pruebas matemáticas para algunas propiedades de la adición de los números naturales : la identidad aditiva, la conmutatividad y la asociatividad. Estas pruebas se utilizan en el artículo Adición de números naturales .
Definiciones [ editar ]
Este artículo utilizará los axiomas de Peano para las definiciones de la suma de los números naturales y la función sucesora S (a). En particular:
| A1: | a + 0 = a |
| A2: | a + S ( b ) = S ( a + b ) |
Para la prueba de conmutatividad, es útil definir otro número natural estrechamente relacionado con la función del sucesor, a saber, "1". Definimos 1 para ser el sucesor de 0, en otras palabras,
- 1 = S (0).
Tenga en cuenta que para todos los números naturales a ,
| S ( a ) | ||
| = | S ( a + 0) | [por A1] |
| = | a + S (0) | [por A2] |
| = | a + 1 | [por def. de 1] |
Prueba de asociatividad [ editar ]
Probamos la asociatividad fijando primero los números naturales a y b y aplicando la inducción al número natural c .
Para el caso base c = 0,
- ( a + b ) +0 = a + b = a + ( b +0)
Cada ecuación sigue por definición [A1]; el primero con a + b , el segundo con b .
Ahora, por la inducción. Asumimos la hipótesis de inducción, es decir, asumimos que para algún número natural c ,
- ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Entonces sigue,
| ( a + b ) + S ( c ) | ||
| = | S (( a + b ) + c ) | [por A2] |
| = | S ( a + ( b + c )) | [por la hipótesis de inducción] |
| = | a + S ( b + c ) | [por A2] |
| = | a + ( b + S ( c )) | [por A2] |
En otras palabras, la hipótesis de inducción se mantiene para S ( c ). Por lo tanto, la inducción sobre c es completa.
Prueba de elemento de identidad [ editar ]
La definición [A1] indica directamente que 0 es una identidad correcta . Probamos que 0 es una identidad izquierda por inducción en el número natural a .
Para el caso base a = 0, 0 + 0 = 0 por definición [A1]. Ahora asumimos la hipótesis de inducción, que 0 + a = a . Entonces
| 0 + S ( a ) | ||
| = | S (0 + a ) | [por A2] |
| = | S ( a ) | [por la hipótesis de inducción] |
Esto completa la inducción en a .
Prueba de conmutatividad [ editar ]
Probamos la conmutatividad ( a + b = b + a ) aplicando la inducción en el número natural b . Primero probamos los casos base b = 0 y b = S (0) = 1 (es decir, demostramos que 0 y 1 viajan con todo).
El caso base b = 0 se deriva inmediatamente de la propiedad del elemento de identidad (0 es una identidad aditiva ), que se ha demostrado anteriormente: a + 0 = a = 0 + a .
A continuación probaremos el caso base b = 1, que 1 conmuta con todo, es decir, para todos los números naturales a , tenemos a + 1 = 1 + a . Lo probaremos por inducción en a (una prueba de inducción dentro de una prueba de inducción). Hemos demostrado que 0 conmuta con todo, por lo que, en particular, 0 conmuta con 1: para a = 0, tenemos 0 + 1 = 1 + 0. Ahora, supongamos que a + 1 = 1 + a . Entonces
| S ( a ) + 1 | ||
| = | S ( a ) + S (0) | [por def. de 1] |
| = | S ( S ( a ) + 0) | [por A2] |
| = | S (( a + 1) + 0) | [como se muestra arriba ] |
| = | S ( a + 1) | [por A1] |
| = | S (1 + a ) | [por la hipótesis de inducción] |
| = | 1 + S ( a ) | [por A2] |
Esto completa la inducción en a , y así hemos probado el caso base b = 1. Ahora, supongamos que para todos los números naturales a , tenemos a + b = b + a . Debemos mostrar que para todos los números naturales a , tenemos a + S ( b ) = S ( b ) + a . Tenemos
| a + S ( b ) | ||
| = | a + ( b + 1) | [como se muestra arriba ] |
| = | ( a + b ) + 1 | [por asociatividad] |
| = | ( b + a ) + 1 | [por la hipótesis de inducción] |
| = | b + ( a + 1) | [por asociatividad] |
| = | b + (1 + a ) | [por el caso base b = 1] |
| = | ( b + 1) + a | [por asociatividad] |
| = | S ( b ) + a | [como se muestra arriba ] |
Esto completa la inducción en b .
identidad aditiva de un conjunto que está equipado con la operación de adición es un elemento que, cuando se agrega a cualquier elemento x en el conjunto, produce x . Una de las identidades aditivas más familiares es el número 0 de las matemáticas elementales , pero las identidades aditivas ocurren en otras estructuras matemáticas donde se define la adición, como en grupos y anillos .
Ejemplos elementales [ editar ]
- La identidad aditiva familiar de las matemáticas elementales es cero, denotada como 0 . Por ejemplo,
- En los números naturales N y todos sus superconjuntos (los enteros Z, los números racionales Q , los números reales R o los números complejos C ), la identidad aditiva es 0. Por lo tanto, para cualquiera de estos números n ,
Definición formal [ editar ]
Sea N un conjunto que se cierra bajo la operación de suma , denotado + . Una identidad aditiva para N es cualquier elemento e tal que para cualquier elemento n en N ,
- e + n = n = n + e
Ejemplo: La fórmula es n + 0 = n = 0 + n.
Otros ejemplos [ editar ]
- En un grupo, la identidad aditiva es el elemento de identidad del grupo, a menudo se denota con 0 y es única (ver más abajo para la prueba).
- Un anillo o campo es un grupo bajo la operación de adición y, por lo tanto, estos también tienen una identidad aditiva única 0. Esto se define como diferente de la identidad multiplicativa 1 si el anillo (o campo) tiene más de un elemento. Si la identidad aditiva y la identidad multiplicativa son las mismas, entonces el anillo es trivial(se prueba a continuación).
- En el anillo M m × n ( R ) de m por n matrices sobre un anillo R , la identidad aditiva se denota 0 y es el m por n matriz cuyas entradas consistir enteramente en el elemento de identidad 0 en R . Por ejemplo, en las matrices 2 por 2 sobre los enteros M 2 ( Z ), la identidad aditiva es
- En los cuaterniones , 0 es la identidad aditiva.
- En el anillo de funciones de R a R , la función que asigna cada número a 0 es la identidad aditiva.
- En el grupo aditivo de vectores en R n , el vector de origen o cero es la identidad aditiva.
Propiedades [ editar ]
La identidad aditiva es única en un grupo [ editar ]
Sea ( G , +) un grupo y que 0 y 0 'en G denoten identidades aditivas, entonces para cualquier g en G ,
- 0 + g = g = g + 0 y 0 '+ g = g = g + 0'
De lo anterior se deduce que
- 0 ' = 0' + 0 = 0 '+ 0 = 0
La identidad aditiva aniquila elementos de anillo [ editar ]
En un sistema con una operación de multiplicación que se distribuye sobre la suma, la identidad aditiva es un elemento absorbente multiplicativo , lo que significa que para cualquier s en S , s · 0 = 0. Esto se puede ver porque:
Las identidades aditivas y multiplicativas son diferentes en un anillo no trivial [ editar ]
Deje que R sea un anillo y supongamos que la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 son iguales, o 0 = 1. Sea r ser cualquier elemento de R . Entonces
- r = r × 1 = r × 0 = 0
demostrando que R es trivial, es decir, R = {0}. El contrapositivo , que si R no es trivial entonces 0 no es igual a 1, por lo tanto se muestra.
inverso aditivo de un número a es el número que, cuando se suma a a , da lugar a cero . Este número también se conoce como el opuesto (número), [1] cambio de signo y negación . [2] Para un número real , invierte su signo : lo opuesto a un número positivo es negativo, y el opuesto a un número negativoes positivo. Cero es el inverso aditivo de sí mismo.
El inverso aditivo de a se denota por unario menos : - a (consulte la discusión a continuación ). Por ejemplo, el inverso aditivo de 7 es −7, porque 7 + (−7) = 0, y el inverso aditivo de −0.3 es 0.3, porque −0.3 + 0.3 = 0.
El inverso aditivo se define como su elemento inverso bajo la operación binaria de adición (ver la discusión a continuación ), que permite una amplia generalización a objetos matemáticos distintos de los números. Como para cualquier operación inversa, el inverso aditivo doble no tiene efecto neto : - (- x ) = x .
Ejemplos comunes [ editar ]
Para un número y, en general, en cualquier anillo , el inverso aditivo se puede calcular utilizando la multiplicación por −1 ; es decir, - n = −1 × n . Ejemplos de anillos de números son enteros , números racionales , números reales y números complejos .
Relación con la resta [ editar ]
El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una adición de lo opuesto:
- a - b = a + (- b ) .
A la inversa, el inverso aditivo se puede considerar como una resta de cero:
- - a = 0 - a .
Por lo tanto, la notación del signo menos unario se puede ver como una abreviatura para la resta con el símbolo "0" omitido, aunque en una tipografía correcta no debería haber espacio después del unario "-".
Otras propiedades [ editar ]
Además de las identidades enumeradas anteriormente, la negación tiene las siguientes propiedades algebraicas:
- - (- a ) = a , es una operación de Involución
- - ( a + b ) = (- a ) + (- b )
- a - (- b ) = a + b
- (- a ) × b = a × (- b ) = - ( a × b )
- (- a ) × (- b ) = a × b
- en particular, (- a ) 2 = a 2
Definición formal [ editar ]
La notación + se suele reservar para operaciones binarias conmutativas ; es decir, tal que x + y = y + x , para todo x , y . Si una operación de este tipo admite un elemento de identidad o (tal que x + o (= o + x ) = x para todas las x ), entonces este elemento es único ( o ′ = o ′ + o = o ). Para una x dada , si existe x ′de modo que x + x ′ (= x ′ + x ) = o , entonces x ′ se denomina inverso aditivo de x .
Si + es asociativo ( ( x + y ) + z = x + ( y + z ) para todos los x , y , z ), entonces un inverso aditivo es único. Para ver esto, hagamos que x ' y x' sean inversos aditivos de x ; entonces
- x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .
Por ejemplo, como la suma de números reales es asociativa, cada número real tiene un inverso aditivo único.
Otros ejemplos [ editar ]
- Números complejos : - ( a + bi ) = (- a ) + (- b ) i . En el plano complejo , esta operación gira un número complejo 180 grados alrededor del origen (vea la imagen de arriba ).
- adición de funciones de valores reales y complejos: aquí, el inverso aditivo de una función f es la función - fdefinida por (- f ) ( x ) = - f ( x ) , para todo x , de manera que f + (- f ) = o , la función cero ( o ( x ) = 0para todo x ).
- más generalmente, lo que precede se aplica a todas las funciones con valores en un grupo abeliano ('cero' significa entonces el elemento de identidad de este grupo):
- Las secuencias , matrices y redes son también tipos especiales de funciones.
- En un espacio vectorial, el inverso aditivo - v a menudo se llama el vector opuesto de v ; Tiene la misma magnitud que la dirección original y opuesta. La inversión aditiva corresponde a la multiplicación escalar por −1. Para el espacio euclidiano , es la reflexión puntual en el origen. Los vectores en direcciones exactamente opuestas (multiplicadas por números negativos) a veces se denominan antiparalelo .
- funciones vectoriales con valores (no necesariamente lineales),
- En aritmética modular , el inverso aditivo modular de x también se define: es el número a tal que a + x ≡ 0 (mod n ) . Este inverso aditivo siempre existe. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 8 porque es la solución a 3 + x ≡ 0 (mod 11) .
No ejemplos [ editar ]
Los números naturales , los números cardinales y los números ordinales no tienen inversos aditivos dentro de sus conjuntos respectivos . Así, por ejemplo, podemos decir que los números naturales no tienen inversos aditivos, sino porque estos inversos aditivos no son ellos mismos números naturales, el conjunto de los números naturales no es cerrado bajo teniendo inversos aditivos.
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