MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes enteras , variables y las operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación por un exponente que es un número racional ). ^[1] Por ejemplo, 3 x ² - 2 xy + c es una expresión algebraica. Dado que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar al poder 1/2 ,

$${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}

También es una expresión algebraica.

Por el contrario, los números trascendentales como π y e no son algebraicos, ya que no se derivan de constantes enteras y operaciones algebraicas. Generalmente, Pi se construye como una relación geométrica, y la definición de e requiere un número infinito de operaciones algebraicas.

Una expresión racional es una expresión que puede reescribirse a una fracción racional utilizando las propiedades de las operaciones aritméticas ( propiedades conmutativas y propiedades asociativas de la suma y la multiplicación, la propiedad distributiva y las reglas para las operaciones en las fracciones). En otras palabras, una expresión racional es una expresión que se puede construir a partir de las variables y las constantes usando solo las cuatro operaciones de la aritmética . Así,

$${\ displaystyle {\ frac {3x ^ {2} -2xy + c} {y ^ {3} -1}}}

Es una expresión racional, mientras que

$${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1-x ^ {2}} {1 + x ^ {2}}}}}

no es.

Una ecuación racional es una ecuación en la que dos fracciones racionales (o expresiones racionales) de la forma

$${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}

se ponen iguales entre sí. Estas expresiones obedecen las mismas reglas que las fracciones . Las ecuaciones se pueden resolver por multiplicación cruzada . La división por cero no está definida, por lo que se rechaza una solución que cause una división formal por cero.

Terminología [ editar ]

El álgebra tiene su propia terminología para describir partes de una expresión:

1 - Exponente (potencia), 2 - coeficiente, 3 - término, 4 - operador, 5 - constante, $${\ displaystyle x, y} - variables

En las raíces de los polinomios [ editar ]

Las raíces de una expresión polinomial de grado n , o equivalentemente las soluciones de una ecuación polinomial , siempre pueden escribirse como expresiones algebraicas si n <5 font="" nbsp="" ver="">fórmula cuadrática , función cúbica y ecuación cuártica ). Tal solución de una ecuación se llama solución algebraica . Pero el teorema de Abel-Ruffini establece que las soluciones algebraicas no existen para todas estas ecuaciones (solo para algunas de ellas) si n $${\ displaystyle \ geq} 5.

Convenciones [ editar ]

Variables [ editar ]

Por convención, las letras al comienzo del alfabeto (por ejemplo, $${\ displaystyle a, b, c}) se utilizan normalmente para representar constantes , y aquellas hacia el final del alfabeto (por ejemplo,$${\ displaystyle x, y} y $${\ displaystyle z}) se utilizan para representar variables . ^[2] Por lo general, están escritos en cursiva. ^[3]

Exponentes [ editar ]

Por convención, los términos con la potencia más alta ( exponente ) se escriben a la izquierda, por ejemplo,$${\ displaystyle x ^ {2}}está escrito a la izquierda de $${\ displaystyle x}. Cuando un coeficiente es uno, generalmente se omite (por ejemplo,$${\ displaystyle 1x ^ {2}} está escrito $${\ displaystyle x ^ {2}}). ^[4] Del mismo modo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo,$${\ displaystyle 3x ^ {1}} está escrito $${\ displaystyle 3x}), ^[5] y, cuando el exponente es cero, el resultado es siempre 1 (por ejemplo,$${\ displaystyle 3x ^ {0}} está escrito $${\ displaystyle 3}, ya que $${\ displaystyle x ^ {0}} es siempre $${\ displaystyle 1}). ^[6]

Algebraica y otras expresiones matemáticas [ editar ]

La siguiente tabla resume cómo se comparan las expresiones algebraicas con otros tipos de expresiones matemáticas según el tipo de elementos que pueden contener, de acuerdo con las convenciones comunes pero no universales.

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v t mi	Expresiones aritméticas	Expresiones polinomiales	Expresiones algebraicas	Expresiones de forma cerrada	Expresiones analiticas	Expresiones matematicas
Constante	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Operación aritmética elemental	Sí	Suma, resta y multiplicación solamente	Sí	Sí	Sí	Sí
Suma finita	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Producto finito	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Fracción continua finita	Sí	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Variable	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Exponente entero	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Integral enésima raíz	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Exponente racional	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Factorial entero	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Exponente irracional	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Logaritmo	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Funcion trigonometrica	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Función trigonométrica inversa.	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Función hiperbólica	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Función hiperbólica inversa.	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Raíz no algebraica de un polinomio	No	No	No	No	Sí	Sí
Función gamma y factorial de un no entero	No	No	No	No	Sí	Sí
Función de Bessel	No	No	No	No	Sí	Sí
Funcion especial	No	No	No	No	Sí	Sí
Suma infinita (series)(incluidas las series de potencias )	No	No	No	No	Solo convergente	Sí
Producto infinito	No	No	No	No	Solo convergente	Sí
Fracción continua infinita	No	No	No	No	Solo convergente	Sí
Límite	No	No	No	No	No	Sí
Derivado	No	No	No	No	No	Sí
Integral	No	No	No	No	No	Sí

Una expresión algebraica racional (o expresión racional ) es una expresión algebraica que se puede escribir como un cociente de polinomios , como x ² + 4 x + 4 . Una expresión algebraica irracional es aquella que no es racional, como √ x + 4 .

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Operaciones algebraicas en la solución a la ecuación cuadrática . El signo radical, √ ​​que denota una raíz cuadrada , es equivalente a la exponenciación a la potencia de ½. El signo ± significa que la ecuación se puede escribir con un signo + o con un signo -.

En matemáticas , una operación algebraica básica es cualquiera de las operaciones tradicionales de la aritmética , que son la suma , resta , multiplicación , división , aumento a un poder entero y raíces (poder fraccional). Estas operaciones pueden realizarse en números , en cuyo caso a menudo se llaman operaciones aritméticas . También se pueden realizar, de manera similar, en variables , expresiones algebraicas , ^[1] y, más generalmente, en elementos deEstructuras algebraicas , tales como grupos y campos . ^[2]

El término operación algebraica también se puede usar para operaciones que se pueden definir al combinar operaciones algebraicas básicas, como el producto puntual . En el cálculo y el análisis matemático , la operación algebraica también se utiliza para las operaciones que pueden definirse mediante métodos puramente algebraicos . Por ejemplo, la exponenciación con un entero o exponente racional es una operación algebraica, pero no la exponenciación general con un exponente real o complejo . Además, la derivada es una operación que no es algebraica.

Notación [ editar ]

Los símbolos de multiplicación generalmente se omiten, e implícitos, cuando no hay un operador entre dos variables o términos, o cuando se usa un coeficiente . Por ejemplo, 3 × x ² se escribe como 3 x ² , y 2 × x × y se escribe como 2 xy . ^[3] A veces, los símbolos de multiplicación se reemplazan con un punto o un punto central, de modo que x × y se escribe como x . y o x · y . Texto plano , lenguajes de programación y calculadoras.también use un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, ^[4] y debe usarse explícitamente; por ejemplo, 3 x se escribe como 3 * x .

En lugar de usar el símbolo obelus ,, la división se representa generalmente con un vínculo , una línea horizontal, por ejemplo, 3/x + 1 . En texto sin formato y lenguajes de programación, se usa una barra (también llamada solido ), por ejemplo, 3 / ( x + 1).

Los exponentes usualmente se formatean usando superíndices, por ejemplo, x ² . En texto plano , y en el lenguaje de marcado TeX , el símbolo de intercalación , ^, representa exponentes, por lo que x ² se escribe como x ^ 2. ^[5] [6] En lenguajes de programación como Ada , ^[7] Fortran , ^[8] Perl , ^[9] Python ^[10] y Ruby , ^[11] se usa un doble asterisco, por lo que x ² se escribe como x ** 2.

El signo más-menos , ±, se usa como notación abreviada para dos expresiones escritas como una, que representa una expresión con un signo más, la otra con un signo menos. Por ejemplo, y = x ± 1 representa las dos ecuaciones y = x + 1 y y = x - 1. Algunas veces se usa para denotar un término positivo o negativo, como ± x.

Aritmética vs operaciones algebraicas [ editar ]

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , como se puede ver en la tabla a continuación.

Operación	Ejemplo aritmético	Ejemplo de álgebra	Comentarios ≡ significa "equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
Adición	$${\ displaystyle (5 \ times 5) + 5 + 5 + 3} equivalente a: $${\ displaystyle 5 ^ {2} + (2 \ veces 5) +3}	$${\ displaystyle (b \ times b) + b + b + a} equivalente a: $${\ displaystyle b ^ {2} + 2b + a}	{\ displaystyle {\ begin {alineado} 2 \ times b & \ equiv 2b \\ b + b + b & \ equiv 3b \\ b \ times b & \ equiv b ^ {2} \ end {alineado}}}
Sustracción	$${\ displaystyle (7 \ times 7) -7-5} equivalente a: $${\ displaystyle 7 ^ {2} -7-5}	$${\ displaystyle (b \ times b) -ba} equivalente a: $${\ displaystyle b ^ {2} -ba}	{\ displaystyle {\ begin {alineado} b ^ {2} -b & \ not \ equiv b \\ 3b-b & \ equiv 2b \\ b ^ {2} -b & \ equiv b (b-1) \ end {alineado }}}
Multiplicación	$${\ displaystyle 3 \ times 5} o $${\ displaystyle 3 \. \ 5}   o   $${\ displaystyle 3 \ cdot 5} o   $${\ displaystyle (3) (5)}	$${\ displaystyle a \ times b} o $${\ displaystyle ab}   o   $${\ displaystyle a \ cdot b} o   $${\ displaystyle ab}	$${\ displaystyle a \ times a \ times a} es lo mismo que $${\ displaystyle a ^ {3}}
División	$${\ displaystyle 12 \ div 4} o   $${\ displaystyle 12/4} o   $${\ displaystyle {\ frac {12} {4}}}	$${\ displaystyle b \ div a} o   $${\ displaystyle b / a} o   $${\ displaystyle {\ frac {b} {a}}}	$${\ displaystyle {\ frac {(a + b)} {3}} \ equiv {\ tfrac {1} {3}} \ times (a + b)}
Exposiciónción	$${\ displaystyle 3 ^ {\ frac {1} {2}}}   $${\ displaystyle 2 ^ {3}}	$${\ displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}}   $${\ displaystyle a ^ {3}}	$${\ displaystyle a ^ {\ frac {1} {2}}} es lo mismo que $${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}   $${\ displaystyle a ^ {3}} es lo mismo que $${\ displaystyle a \ times a \ times a}

Nota: el uso de las letras. $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b} es arbitrario, y los ejemplos serían igualmente válidos si hubiéramos usado $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}.

Propiedades de las operaciones aritméticas y algebraicas [ editar ]

Propiedad	Ejemplo aritmético	Ejemplo de álgebra	Comentarios ≡ significa "equivalente a" ≢ significa "no equivalente a"
La conmutatividad	$${\ displaystyle 3 + 5 = 5 + 3} $${\ displaystyle 3 \ times 5 = 5 \ times 3}	$${\ displaystyle a + b = b + a} $${\ displaystyle a \ times b = b \ times a}	La suma y la multiplicación son  conmutativas y asociativas [12] La resta y la división no son: p.ej $${\ displaystyle (ab) \ not \ equiv (ba)}
Asociatividad	$${\ displaystyle (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7)} $${\ displaystyle (3 \ times 5) \ times 7 = 3 \ times (5 \ times 7)}	$${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)} $${\ displaystyle (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c)}