancia de la cuerda (acumulativa) . ^[1]

Si la curva no es ya una trayectoria poligonal, usar un número progresivamente mayor de segmentos de longitudes más pequeñas resultará en mejores aproximaciones. Las longitudes de las aproximaciones sucesivas no disminuirán y pueden seguir aumentando indefinidamente, pero para curvas suaves tenderán a un límite finito a medida que las longitudes de los segmentos se vuelvan arbitrariamente pequeñas .

Para algunas curvas hay un número menor. $${\ displaystyle L}eso es un límite superior en la longitud de cualquier aproximación poligonal. Estas curvas se llaman rectificables y el número.$${\ displaystyle L}Se define como la longitud del arco .

Definición de una curva suave [ editar ]

Ver también: Longitud de una curva.

Dejar $${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}Ser una función continuamente diferenciable . La longitud de la curva definida por$${\ displaystyle f}se puede definir como el límite de la suma de las longitudes de segmento de línea para una partición regular de$${\ displaystyle [a, b]}a medida que el número de segmentos se aproxima al infinito. Esto significa

$${\ displaystyle L (f) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1 }) {\ bigg |}}

dónde $${\ displaystyle t_ {i} = a + i (ba) / N = a + i \ Delta t} para $${\ displaystyle i = 0,1, \ dotsc, N.} Esta definición es equivalente a la definición estándar de la longitud del arco como una integral:

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1}) {\ bigg |} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} {\ Delta t}} \ right | \ Delta t = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} f '(t) {\ Big |} \ dt.}

La última igualdad anterior es verdadera porque la definición de la derivada como límite implica que existe una función real positiva $${\ displaystyle \ delta (\ epsilon)} de real positivo $${\ displaystyle \ epsilon} tal que {\ displaystyle \ Delta t <\ delta (\ epsilon)} implica {\ displaystyle \ left | {\ bigg |} {\ frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} {\ Delta t}} {\ bigg |} - {\ Big |} f '(t_ {i}) {\ Big |} \ right | <\ epsilon.} Esto significa

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {f (t_ {i}) - f (t_ {i-1})} {\ Delta t}} \ right | \ Delta t- \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ Big |} f '(t_ {i}) {\ Big |} \ Delta t}

tiene un valor absoluto menor que $${\ displaystyle \ epsilon (ba)} para {\ displaystyle N> (ba) / \ delta (\ epsilon).} Esto significa que en el límite. $${\ displaystyle N \ rightarrow \ infty,}el término de la izquierda anterior es igual al término de la derecha, que es solo la integral de Riemann de$${\ displaystyle | f '(t) |} en$${\ displaystyle [a, b].} Esta definición de longitud de arco muestra que la longitud de una curva $${\ displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}} continuamente diferenciable en $${\ displaystyle [a, b]}siempre es finito En otras palabras, la curva es siempre rectificable.

La definición de la longitud del arco de una curva suave como la integral de la norma de la derivada es equivalente a la definición

$${\ displaystyle L (f) = \ sup \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ bigg |} f (t_ {i}) - f (t_ {i-1}) {\ bigg |}}

donde el supremo es tomado sobre todas las particiones posibles{\ displaystyle a = t_ {0}  de $${\ displaystyle [a, b].}^[2] Esta definición también es válida si$${\ displaystyle f} Es meramente continuo, no diferenciable.

Una curva puede parametrizarse de infinitas formas. Dejar$${\ displaystyle \ varphi: [a, b] \ a [c, d]}Ser cualquier bijeccióncontinuamente diferenciable . Entonces$${\ displaystyle g = f \ circ \ varphi ^ {- 1}: [c, d] \ to \ mathbb {R} ^ {n}} es otra parametrización continuamente diferenciable de la curva originalmente definida por $${\ displaystyle f.} La longitud del arco de la curva es la misma independientemente de la parametrización utilizada para definir la curva:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} L (f) & = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} f '(t) {\ Big |} \ dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} g '(\ varphi (t)) \ varphi' (t) {\ Big |} \ dt \\ & = \ int _ {a} ^ {b} {\ Big |} g '(\ varphi (t)) {\ Big |} \ varphi' (t) \ dt \ quad {\ textrm {since}} \ \ varphi \ {\ textrm {must}} \ {\ textrm {be}} \ {\ textrm {no disminuye}} \\ & = \ int _ {c} ^ {d} {\ Big |} g '(u) {\ Big |} \ du \ quad {\ textrm {using}} \ {\ textrm {integración}} \ {\ textrm {by}} \ {\ textrm {sustitución}} \\ & = L (g). \ end {alineado}}}

Encontrar longitudes de arco mediante la integración de [ editar ]

Ver también: Geometría diferencial de curvas.

Cuarto de circulo

Si una curva plana en$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} se define por la ecuación $${\ displaystyle y = f (x),} dónde $${\ displaystyle f} es continuamente diferenciable, entonces es simplemente un caso especial de una ecuación paramétrica donde $${\ displaystyle x = t} y $${\ displaystyle y = f (t).} La longitud del arco viene dada por:

$${\ displaystyle s = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2}}} dx.}

Las curvas con soluciones de forma cerradapara la longitud del arco incluyen la catenaria , círculo , cicloide , espiral logarítmica , parábola , parábola semicúbica y línea recta . La falta de una solución de forma cerrada para la longitud del arco de un arco elíptico e hiperbólico llevó al desarrollo de las integrales elípticas .

La integración numérica [ editar ]

En la mayoría de los casos, incluso con curvas simples, no hay soluciones de forma cerrada para la longitud del arco y es necesaria la integración numérica . La integración numérica de la integral de longitud de arco es generalmente muy eficiente. Por ejemplo, considere el problema de encontrar la longitud de un cuarto del círculo unitario al integrar numéricamente la integral de la longitud del arco. La mitad superior del círculo unitario se puede parametrizar como$${\ displaystyle y = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}.} El intervalo $${\ displaystyle x \ en [- {\ sqrt {2}} / 2, {\ sqrt {2}} / 2]}corresponde a un cuarto del círculo. Ya que$${\ displaystyle dy / dx = -x / {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} y $${\ displaystyle 1+ (dy / dx) ^ {2} = 1 / (1-x ^ {2}),} la longitud de un cuarto del círculo unitario es

$${\ displaystyle \ int _ {- {\ sqrt {2}} / 2} ^ {{\ sqrt {2}} / 2} {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, dx.}

La estimación de la regla de Gauss – Kronrod de 15 puntos para esta integral de 1.570 796 326 808 177 difiere de la longitud real de

$${\ displaystyle {\ Big [} \ arcsin x {\ Big]} _ {- {\ sqrt {2}} / 2} ^ {{\ sqrt {2}} / 2} = {\ frac {\ pi} { 2}}}

en 1.3 × 10 ⁻¹¹ y la estimación de la regla de cuadratura gaussiana de 16 puntos de 1.570 796 326 794 727difiere de la longitud real en solo 1.7 × 10 ⁻¹³ . Esto significa que es posible evaluar esta integral hasta casi la precisión de la máquina con solo 16 evaluaciones integrandes.

Curva sobre una superficie [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbf {x} (u, v)} ser un mapeo de superficie y dejar $${\ displaystyle \ mathbf {C} (t) = (u (t), v (t))}Ser una curva en esta superficie. El integrando de la integral de longitud de arco es$${\ displaystyle | (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) '(t) |.} La evaluación de la derivada requiere la regla de la cadena para campos vectoriales:

$${\ displaystyle D (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) = (\ mathbf {x} _ {u} \ \ mathbf {x} _ {v}) {\ binom {u '} {v' }} = \ mathbf {x} _ {u} u '+ \ mathbf {x} _ {v} v'.}

La norma al cuadrado de este vector es $${\ displaystyle (\ mathbf {x} _ {u} u '+ \ mathbf {x} _ {v} v') \ cdot (\ mathbf {x} _ {u} u '+ \ mathbf {x} _ { v} v ') = g_ {11} (u') ^ {2} + 2g_ {12} u'v '+ g_ {22} (v') ^ {2}}(dónde $${\ displaystyle g_ {ij}}es el primer coeficiente de forma fundamental ), por lo que el integrando de la integral de longitud de arco se puede escribir como$${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {ab} (u ^ {a}) '(u ^ {b})'}}} (dónde $${\ displaystyle u ^ {1} = u} y $${\ displaystyle u ^ {2} = v}).

Otros sistemas de coordenadas [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbf {C} (t) = (r (t), \ theta (t))}Ser una curva expresada en coordenadas polares. El mapeo que se transforma de coordenadas polares a coordenadas rectangulares es

$${\ displaystyle \ mathbf {x} (r, \ theta) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta).}

El integrando de la integral de longitud de arco es $${\ displaystyle | (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) '(t) |.} La regla de la cadena para campos vectoriales muestra que $${\ displaystyle D (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) = \ mathbf {x} _ {r} r '+ \ mathbf {x} _ {\ theta} \ theta'.} Entonces el integrando al cuadrado de la integral de longitud de arco es

$${\ displaystyle (\ mathbf {x_ {r}} \ cdot \ mathbf {x} _ {r}) (r ') ^ {2} +2 (\ mathbf {x} _ {r} \ cdot \ mathbf {x } _ {\ theta}) r '\ theta' + (\ mathbf {x} _ {\ theta} \ cdot \ mathbf {x} _ {\ theta}) (\ theta ') ^ {2} = (r' ) ^ {2} + r ^ {2} (\ theta ') ^ {2}.}

Entonces, para una curva expresada en coordenadas polares, la longitud del arco es

$${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ izquierda ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ derecha) ^ {2}}} dt = \ int _ {\ theta (t_ {1})} ^ {\ theta (t_ {2})} { \ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ right) ^ {2} + r ^ {2}}} d \ theta.}

Ahora deja $${\ displaystyle \ mathbf {C} (t) = (r (t), \ theta (t), \ phi (t))} Ser una curva expresada en coordenadas esféricas donde $${\ displaystyle \ theta} es el ángulo polar medido desde el positivo $${\ displaystyle z}-axis y $${\ displaystyle \ phi}Es el ángulo azimutal. El mapeo que se transforma de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares es

$${\ displaystyle \ mathbf {x} (r, \ theta, \ phi) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, r \ sin \ theta \ sin \ phi, r \ cos \ theta).}

Usando la regla de la cadena de nuevo muestra que $${\ displaystyle D (\ mathbf {x} \ circ \ mathbf {C}) = \ mathbf {x} _ {r} r '+ \ mathbf {x} _ {\ theta} \ theta' + \ mathbf {x} _{\Phi Phi '.} Todos los productos de punto $${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {i} \ cdot \ mathbf {x} _ {j} dónde $${\ displaystyle i} y $${\ displaystyle j} difieren son cero, por lo que la norma al cuadrado de este vector es

$${\ displaystyle (\ mathbf {x} _ {r} \ cdot \ mathbf {x} _ {r}) (r '^ {2}) + (\ mathbf {x} _ {\ theta} \ cdot \ mathbf { x} _ {\ theta}) (\ theta ') ^ {2} + (\ mathbf {x} _ {\ phi} \ cdot \ mathbf {x} _ {\ phi}) (\ phi') ^ {2 } = (r ') ^ {2} + r ^ {2} (\ theta') ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta (\ phi ') ^ {2}.}

Entonces, para una curva expresada en coordenadas esféricas, la longitud del arco es

$${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ izquierda ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ derecha) ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ izquierda ({\ frac {d \ phi} {dt}} \ right) ^ {2}}} dt.}

Un cálculo muy similar muestra que la longitud de arco de una curva expresada en coordenadas cilíndricas es

$${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + r ^ {2} \ izquierda ({\ frac {d \ theta} {dt}} \ derecha) ^ {2} + \ izquierda ({\ frac {dz} {dt}} \ derecha) ^ {2}}} dt.}

Casos sencillos [ editar ]

Arcos de círculos [ editar ]

Las longitudes de arco se indican con s , ya que la palabra latina para longitud (o tamaño) es spatium .

En las siguientes líneas, $${\ displaystyle r}representa el radio de un círculo ,$${\ displaystyle d}es su diámetro ,$${\ displaystyle C}es su circunferencia ,$${\ displaystyle s} es la longitud de un arco del círculo, y $${\ displaystyle \ theta}Es el ángulo que el arco subtiende en el centro del círculo. Las distancias$${\ displaystyle r, d, C,} y $${\ displaystyle s} Se expresan en las mismas unidades.

• $${\ displaystyle C = 2 \ pi r,} que es lo mismo que $${\ displaystyle C = \ pi d.} Esta ecuación es una definición de $${\ displaystyle \ pi.}
• Si el arco es un semicírculo , entonces$${\ displaystyle s = \ pi r.}
• Para un arco circular arbitrario:
  • Si $${\ displaystyle \ theta}está en radianes entonces$${\ displaystyle s = r \ theta.} Esta es una definición del radián.
  • Si $${\ displaystyle \ theta}esta en grados , entonces$${\ displaystyle s = {\ frac {\ pi r \ theta} {180 \ {\ text {deg}}}},} que es lo mismo que $${\ displaystyle s = {\ frac {C \ theta} {360 \ {\ text {deg}}}}.
  • Si $${\ displaystyle \ theta}está en los grados (100 grados, o los grados, o los graduados son un ángulo recto ), entonces$${\ displaystyle s = {\ frac {\ pi r \ theta} {200 \ {\ text {grad}}}},} que es lo mismo que $${\ displaystyle s = {\ frac {C \ theta} {400 \ {\ text {grad}}}}.}
  • Si $${\ displaystyle \ theta}está en turnos (un turno es una rotación completa, o 360 °, o 400 grados, o$${\ displaystyle 2 \ pi} radianes), entonces $${\ displaystyle s = C \ theta / {\ text {turn}}}.

Arcos de grandes círculos en la tierra [ editar ]

Artículo principal: Gran círculo de distancia

Más información: Geodesics en un elipsoide.

Las dos unidades de longitud, la milla náutica y el metro (o kilómetro), se definieron originalmente, por lo que las longitudes de los arcos de los grandes círculos en la superficie de la Tierra se relacionarían simplemente numéricamente con los ángulos que subtienden en su centro. La ecuacion simple$${\ displaystyle s = \ theta} Se aplica en las siguientes circunstancias:

• Si $${\ displaystyle s} está en millas náuticas, y $${\ displaystyle \ theta}es en minutos de arco ( ¹ / ₆₀ grados), o
• Si $${\ displaystyle s} está en kilómetros, y $${\ displaystyle \ theta}es en grados centígrados ( ¹ / ₁₀₀ grad ).

Las longitudes de las unidades de distancia fueron elegidas para hacer que la circunferencia de la Tierra sea igual a 40 000 kilómetros, o 21 600 millas náuticas. Esos son los números de las unidades de ángulo correspondientes en un giro completo.

Esas definiciones del medidor y la milla náutica han sido reemplazadas por otras más precisas, pero las definiciones originales aún son lo suficientemente precisas para propósitos conceptuales y algunos cálculos. Por ejemplo, implican que un kilómetro es exactamente 0.54 millas náuticas. Usando definiciones oficiales modernas, una milla náutica es exactamente 1.852 kilómetros, ^{[3] lo} que implica que 1 kilómetro es aproximadamente 0.539 956 80 millas náuticas. ^[4] Esta relación moderna difiere de la calculada de las definiciones originales en menos de una parte en 10,000.

Longitud de un arco de una parábola [ editar ]

Para un cálculo de la longitud de un arco parabólico, vea Parábola § Longitud del arco .

Métodos históricos [ editar ]

Antigüedad [ editar ]

Durante gran parte de la historia de las matemáticas , incluso los grandes pensadores consideraron imposible calcular la longitud de un arco irregular. Aunque Arquímedes había sido pionero en encontrar el área debajo de una curva con su " método de agotamiento ", pocos creían que era posible que las curvas tuvieran longitudes definidas, al igual que las líneas rectas. El primer terreno se rompió en este campo, como a menudo se ha hecho en el cálculo , por aproximación . La gente comenzó a inscribir polígonos.dentro de las curvas y calcule la longitud de los lados para una medida algo precisa de la longitud. Al usar más segmentos y al disminuir la longitud de cada segmento, pudieron obtener una aproximación cada vez más precisa. En particular, al inscribir un polígono de muchos lados en un círculo, pudieron encontrar valores aproximados de π . ^[5] [6]

Siglo 17 [ editar ]

En el siglo XVII, el método del agotamiento condujo a la rectificación mediante métodos geométricos de varias curvas trascendentales : la espiral logarítmica de Evangelista Torricelli en 1645 (algunas fuentes dicen John Wallis en la década de 1650), el cicloide de Christopher Wren en 1658 y la Catenaria de Gottfried Leibniz en 1691.

En 1659, Wallis acreditó el descubrimiento de William Neile de la primera rectificación de una curva algebraica no trivial , la parábola semicúbica . ^[7] Las figuras adjuntas aparecen en la página 145. En la página 91, William Neile se menciona como Gulielmus Nelius .

Forma integral [ editar ]

Antes del desarrollo formal completo del cálculo, Hendrik van Heuraet y Pierre de Fermat descubrieron de forma independiente la base de la forma integral moderna para la longitud del arco .

En 1659, van Heuraet publicó una construcción que mostraba que el problema de determinar la longitud del arco podía transformarse en el problema de determinar el área bajo una curva (es decir, una integral). Como ejemplo de su método, determinó la longitud del arco de una parábola semicúbica, que requería encontrar el área debajo de una parábola . ^[8] En 1660, Fermat publicó una teoría más general que contenía el mismo resultado en su De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (disertación geométrica sobre líneas curvas en comparación con líneas rectas). ^[9]

El método de Fermat para determinar la longitud del arco.

Sobre la base de su trabajo anterior con tangentes, Fermat utilizó la curva.

$${\ displaystyle y = x ^ {3/2} \,}

cuya tangente en x = a tenía una pendiente de

$${\ displaystyle \ textstyle {3 \ over 2} a ^ {1/2}}

por lo que la línea tangente tendría la ecuación

$${\ displaystyle y = \ textstyle {3 \ sobre 2} {a ^ {1/2}} (xa) + f (a).}

A continuación, se aumentó una por una pequeña cantidad para un + ε , haciendo segmento AC una relativamente buena aproximación para la longitud de la curva de A a D . Para encontrar la longitud del segmento AC , usó el teorema de Pitágoras :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} AC ^ {2} & {} = AB ^ {2} + BC ^ {2} \\ & {} = \ textstyle \ varepsilon ^ {2} + {9 \ sobre 4} a \ varepsilon ^ {2} \\ & {} = \ textstyle \ varepsilon ^ {2} \ left (1+ {9 \ over 4} a \ right) \ end {alineado}}}

el cual, una vez resuelto, cede.

$${\ displaystyle AC = \ textstyle \ varepsilon {\ sqrt {1+ {9 \ over 4} a \}}.}

Para aproximar la longitud, Fermat resumiría una secuencia de segmentos cortos.

Curvas de longitud infinita.[ editar ]

Ver también: paradoja costera

La curva de Koch.

La gráfica de x sin (1 / x ).

Como se mencionó anteriormente, algunas curvas no son rectificables. Es decir, no hay un límite superior en las longitudes de las aproximaciones poligonales; la longitud puede hacerse arbitrariamente grande . Informalmente, se dice que tales curvas tienen longitud infinita. Hay curvas continuas en las que cada arco (que no sea un arco de un solo punto) tiene una longitud infinita. Un ejemplo de dicha curva es la curva de Koch . Otro ejemplo de una curva con longitud infinita es la gráfica de la función definida por f ( x ) =  x  sin (1 / x ) para cualquier conjunto abierto con 0 como uno de sus delimitadores y f (0) = 0. A veces, el Hausdorff Dimensión y medida de Hausdorff. Se utilizan para cuantificar el tamaño de dichas curvas.

Generalización a (pseudo-) variedades riemannianas [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle M}ser un (pseudo) Riemannian colector ,$${\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow M} una curva en $${\ displaystyle M} y $${\ displaystyle g}El (seudo) tensor métrico .

El largo de $${\ displaystyle \ gamma} se define para ser

$${\ displaystyle \ ell (\ gamma) = \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {\ pm g (\ gamma '(t), \ gamma' (t))}} \, dt,}

dónde $${\ displaystyle \ gamma '(t) \ en T _ {\ gamma (t)} M} es el vector tangente de $${\ displaystyle \ gamma} a $${\ displaystyle t.} El signo en la raíz cuadrada se elige una vez para una curva dada, para asegurar que la raíz cuadrada sea un número real. El signo positivo es elegido para curvas espaciales; en una variedad pseudo-riemanniana, el signo negativo puede elegirse para curvas temporales. Así, la longitud de una curva es un número real no negativo. Por lo general, no se consideran curvas, que son en parte espaciales y en parte temporales.

En teoría de la relatividad , la longitud del arco de las curvas temporales ( líneas del mundo ) es el tiempo adecuado transcurrido a lo largo de la línea del mundo, y la longitud del arco de una curva similar a la de la distancia correcta a lo largo de la curva.